曹亮吉
曲線與曲面的特性在其彎曲。在數學上，我們不似要說它們是彎曲的，而且還得說它們彎曲到什麼程度。衡量彎曲的程度，在數學上叫做曲率。我們先談小面曲線的曲率。
先說直線，它到處都平直不彎曲，所以曲率到處都是 0。再看圓，一個圓的彎曲程度到處都一樣，所以曲率是個常數；但大的圓比小的圓平直些，所以大的圓的曲率要較小的來得小。若大小兩圓的半徑各為 R 及 r，則同樣繞了一圈(彎曲了一圈)，大圓要花
的弧長，而小圓則為
，所以
與
應該可以描述大小兩圓的彎曲程度，也就是說圓的半徑的倒數，就是圓的曲率。
圖一
以上是就整個圓而討論的。就局部而言，圓的彎曲可以其切線斜角的變化來衡量。斜角的變化與弧長的變化之商代表曲度的平均變化率，如圖一，設圓 O 的半徑為 R，我們很容易看出來：從 P 點到 Q 點切線斜角的變化 θ 正好是
，而弧長的變化
正好是
，兩者之商
所以圓的曲率恆為
。
圖二
推廣到一般的曲線上，如圖二，我們可以考慮曲線從 P 點到 Q 點切線斜角的變化 θ, 將其除以弧長
，然後讓 Q 點逼近 P 點，如此所得的極限值
就稱為曲線在 P 點的曲率，顯而易見的是：由此定義求得的直線曲率為 0，而圓的曲率為其半徑的倒數。
從微分的觀點來看，曲線 y=f(x) 的曲率可看成切線斜角
對弧長
的變化率， 含 f(x) 的一次及二次導函數。牛頓等人首先導出正確的公式：
以拋物線 y=af(x)=ax2 為例，則因 f'(x)=2ax ,f''(x)=2a，所以曲率為
。當 x=0 時，亦即在拋物線的頂點處，曲率的值最大 (=2a)，而當 P 點離頂點愈遠，亦即 x 的絕對值愈大時，曲率愈小，這正符合我們對拋物線彎曲變化的印象。
圖三
我們可以把曲率做另一種幾何式的解釋：以 A 點為新坐標系統的原點，過 P 點的切線為新的 x 軸， 則曲線的新的函數 y=f(x) 在 P 點，即 x=0 處的導函數為 0（因為切線就是 x 軸），所以曲率為 f''(0)。 而此時 y=f(x) 的 Taylor 展式為
所以曲率
如圖三，y 代表 Q 點到切線的距離 QS, x 則為 PQ 在切線上的投影 PS， 曲率變成
這樣的幾何解釋和坐標系統無關。
如果用拋物線原來的公式 y=f(x)=ax2，P(x0,y0)，Q=(x0,y0)，則因切線方程式為 y-y0=2ax0(x-x0)，由此可算得 QS,PS，經整理後得
當
，即
時，我們就得到拋物線原來的曲率公式。
有時候曲線的方程式以參數來表示比較方便：
,
，這時候的曲率公式則為
以橢圓
,
為例，則
假定 a>b>0，則
，π 時，曲率
為最大，而當
，
時，曲率
為最小， 這和橢圓彎曲給我們的印象相符。（如果 a=b>0，則曲率永遠是
，這正是半徑為 a 的圓。） 再看雙曲線：
，
，此時
這裡的曲率之所以為負的原因是這樣的：弧長的方向以參數 θ 增加的方向為準，而順著這樣的方向， 曲線一直在切線的右邊，所以切線的斜角（是 θ 的函數，但不是 θ 本身）一直在減少，其相對於弧長的變化率是為負值，因此曲率為負。如果
，
，則這組參數方程式仍然表示雙曲線，只是當參數增加時，曲線是左彎的(曲線在切線的左側，而根據曲率公式算得的曲率則為正數。 我們的結論是這樣的；曲率的絕對值表示曲線彎曲的程度， 曲率的正負則表示彎曲的方向（以參數為準）。回到 原來雙曲線的曲率公式，我們發現在頂點時，即
,π ，曲率的絕對值最大
。而當曲線離開頂點越遠，即
愈大，即曲率的絕對值愈小，而終於趨近於 0，這與雙曲線圖形給我們的印象相符。
以上所談的都是平面中的曲線。空間中的曲線除了彎曲外，還得看它扭離平面的程度，討論起來非常麻煩，我們就擱下不談。
在曲線上可以談曲率的先決條件是要有切線，而且切線的變化率也要存在； 換句話說，曲線的函數要有二次以上的須函數。同樣的，要在曲面上討論曲率， 我們要求它們的函數要有二次以上的偏導函數。過這樣的曲面上的任一點都有切平面；垂直於切平面而過切點的直線稱為法線。 我們考慮一個含此法線的平面，它與曲面截成一曲線。我們可以以法線為軸，將此平面旋轉 φ 角
就得到所有的含此法線的平面， 這些平面與曲面相截所得一連串曲線所呈現的各個曲率
全體，可做為曲面在該點的曲率。
也許直覺上我們會認為
的變化可以非常大，它如何能有效地描述一曲面的彎曲程度呢？其實只要稍加說明，我們會發現
，
， 之間有沌地的關係。首先，我們知道在常態下（假設曲面有連續的二次偏導函數），
為 φ 的連續函數。但
， 所以所有的
值組成實數上的一個閉區間 [K20xA141K1]。也就是說
有最大值 K1，最小值 K2，而其他的
值都落在兩者之間， 而且兩者之間的任何值都是某個
值。不但這樣， Euler 還發現
有如下的性質：若以 K1 的方向為
，即
，則
， 亦即曲率最大及最小的兩個方向互相垂直。更有進者， 在這種方向取法下，
。
要證明這個 Euler 的定理並不難。只要回到我們談過的曲線曲率的另一種幾何解釋就好： 我們取所考慮的點為原點，該點的切平面為 x-y 面，則代表曲面的函數，其 Taylor 展式的常數項及一次項都要消失， 所以
更進一步，我們可以在切平面上選擇適當的 x 軸及 y 軸，使得 B=0（轉軸方法），因此
設
,
為含法線的平面，則相截的曲線為
所以
若
，則 A=K，為
的最大值，而 C=K2，為最小值。 （若 A<C，則將 x,y 對調即可。）
我們來看一下幾個熟悉曲面的曲率。球的法線都過球心，含法線的平面截球面所成的曲線就是球面上的大圓孤， 所以
恆等於
-球半徑的倒數。
再看半徑為 1 的圓柱面。因為整個曲面總是在切平面的同一側， 因此
都是同號，可以假定都不小於 0。當含法線的平面與圓柱的軸平行時， 它與圓柱面相截或一直線，所以此時
，因此
的最小值 K2=0，而
。K1=K(0) 發生在與圓柱軸垂直的方向，此時的曲線是半徑為 R 的圓， 因此
。如此可得
事實上，當平面與軸成
角時，相截曲線為橢圓 ，其長軸為
，短軸為 R，切點正好是短軸的頂點，所以曲率為
這和 Euler 的結果相符。
同理，圓錐面也有相同的曲率公式，只是 R 代表的是在切點，與軸相垂直所截圓的半徑。
再看雙曲拋物面
的原點（馬鞍點），含法線的平面
,
與曲面相截成拋物線：
（
時為直線），所以
我們發現
它們互為異號，這正表示切點附近的曲面同時會出現在切平面的兩側。
K1,K2 稱為曲面在切點的主曲率，它們當然完全標示曲面在該處彎曲的程度。 如果令
, K=K1K2，則 H 與 K 當然也同樣標示曲面的彎曲程度， 而且對某些問題而言，H 或 K 有時更具重要意義，而成為微分幾何探討的重要對象。 （H 稱為均曲率，K 稱為高斯曲率。）
