曲率

在数学中，曲率（curvature）是描述几何体弯曲程度的量，例如曲面偏离平面的程度，或者曲线偏离直线的程度。在不同的几何学领域中，曲率的具体定义不完全相同。曲率可分为外在曲率和内蕴曲率，二者有重要的区别。前者的定义需要把几何体嵌入到欧氏空间中，后者则是直接定义在黎曼流形上。曲线的曲率通常是标量，但也可以定义曲率向量。对于更复杂的对象（例如曲面，或者一般的n维空间），曲率要用更复杂的线性代数来描述，例如一般的黎曼曲率张量。

中文名曲率

外文名curvature

全称曲线的曲率

解释曲线某点切线方向对弧长的转动率

曲率表明曲线偏离直线的程度

性质曲率越大，曲线的弯曲程度越大

曲率倒数曲率半径

定义

弧

的切线转角

与该弧长

之比的绝对值称作该弧的平均曲率，记作

曲率公式

当

沿曲线L趋向于M时，若弧

的平均曲率的极限存在，则称此极限为曲线L在点M处的曲率，记作K，即

或

。

计算公式

设曲线的直接坐标方程为y=f（x），且y=f（x）具有二阶导数，曲线在点M处的切线的斜率为

,所以

又

,故曲线L在M点处的曲率为

设曲线是由参数方程

给出，利用参数方程求导法可得

曲率圆与曲率半径

曲线上点M处的曲率的倒数，称作曲线在这点处的曲率半径，记作

,则

在点M处曲线的法线的某一侧上取一点D，使

，并以D为圆心，以

为半径作圆。把这个圆称作曲线在点M处的曲率圆，把圆心D称做曲线在M处的曲率中心。

曲率圆具有以下性质：

（1）曲率圆与曲线在点M处有共同的切线和曲率；

（2）在点M邻近与曲线有相同的凹向；

因此，在实际工程设计问题中，常用曲率圆在点M邻近的一段圆弧来近似代替曲线弧，以使问题简化。