怎样准确描述一条曲线？解析几何中的方法是建立一个坐标系，将曲线放入坐标系中，然后给出以曲线上点的坐标为变量的方程。方程跟曲线之间存在一一对应的关系，因此可以表示曲线。而且关于曲线的几何关系可以通过对曲线方程的运算得到。

    然而，曲线是客观存在的，其特征不依赖于坐标系的选取。能否不用坐标系而直接根据曲线自身的参数对曲线进行准确描述呢？

    为了达到这个目的，一个很自然的想法就是在曲线上选取一参考点，然后将曲线上所研究的点到参考点的弧的有向(在参考点的两侧分别取不同的正负号)长度作为研究的点的坐标，这样的坐标叫自然坐标。然后建立描述曲线的局部结构特征跟自然坐标之间的关系的方程(组)即可。显然这样的方程不依赖于外在的坐标系。

    曲线有哪些局部特征呢？更准确地说，最少需要曲线的哪些局部特征，然后建立它们跟自然坐标的方程就可以准确地描述曲线？对于这个问题，我们可以参考解析几何中曲线方程的特征。对于平面曲线而言，只需要二维坐标系下的一个方程就足以准确描述，空间曲线则需要两个方程构成的方程组。

    同理，对于平面曲线，也只需要一种局部特征跟自然坐标之间建立的方程就足以准确描述。我们最容易想到的曲线的特征可能就是曲线在局部的弯曲程度。这可以用曲线的切向量(或法向量)的方位角关于自然坐标在所研究的点处的导数(或者说从曲线上所研究的点出发沿曲线运动时切向量绕过的角度关于经过的弧长的瞬时变化率)来表示。上述导数或瞬时变化率叫作曲率，通常取绝对值。圆上各点曲率相等，等于半径的倒数，因此也将一般曲线曲率的倒数叫作曲率半径。圆的半径越小，圆弧的弯曲程度越大，同时曲率也越大。因此，跟据圆的特征就可以很直观地看出曲率可以描述曲线的弯曲程度。在运动学中，圆周运动的向心加速度等于v²/r，其中r是圆的半径。对于一般的曲线运动，计算向心加速度时将上述r换为曲率半径即可。

    对于空间曲线，则需要两种特征跟自然参数之间建立的二元方程组才能准确描述。其中一种特征仍然可以选择曲率。

    由曲率半径的定义及其在运动学中的性质可知，曲率半径可以看作曲线上一点处与曲线紧密相切的圆的半径，这个圆叫作密切圆(下图所示)。

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图中圆为P点处的密切圆，R为曲率半径，其值等于曲率的倒数(图片来自维基百科)

    空间曲线与平面曲线不同的是，它不仅处处弯曲，还处处绕法向量扭转。换句话说，随着点在曲线上移动，密切圆的法向量也在绕曲线横向转动。因此类比曲率的定义，可以用密切圆的法向量方位角关于自然坐标在所研究的点处的导数(或者说从曲线上所研究的点出发沿曲线运动时密切圆的法向量绕过的角度的关于经过的弧长的瞬时变化率)来表示曲线在局部扭转的程度，这个导数或瞬时变化率叫作挠率。分别用曲率和挠率跟自然坐标建立的方程构成的二元方程组就可以对曲线进行准确地描述。

    根据上述讨论也可以看出，圆也可以定义为曲率为常数的平面曲线。这种定义根本不需要借助圆心和半径的概念，因此圆心和半径并不是圆的内在属性，或者说圆没有圆心和半径，同理三角形也没有高(点击参考:圆没有圆心和半径，三角形没有高)。