作者：James Propp 2023-5-18
译者：zzllrr小乐（数学科普微信公众号）2023-5-22
1853年，数学家兼物理学家威廉·罗文·汉密尔顿（William Rowan Hamilton）最后一次拜访了凯瑟琳·巴洛（Catherine Barlow），他曾经热烈地爱着她，仍对她充满感情。三十年前，当他还是都柏林三一学院的一年级学生，而她还是凯瑟琳·迪斯尼（Catherine Disney）小姐时，她俘获得了他的心——而她的父母后来决定把她嫁给威廉·巴洛牧师，一个比她大十五岁的有钱人，认为会很适合她。事实证明他们错了。【注#1】
三十年后，如果巴洛牧师对汉密尔顿出现在他家中感到不满，可能会原谅他的擅自闯入，因为他的妻子快死了，并恳求汉密尔顿最后一次探望。汉密尔顿是一位已有著作出版的诗人和科学家，在他早期的一些诗歌中深情地写过她，但他现在献给她的不是诗歌，而是他写的一篇数学论文，他自己发明的主题是四元数分析，并赢得了很多的赞誉，以至于成为都柏林的必修考试主题之一。事实上，一年前，凯瑟琳的儿子需要一些四元数的指导，汉密尔顿辅导了这个男孩，也许恰有机会扮演他旧情人儿子的父亲角色。
凯瑟琳谈到她与巴洛的婚姻如何被她的父母强加给她时，汉密尔顿为她感到愤怒。她告诉他她不圆满的婚姻，以及她多年来对汉密尔顿坚定不移的爱，他被怜悯所征服。然后，在来访快结束时，他尝试了三十年前应该尝试的事情。“站起来啊，我会接受并带走她合法给我的一切作为我的奖赏 —— 一个吻，不，很多吻：因为已知接近死亡使这种圣餐变得神圣。事实上，我们俩不可能不激动，这是我们有生以来第一次，我们的嘴唇相遇......然而，我敢断言，在那为数不多的被允许的时刻，我们的深情传递是纯洁的，不像那些在复活日中既不结婚也不被赐予婚姻的人一样，而像天堂中上帝的天使那样。
凯瑟琳在威廉此次访问后弥留了两周，然后在53岁时去世。与此同时，威廉回到了他的家和他的妻子身边，回去完成他所认为的责任和使命：向世界解释四元数的任务。他知道自己还是没有做对。他会在他的余生中继续尝试。
狂热爱好者
年轻的威廉·罗文·汉密尔顿有很多兴趣和掌握他感兴趣的任何事物的诀窍。这个男孩在五岁时学会了拉丁语、希腊语和希伯来语。他对数字没有兴趣，直到八岁时在旅游中遇到了精于计算的神童泽拉·科尔本（Zerah Colburn）。威廉很快自学了心算的艺术，并与这位年轻的美国人竞争，虽然他不能打败科尔本，但从各方面来看，他的表现都值得赞扬。
汉密尔顿也喜欢古典学（研究古希腊古罗马文明的西方学科，需要熟悉古希腊语和拉丁语，zzllrr小乐译注），并在三一的第一年赢得了 optime（最高荣誉）——这是几十年来其他一年级学生从未完成的壮举。几年后，他超越了他早先的成就，赢得了古典学和科学的双重成绩，这是三一学院学生以前从未做过的事情。17岁时，他在拉普拉斯著名的《Mécanique céleste（天体力学）》中发现了一个错误。他在三一学院的一位老师约翰·布林克利（John Brinkley）感动地说：“这个年轻人，我不说他将来是，而是现在就已经是他这个年龄段的第一位数学家”。不久之后，布林克利成为主教并放弃了他的教授职位，汉密尔顿（当时还是一名本科生！）被选为布林克利的继任者。该职位附带的福利之一是爱尔兰皇家天文学家的头衔以及住在都柏林郊区的邓辛克天文台。这项任命对爱尔兰来说并不好（新的皇家天文学家在天文学方面没有特殊的才能），但对汉密尔顿来说却很好，因为通过他在天文台的租约，他最终遇到了住在附近的海伦·贝利（Helen Bayly），并娶了她。【注#2】
在开始他的天文学职责之前，威廉游览了不列颠群岛，并遇到了诗人威廉·华兹华斯（William Wordworth）；尽管年龄相差三十岁，但两人很快就成为了朋友。汉密尔顿的传记作者罗伯特·格雷夫斯（Robert Graves）报道说，无意中听到华兹华斯将汉密尔顿和诗人柯尔律治（Coleridge）描述为“他见过的两个最了不起的人，以他们所有的禀赋来看”。
这两个威廉的共同点比人们想象的要多。华兹华斯不是应用科学的朋友（“科学只应用于生活的物质用途，与想象开战并希望消灭想象力”），但他对包括数学在内的更纯粹的科学形式有所欣赏。在《序曲 Prelude》第六卷中，华兹华斯写道：
他接着深情地描述了他第一次接触欧几里得几何学，总结道：
那些抽象的魅力
何其强大...
一个独立的世界，
由纯粹的智慧创造。
转而看汉密尔顿，他具有华兹华斯认可和赞扬的诗意敏感性。【注#3】
汉密尔顿养成了寄给华兹华斯诗歌的习惯，寻求后者的坦率评价。华兹华斯看得出来，汉密尔顿既不是半吊子，也不是另一个华兹华斯。他还知道，从汉密尔顿学术生涯的成功来看，这个年轻人对数学领域有着独特的见解。1831年，华兹华斯写信给汉密尔顿说：
“你给我寄来诗句，我和我们大家一样，非常高兴地收到这些诗句；然而，我们担心这种工作会引诱你偏离科学的道路，你似乎注定要以如此多的荣誉前行，并给人们造福。我必须一次又一次地强调，诗歌的创作需要比人们愿意相信的要多得多的艺术性，而其中的绝对成功取决于无数的细节，而这些细节使我感到悲伤，你应该臣服于获得知识。”【注#4】
“之前想法越来越清晰”
如果你研究过笛卡尔坐标，你可能还记得它们是以创始人勒内·笛卡尔（René Descartes）的名字命名的，它们有两条直线，x轴和y轴，并在一个称为原点（origin）的点处相交。原点由数字对(0,0)表示，你可能已经猜到这个符号可以追溯到笛卡尔，但事实并非如此。教我们用括号内以逗号分隔的两个数字来表示平面上的一个点的数学家不是笛卡尔，而是汉密尔顿。
汉密尔顿之所以进行这项创新，是希望揭开复数的神秘面纱。汉密尔顿写道：“没有一个坦率和聪明的人会怀疑平行线（Parallel Lines）主要性质的真实性，正如两千年前欧几里得（Euclid）在他的《几何原本 Elements》中提出的那样。但是，怀疑甚至不相信负数（Negatives）和虚数（Imaginaries）的学说并不需要特殊的怀疑主义。”我不会在这里讨论汉密尔顿理解负数的方法，但他找到了一种令人信服的方法，将复数置于更坚实的东西中，即实数对，或者他称之为数对（couple）。【注#5】
汉密尔顿将数对相加的规则很简单：数对(a, b)和数对(c, d)的和就是数对（a+c，b+d）。数对相乘的规则更为复杂：数对(a, b)和数对(c, d)的乘积是数对(ac − bd, ad + bc)。有人可能会反对说第二条规则看起来很奇怪，但没有人会反对说其中任何一条规则推理违和。特别是，断言 (0, 1) 乘以 (0, 1) 得到(−1, 0) 只不过是数对乘法规则的直接应用。【注#6】
这种策略如此有效的原因是，如果你只看形为(r, 0)的数对——其中第一个数是任何你喜欢的数，第二个数是0 —— 你会发现组合数对的规则掩盖了组合数字的普通规则。具体来说，(r, 0) 加上 (s, 0) 等于 (r+s, 0)，而 (r, 0) 乘以 (s, 0) 等于 (rs, 0)。因此，当使用汉密尔顿的加法和乘法规则组合时，这样的数对行为方式与“单个”数（普通实数）在使用普通单个数加乘规则组合时的行为方式相同。总的来讲，如果我们把“实数”当作“鸭子”，第二个数为零的数对，就像“鸭子”一样走路，像“鸭子”一样游泳，像“鸭子”一样嘎嘎叫。但是，一旦你承认(−1, 0)像数字-1一样嘎嘎叫，就很难避免进一步断言(0, 1)像-1的平方根一样嘎嘎叫，即使你坚持认为，在数字领域，不存在这样的平方根。
19世纪的哲学和19世纪的数学正是在这里分道扬镳。对于哲学家来说，将像(-1, 0)这样的数字与像-1这样的数字混为一谈将是一个严重的错误，实际上是一个范畴错误（哲学家可能犯的最尴尬的错误之一）。但是现代数学需要这种东西，尽管为了避免逻辑陷阱，人们必须小心地将两者联系起来，而不是真正将它们等同起来。现代数学的一个分支称为范畴论（category theory），使我们能够摆脱困境——将“鸭子测试”不仅应用于复数，而且应用于我们研究的几乎所有其他事物。【注#7】
汉密尔顿揭开复数神秘面纱的符号方式补充了已经很普遍的几何方法，该方法将√(-1)与位于y轴上的笛卡尔平面中的点相关联，这个点比原点高一个单位。如果将两种形式的去神秘化结合起来——“复数只是平面上的点”和“复数只是实数对”——就会得出“平面上的点只是实数对”。这为四维空间的去神秘化打开了大门，因为还有什么比括号内用逗号分隔的四个数字更平淡无奇的呢？几代人之后，可能是希尔伯特迈出了对欧几里得空间进行算术化的最后一步（超越欧几里得描述对于所有正整数n的 n维欧几里得空间，而不仅仅是 1、2 和 3），但打开希尔伯特将要走过的大门的是汉密尔顿。
问题
汉密尔顿设计了数对的一种算术后，自然想知道是否有办法推广到三元数triple（或者，他有时称之为三元组triplet）。正如他后来在《四元数讲座》（1853年）的序言中所写的那样：“然而，有一个动机促使我特别重视考虑三元数......这是以某种新的和有用的（或至少有趣的）方式，通过一些未被发现的推广，将计算与几何学连接到三维空间的愿望。”
因此，汉密尔顿考虑了形式为（a, b, c）的三元数，每个三元数都被视为代表一个“超复数”（hypercomplex）a + bi + cj，其中i是-1的普通平方根，j是-1的另一个平方根，与i和-i都不同。汉密尔顿很清楚如何定义三元数的加法：就像 a+bi 加上 a'+b'i 等于 (a+a')+(b+b')i，汉密尔顿看到 a+bi+cj 加上 a'+b'i+c'j 应该等于 (a+a')+(b+b')i+(c+c')j 。
但是乘法应该如何定义呢？这个问题困扰了汉密尔顿多年，他并没有向家人隐瞒自己的烦恼。正如他后来在给儿子阿奇博尔德（Archibald）的一封信中所说：
“1843年10月初，每天早上，当我下来吃早餐时，你的哥哥威廉·埃德温（William Edwin）和你常常问我：'爸爸，你能做三元数的乘法吗？’我总是不得不悲伤地摇摇头回答，'不，我只会加减。’”
当然，汉密尔顿可以用无数种方式定义三元数的乘法，例如通过公式 a + bi + cj 乘以 a' + b'i + c'j 等于 (aa') + (bb')i + (cc')j，就像他可以通过公式 a + bi 乘以 a' + b'i 等于 (aa') + (bb')i。但是后一个定义不会给出任何非常有趣的东西（特别是，它不会给出一种思考复数的方法），所以前一个定义不是他想要的东西。但是，当他还没有发现时，他怎能说出想要发现的东西呢？
其实他知道想要类似复数的乘法规则。那么数对乘法规则中的什么性质，他可能希望三元数乘法规则也能满足呢？
他挑出了两种性质。第一种性质是分配律（distributive law），它断言 (a + bi)(c + di) 可以展开为(a)(c) + (a)(di) + (bi)(c) + (bi)(di)，或展开为 ac + adi + bci + bdii （是的 ，ii = −1，但这不是分配率的一部分）。第二个性质是模定律（moduli law），它断言，如果我们把 (a + bi)(c + di) 写为 x + yi，则 x + yi 的模（modulus，即连接 (x, y) 到 (0, 0)的线段长度）应该是 a + bi 的模和 c + di 的模的乘积。这是我在《螺旋宇宙的扭曲数字》 https://mathenchant.wordpress.com/2022/07/17/twisty-numbers-for-a-screwy-universe/ 中写到的“向量大小的乘法”（magnitudes multiply）规则。换句话说，√(x²+y²) 应该等于 √(a²+b²) 乘以 √(c²+d²)，或者（去掉那些讨厌的平方根）x²+y² 应该等于 (a²+b²)(c²+d²)。【注#8】
因此，汉密尔顿紧紧抓住类比（analogy）的缰绳，寻求一种方法将乘积（a+bi+cj)(d+ei+fj）写成(...) + (...)i + (...)j（我们将那些未知的括号表达式称为 x、y 和 z），这样 x + yi + zj 将等于展开后ad + aei + afj + bdi + beii + bfij + cdj + ceji + cfjj的和（一种新的分配律），同时 x² + y² + z² 的和因式分解为 (a²+b²+c²)(d²+e²+f²)（新的模定律）。
鉴于新分配性质假设的正确性，汉密尔顿需要做的就是弄清楚ii，jj，ij和ji是什么（或者更确切地说应该是什么），他能将任何三元数乘以任何其他三元数，尽管如果他做出错误选择，则对三元数的运算将无法满足他想要的模定律。他已经知道希望 ii 和 jj 等于 −1，所以只需弄清楚如何处理 ij 和 ji 的问题。最初他设两者等于 0，但这导致了问题。事实上，方程 ij = 0 与模定律相矛盾，因为 i 和 j 的模均为 1，而 0 的模为 0。
汉密尔顿决定放宽ij = ji = 0的假设，但保留ij和ji是彼此相反数的假设。也就是说，他假设对于 p、q 和 r 的某种聪明选择，会有 ij = p+qi+rj，而 ji = −p−qi−rj。他给 i 和 j 的未知乘积起了 k 这个名字，并发现使用 ij = k 和 ji = −k 会导致两个一般三元数的乘积模中出现一些看起来很有希望的抵消（cancellation）。事实上，他发现这两个公式导致了其他四个类似的公式：jk = i，kj = −i，ki = j和ik = −j。但是他找不到数字p，q和r可以使完整的假设奏效。
解决方案
1843年10月16日，汉密尔顿和他的妻子沿着皇家运河的纤道行走时，概念上的僵局得到了解决。他突然想到，他的k不是一个需要解出的未知数；它是一个独立的虚数单位，与i和j是平等的伙伴。也就是说，他一直试图做三元数乘法是错误的；相反，他应该考虑将形式 a + bi + cj + dk 的四元数相乘。规则 ii = −1， ij = k， ik = −j， ji = −k， jj = −1， jk = i， ki = j， kj = −i 和 kk = −1（与分配律结合）给出了计算任何两个四元数乘积的程序，并且，正如他沿着运河获得直觉并在后来验证的那样，四元数乘法的这种定义满足模定律。汉密尔顿兴奋地将他的核心发现雕刻到运河沿岸的石桥来纪念这一突破：
i²=j²=k²=ijk=-1
汉密尔顿在布鲁姆桥上的雕刻早已被抹去，但这个故事是数学家时有滑稽而热情的纪念碑。也许它也应该成为数学家配偶具有耐心的纪念碑；我想汉密尔顿夫人当时在想“为什么他不能像其他人一样在餐巾纸上写这些东西？”但她把这个想法只留给了自己。
在他获得发现后的第二天，汉密尔顿写信给他的大学朋友数学家约翰·格雷夫斯（John Graves），他和他的兄弟罗伯特·格雷夫斯（汉密尔顿最终的传记作者）和查尔斯·格雷夫斯一样，对空间代数的概念着迷，他们的工作在某些方面启发了汉密尔顿自己的想法。汉密尔顿写道：“...在这里，我突然意识到，在某种意义上，我们必须承认空间的第四维，以便用三元数进行计算。...我们必须承认第三个虚数符号 k，不要与 i 或 j 混淆，它是等于以i作为被乘数，j作为乘数的乘积；因此，我被引入如a + bi + cj + dk即(a, b, c, d)四元数之门【注#9】。”汉密尔顿是第一个，但远非最后一个，数学家遇到“特殊维度”的迷人现象，其中某些巧合使奇特的事情发生。【注#10】
格雷夫斯很快就看到了汉密尔顿所做的事情的重要性，并且比汉密尔顿更快地看到了它如何导致更高的维度。格雷夫斯在回应中写道：“如果用你的炼金术可以制造出三磅黄金，你为什么要止步于此？”（其中“三”大概是汉密尔顿的i，j和k）。两个月后，格雷夫斯写信给汉密尔顿，提出了他自己的数字系统，他称之为“八元数”（octave），涵盖汉密尔顿的，但加入了四个新的虚数单位l，m，n和o。八元数是由数学家亚瑟·凯莱（Arthur Cayley）独立发现的（有些人称它们为凯莱数），现在通常被称为八元数（octonian）。还值得一提的是，八元数乘法不能满足结合性质：也就是说，如果o，p和q是八元数，那么乘积(op)q和乘积o(pq)通常不相等。在这里，我们看到了一个我称之为权衡（trade-off，鱼与熊掌不可兼得）原则的例子：数学系统范围的扩大通常需要牺牲某个一般性祭坛上的东西。
我们之前已经看到了权衡原则。考虑一下：当我们从实数转向复数时，我们失去了三分法定律（trichotomy law，给定两个实数r和s，r < s，r = s，r >s三种关系中恰有之一成立），事实上，说一个复数小于或大于另一个复数应该是什么意思是不清楚的。复数满足交换律（commutative law，给定两个复数α和β，αβ = βα），但是当我们从复数移动到四元数时，我们失去了交换性质。因此，当我们从四元数移动到八元数时，我们失去了结合性，这不应该让我们感到惊讶。我们向更全面的数字系统发展，有所扩大，但也有所稀释。（除了八元数之外，还有一些系统，特别是十六元数（sedenion），牺牲了更多的性质，例如模定律，但我对它们无话可说）。所以，我对格雷夫斯的反问“为什么要止步于此？”的回答是，童话中贪婪者所知的人生艰难事实：愿望成真，但需代价。
1844年，汉密尔顿实现了他使用四元数将计算与几何和物理学联系起来的愿望。他认为四元数 a+bi+cj+dk 是两部分的和：他称a为标量部分，bi+cj+dk为向量部分——可写成三元数 (b, c, d)。他指出，他的向量为牛顿关于速度和力相加的思想提供了一种自然语言。更重要的是，汉密尔顿表明，如果将每个四元数写为标量和向量的总和（a+v，例如，其中v = bi+cj+dk），那么两个四元数a+v和a'+v'的乘积可以展开为各种独立有趣表达式的和：标量aa'；标量 − bb' − cc' − dd'；向量 ab'i + ac'j + ad'k 和 a'bi + a'cj + a'dk 和向量 (cd'−c'd)i + (b'd−bd')j + (bc'−b'c)k。所以事实上，他最终找到了三种重要的新方法来乘以三元数（表达式 ab'i + ac'j + ad'k 和 a'bi + a'cj + a'dk 以类似方式形成，因此它们算作一种单一的乘法方法）。第一种方法将向量乘以向量以产生标量；第二种方法将标量乘以向量以产生一个向量；第三种将向量乘以向量以产生向量。其中第三种在某些方面接近汉密尔顿最初寻求的“一种新的有用（或至少有趣）的三元数乘法方法”，它满足分配律，但它不满足模定律，所以他没有考虑它，直到它作为四元数乘法的副产品出现。（它也不是满足结合率的）。【注#11】
汉密尔顿还想出了如何将四元数与三维空间中的旋转联系起来。这是一件很自然的事情，因为复数与二维空间中的旋转密切相关。复数 w = cos θ + i sin θ 具有以下性质：当你将其他复数 z 乘以 w 时，你将 z 围绕复平面的原点旋转一个角度 θ。汉密尔顿发现了一个类似的四元数故事，尽管与四元数的非交换性质保持一致，但它有点棘手。为了使用旋转向量 w 对三维向量 v 进行操作，我们得到wvw'，其中 w' 是 cos θ − i sin θ（w 的倒数）。向量 wvw'是向量 v围绕i轴旋转 2θ 角。（2 这个因子很重要；预示着四元数在20世纪初被抛弃以及它们在20世纪末的复活，我将稍后解释）。
汉密尔顿愿意在他的四元数定义中抛弃交换性质，这当然是一个大胆而重要的步骤，但它并不是凭空而来的。莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）已经证明，当一个人遵从球体的一个轴旋转，绕第二个轴旋转时，复合操作又是围绕第三个轴旋转一定角度，他知道执行两个分量旋转的顺序会影响获得的复合操作。这是你可以用任何大致为立方体的物体轻松验证的东西（一本书就可以了）。将书放在你面前的桌子上，先旋转90度俯仰角（pitch，围绕x轴旋转），然后旋转90度横滚角（roll，围绕z轴旋转），并注意书的方向。现在重复实验，但这次先进行俯仰角旋转；你会注意到，这本书的最终方向与那种先俯仰角旋转然后横滚角旋转不同。如果按照先俯仰角后偏航角（yaw，围绕y轴旋转），或先偏航角后横滚角，情况也有所不同。https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%88%AA%E7%A9%BA%E5%99%A8%E4%B8%89%E4%B8%BB%E8%BD%B4
汉密尔顿知道欧拉的工作，所以他可能怀疑，如果他的新数字要描述三维旋转，那么新数字必须分担旋转已具有的非交换性。【注#13】
有一些有趣的谜题基于三维空间中旋转不满足交换率，以及在桌子上滚动立方体时，它可以按照与开始不同的方向回到原位置这一相关事实。罗伯特·阿博特（Robert Abbott）开创了所谓的滚动立方体迷宫；一个具有挑战性的例子是 https://logicmazes.com/rc/gms5.html 。如果你更喜欢带有视频组件的滚动对象游戏，请查看Block 'n' Roll https://www.playit-online.com/puzzle-onlinegames/block%27n%27roll/ 。或者，如果你想要与四元数更直接相关的游戏，请尝试“Groupdoku”四元数游戏 http://quadratablog.blogspot.com/2018/08/mathfest-2018-puzzles-quaternion.html 或汉密尔顿纸牌游戏 http://www.mathsireland.ie/hamilternion 。
死亡与重生
如果四元数理论是思想市场上的一家初创公司，那么它的股票价值将在汉密尔顿的伟大发现三十年后达到顶峰，当时物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell）使用四元数来制定他的电磁学理论。
从那之后开始走下坡路。汉密尔顿尽管（或者也许是因为）有诗意神韵，但并不有助于让他成为他的理论最清晰的解释者；他往往很啰嗦。在他最后一次尝试解释四元数（威廉死后由他的儿子完成）时，他采用了欧几里得的《几何原本》作为他的模型，并避开了他早期的四元数代数公式，转而使用更几何的东西，这当然更无助。汉密尔顿认为，他最初的“i，j和k”方法的瑕疵在于，它需要特别选择三个垂直轴。你选择哪三个垂直轴最终并不重要，但你必须选择，否则你就无法将理论付诸实践。汉密尔顿大约在1848年写道：“我认为四元数是不优雅或不完美的，或者更确切地说，迄今为止，它展开的状态一旦变得或似乎有必要求助于x，y，z等时，是不优雅或不完美的”。因此，他提出了一种新的方法，其中向量位于欧几里得的3维空间中（没有偏爱的轴），四元数被定义为一个向量的商除以另一个向量。这种方法很难遵从，而随着时间的推移，越来越少的人阅读汉密尔顿的四元数原本。用凯莱的话来说，四元数代数就像一张袖珍地图，“它包含了一切，但必须展开成另一种形式才能被理解。”
展开的人是Josiah Willard Gibbs（约西亚·威拉德·吉布斯），Oliver Heaviside（奥利弗·赫维赛德）和Hermann von Helmholtz（赫尔曼·冯·亥姆霍兹）的三人组，他们撕裂了四元数，分离了他们的标量和向量部分。在我们的科技创业类比中，你可以将这三者视为企业掠夺者。他们看到汉密尔顿想出了一些优秀的产品，但没有给它们打上烙印，也没有创造一个好的界面（即方便的象征意义）。因此，他们定义了
标量乘积
a(b, c, d) = (ab， ac， ad)
点积
(b, c, d)·(b', c', d') = bb' + cc' + dd'
叉积
(b, c, d)×(b', c', d') = (cd' − c'd)i + (b'd − bd')j + (bc' − b'c)k
所有这些都是汉密尔顿发现但没有命名的。完整的四元数乘积呢？“哦，那是四维的；难以想象；对我们来说不是一个好产品。我们怎么能把它卖给一年级的学生呢？”这三人从四元数公司的知识产权IP中窃取了“标量”和“向量”这两个词，但扔掉了无利可图的四元数本身。麦克斯韦使用汉密尔顿发明的三种形式的向量乘法（升级为微分算子散度 divergence、梯度 gradient和旋度 curl）重写了他的电磁学公式，没有提到四元数。
汉密尔顿的数学与19世纪后期物理学的需求（如麦克斯韦在电磁学方面的工作）之间的一种不匹配可以在前面提到的倍角现象中看到。当你通过将四元数向量 v 前乘以向量 cos θ + i sin θ 并将其后乘以 cos θ − i sin θ 来操作四元数向量 v 时，你有效地将 v 绕 i 轴旋转的角度为 2 θ 而不是 θ。如果 θ 是 180 度怎么办？我们的旋转将 v 发送到 （−1)(v)(−1），它等于 v。这可能看起来不错，但考虑到(+1)(v)(+1）也是v。所以我们有两个不同的四元数，+1 和 −1，它们都对应于围绕 i 轴的无操作的旋转。这种冗余并不是误操作的旋转所特有的；对于你可以在三维空间上执行的使原点固定不动的每种旋转，有两个四元数单位元可以完成这项工作。（将其与复数进行对比，其中复数单位元与围绕 0 的旋转之间存在一一对应关系）。从某种意义上说，四元数的复杂程度是吉布斯、赫维赛德和冯·亥姆霍兹所设想的各种应用所需的两倍。
作为莫大的耻辱，著名物理学家威廉·汤姆森（William Thomson，又名开尔文勋爵 Lord Kelvin）表达了对非四元数向量的强烈偏好：“四元数来自汉密尔顿，在他真正出色的工作完成之后，虽然精美巧妙，但对于那些以任何方式接触它们的人来说，四元数是一种未混合的邪恶”。四元数学会（正式名称为国际促进四元数和相关数学系统研究协会）于1913年解散。当我了解线性代数课程中的向量时，向量与标量相加是闻所未闻的——数学上相当于苹果与橘子相加。我怀疑我的老师不知道向量的发明者强调相信你不仅可以，而且应该把标量和向量相加！
在某种程度上，四元数的问题在于它们在被需要之前提前出现。以我刚才谈到的翻倍现象为例。为什么应该有两种描述每个旋转的方式？一个很好的答案是，在机器人技术中，有两种拓扑不同的方式可以通过刚性连杆来实现任何给定的旋转！这与这样一个事实有关，如果你手里拿着一个盘子，那么，不放开盘子或改变你握住它的方式，而只需先将盘子放在你的手臂上，然后在它下面，你可以将盘子旋转 720 度，这样即使盘子已经转了两圈，你的手臂位置还会跟以前一样。通过重复该动作（称为巴厘岛板技巧 Balinese plate trick），你可以实现任意偶数的旋转。但是，你的手臂无法只旋转一整圈，或任何奇数整圈，而回到以前的位置。四元数 +1 对应于通过偶数圈旋转板的机器人机械装置，而四元数 −1 对应于通过奇数圈旋转板的机器人机械装置。数学家安德·霍洛伊德（Ander Holroyd）制作了乐高机械设备来说明这一现象；请看他的视频“旋转连杆”（下图 https://youtu.be/oRPCoEq05Zk ）。
如果你倾向于自己构建一个，请参阅他的说明 https://rebrickable.com/mocs/MOC-50050/aeh5040/spinor-linkage/ 或随附的文章 https://arxiv.org/abs/2107.01681 。另请参阅维基百科文章反扭曲机械装置 https://en.wikipedia.org/wiki/Anti-twister_mechanism ，以了解有关如何避免在电缆中扭曲的更多信息。
甚至在机器人技术出现之前，就有了量子理论，特别是费米子（fermion）的概念：量子波函数满足费米-狄拉克统计的粒子。因而给粒子一个完整的旋转对应于将波函数乘以-1。（从未见过费米子？不，你见过，如果你在冬天触摸过门把手并受到电击的话；电子是费米子。）费米子的数学描述用现在所谓的泡利矩阵（Pauli matrices）来表示，但用四元数也会做得很好。
除了在机器人技术中的用途外，四元数现在还用于游戏软件。1996年发布的《古墓丽影》可能是第一款通过使用四元数实现光滑三维旋转效果的大众市场视频游戏；有关更多信息，请参阅 Gameludere 文章《欧拉角、汉密尔顿四元数和视频游戏》https://www.gameludere.com/2020/03/12/euler-angles-hamilton-quaternions-and-video-games/ 。从1986年航天飞机的姿态控制机械装置开始，四元数在太空旅行中也发挥了作用。即使年轻的爱尔兰皇家天文学家对19世纪的天文学没有贡献，汉密尔顿也对20世纪的航天产生了影响！
汉密尔顿在另一个方面是有先见之明的。在后来出版的《四元数讲座 Lectures on Quaternions》中，他添加了一个脚注，说：“将这个空间外的单位与时间的概念联系起来，是自然的（在我看来，现在仍然如此）”。也就是说，在四元数a + bi + cj + dk中，他想象a是类似时间的，bi + cj + dk是类似空间的。在这一点上，他预见了闵可夫斯基空间（Minkowski space），狭义相对论发生的舞台。还记得麦克斯韦最初用四元数写了统治电磁学的方程，麦克斯韦方程（以去四元数的形式）启发了爱因斯坦的时空概念。如果麦克斯韦没有被大向量（Big Vector）说服，用符号重写他的方程，破坏四元数的标量和向量部分，狭义相对论会更早被发现吗？
我将以汉密尔顿自己以十四行诗（sonnet）的形式演绎他的伟大发现来结束，名为Tetractys（圣十）。【注#14】
高等数学之魅力严厉，
直线与数字乃吾主题；
觊觎它未出生的后代，
而王座留在真理天穹；
之前想法越来越清晰；
一维时间和三维空间，
在符号链中紧紧环绕：
我渴望而康复的耳朵，
捕捉到古曲微弱回声，
旧思想轮廓宏伟朦胧，
他轻柔一笑以示苏醒，
晚年我在西方气候中，
跟随模糊的毕氏传说；
做神秘西游的四元梦。
【尾注】
#1.为了公平对待凯瑟琳的父母，应该注意的是，汉密尔顿从未告诉凯瑟琳，他的感情不只是兄弟情谊，更不用说告诉她的父母他有任何真心的意图了。
#2.尽管人们很容易将威廉和凯瑟琳塑造成注定要失败的浪漫的悲剧人物，凯瑟琳的故事无疑是悲惨的，但威廉能够在他的生命中继续前进，而他与海伦的婚姻是幸福的。
#3.1832年，汉密尔顿在一次关于天文学的演讲中宣称：“尽管诗歌和科学之间存在所有真正的差异，但她们之间存在很强的相似性；双方都拥有的力量，将思想提升到沉闷骚动的地球之上，并从低级趣味中胜出；两者都有点燃可激发的热情和对成名的美好愿望的倾向；都可以将她的奉献者带入她自己创造的世界的魔力；也许，两者都产生一种随之而来的倾向，对喧嚣动荡的现实生活的不适应。
#4.在对这些细节进行了一次详细讨论之后，华兹华斯写道：“我可以毫无顾忌地说，这些诗句非常有活力，有趣而富有诗意。它们所描述的性格变化是一个有启发性的沉思对象，整体都带着感情运行”。尽管如此，总的信息还是很明确的：你是一位优秀的诗人，但却是世界级的数学家，所以要把精力集中在后者上！
#5.今天我们称这样的数对为有序对，其中包含修饰符“有序”是为了强调(2, 3)和(3, 2)将被解释为不同的数对。这个限制条件是必要的，以确保 2 + 3 i 和 3 + 2i 将被解释为不同的复数。
#6.回想一下，汉密尔顿第一次接触数学是通过心算（mental calculation）艺术。我推测，这种特殊的启蒙——专注于如何对数字进行操作，而不是数字的实际含义——使他倾向于数学实体的操作方法，这对于他处理复数以及他后来发明的四元数至关重要。
#7.这是亨利·庞加莱（Henri Poincaré）写下“数学是给不同事物起相同名称的艺术”时所表达的一部分意思。有序对 (0, 1)（汉密尔顿人为算术的居民）和数字 −1（实数系统的居民）是不同的实体，但它们在如何与相应其他实体交互方面具有相同的属性，因此出于某些目的，我们有权将它们视为相同。
#8.你可能会认为，既然我们现在是三维而不是二维，这些指数应该是3，而不是2。这是学生在学习如何将勾股定理推广到三维时经常做出的猜测。但这两个确实是正确的；从 (x, y, z)到 (0, 0, 0) 的距离是 x² + y² + z² 的平方根，而不是 x³ + y³ + z³ 的立方根。看到后一个公式不正确的一种方法是考虑 z = 3 时的情况。如果立方和的立方根公式正确，则 (x, y, 0) 和 (0, 0, 0) 之间的距离必须是 x³ + y³ 的立方根。但由于 (0，0，0) 和 (x，y，0) 都位于 z = 0 平面内，我们可以应用普通的二维距离公式，推导出 (x，y，0) 和 (0，0，0) 之间的距离是 x² + y² 的平方根，而不是 x³ + y³ 的立方根。
#9.后来他会后悔他没有从希腊词根gram-（直线）和arithm-（数字）中称它们为grammarithm，从而我们称之为四元数的标量和向量部分将改为称为grammarithm的arithmetic和grammic部分，但那时改变术语为时已晚。
#10.1898年，数学家阿道夫·赫维茨（Adolph Hurwitz）表明，汉密尔顿未能弄清楚如何做三元数乘法并不是由于缺乏洞察力；汉密尔顿为自己设定的问题只能在维度1、2、4和8中实现。这种现象的最新体现来自弦理论背后的数学，它只适用于某些“魔术”维度。
#11.受康德影响的汉密尔顿最初试图将他的数学思想与代数作为纯时间科学的观点联系起来，这使他认为代数应该仅限于研究满足结合律的运算。当他遇到非结合运算，如八元数的乘法和他将向量乘以向量的方式时，这使他重新评估了他早期的立场，并且他更加赞同Peacock和德·摩根（de Morgan）的观点，即认为代数是未解释符号的自由发挥。
#12.一个说明性的例子是 w = i， w' = −i。我们计算
(w)(i)(w') = −iii = i
(w)(−i)(w') = +iii = −i
(w)(j)(w') = −iji = −j
(w)(−j)(w') = +iji = j
(w)(k)(w') = −iki = −k
(w)(−k)(w') = +iki = k
向量 i 和 −i 保持固定，而 j 和 −j 被交换，k 和 −k 被交换，正如我们在围绕 i 轴旋转 180 度时所期望的那样。
#13.另一个可能导致汉密尔顿推断他需要他的乘法是非交换的路径（尽管不是他实际遵循的路径）是考虑乘积(i − j)(i + j)。由于它是两个非零四元数的乘积，模定律意味着它必须是非零的。然而，根据分配律，它展开为 ii + ij − ji − jj。由于 ii = jj = −1，因此第一项和第四项抵消，得到 ij − ji。因此，不等式 (i − j)(i + j) ≠ 0 直接暗示了 ij − ji ≠ 0 的不等式，这只是 ij ≠ ji 的另一种说法。
#14.在毕达哥拉斯神秘主义中，tetractys（圣十）是一个由十个点组成的三角形，每边有四个点，通过1 + 2 + 3 + 4的和来代表数字四。将四元数与这个神秘的标志联系起来有点牵强。但是说到tetractys，这里有一个小的数学历史阴谋论给你。你听说过一个被毕达哥拉斯兄弟会谋杀的喜帕索斯（Hippasus）吗？故事是这样的，他们这样做是为了报复喜帕索斯证明（或者是为了宣传？）2平方根的无理性。但这只是一个封面故事。他真正的“罪行”，被兄弟会隐瞒了两千年，是发明了今天被称为保龄球的亵渎运动。
参考文献
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威廉·罗文·汉密尔顿，《四元数元素》（都柏林，1866年） https:///details/elementsquaterni00hamirich
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安妮·范·韦尔登，《凯瑟琳·迪斯尼：传记素描》 https://annevanweerden.nl/docs/Catherine_Disney.pdf
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维基百科，《四元数的历史》 https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_quaternions
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查理伍德，《催生现代代数的奇怪数字》，量子杂志，2018-9-6 https://www.quantamagazine.org/the-strange-numbers-that-birthed-modern-algebra-20180906/
原文链接：
https://mathenchant.wordpress.com/2023/05/17/hamiltons-quaternions-or-the-trouble-with-triples/
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