有趣的斐波那契数

中世纪一位著名的数学家莱昂纳多·斐波那契在公元1202年提出了一个非常著名的“兔子问题”：

假定年初有一对小兔子，在第一月逐渐成年，从第二月开始生下一对小兔子，以后每一个月都生下一对小兔子，而且所生小兔子亦在生后第一月逐渐成年，第二月开始生产一对小兔子，此后亦每月生产一对小兔，这样过了一年，问一共有多少对兔子？这里还假定第一对兔子和以后每产一对兔子必为一雌一雄，而每对兔子都可以互相交配，且没有死亡。

现在，我们来分析一下这个问题：一月有一对兔子，到二月长大成年仍是一对兔子；到第三月成了大兔子，并生下一对小兔子，因此三月份应有两对兔子；到了第四月，那对大兔子生下第二对小兔子，三月份所生的那对小兔子逐渐成年，本月应该有2+1=3对兔子；到第五月，最初的那对大兔子又生下第三对小兔子，而三月份出生的那对小兔子已经长成大兔子，并产下第一对小兔子，四月份出生的那对小兔子逐渐成年，这时应该有3+2=5对兔子，三对是五月前出生的，两对是五月出生的；到六月，最初那对大兔子生下第四对小兔子，三月出生的也生下第二对小兔子，四月出生的开始生下第一对小兔子，五月出生的两对小兔子逐渐成年，这时应该有5+3=8对兔子，五对是六月前出生的，三对是六月出生的；继续用这种方法讨论下去，就有点说不清了，但实际上，兔子的出生数，就是下面这么一列数：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……

到第十二月为144对，如果第二年继续按这种规律生育下去，我们还能得到

233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，……

这列数就是著名的斐波那契数，这列数有一个非常显著的特征，就是从第三项开始的每个数，都是它前面两项之和。这就是说，只要把相邻的两项相加，就可以得到下面一项数。

即：Fn=Fn-1+Fn-2 （n≥0）（1—1）

斐波那契数并不是只反映兔子的出生数，它还与“黄金分割”有关，因此，斐波那契数是一列非常重要的数列。

斐波那契数是一列非常有趣的数列,它从F₁开始的全部项可以用一个非常简单的无限全等阶连分数来表示。这个连分数为：

为节省篇幅，可改写为：

只要你愿意，你可以无限地写下去。这个连分数的每一个渐进分数依次都是斐波那契数相邻两项之比。例

如第一个渐进分数

是F1与F2之比，第二个渐进分数

是F2与F3之比，第三个渐进分数

是F3与F4之比，第四个渐进分数

是F4与F5之比，第五个渐进分数

是F5与F6之比，第n个渐进分数

是F_n与F_n+1之比，等等。当n为无穷大时，这个连分数就包容了斐波那契数从第一项开始的全部正整数项。

当斐波那契数逐渐增大时,依次两项的比例也逐渐收敛于一个极值,这个极值为

对这个问题,我们在《与黄金分割有关的级数与数列》一书中的第一章“无限全等阶连分数”中已给予证明。

斐波那契数依次相邻两项之比收敛于极值，可以用公式表示为

如果把斐波那契数依次相邻两项交换位置再比,即把斐波那契数相邻前项作为比例后项,而把斐波那契数相

邻后项作为比例前项,它同样具有收敛性质,它收敛于极值

,可以用公式表示为

它的连分数表示法为

斐波那契数依次相隔两项之比也具有收敛性质，它收敛于极值

可以用公式表示为

这个极值,可以用另一个有趣的连分数来表示:

或节省篇幅表示为:

两个极值

与

相加正好为1。

（本文原写于1980年，后收录于《与黄金分割有关的级数和数列》一书，见四川大学出版社2008年9月第一版）

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