Γ函数与广义阶乘函数

  前面介绍的广义二项式定理表明，二项式的指数以及其用组合数表示的系数都可以从自然数推广到一般实数。由于组合数可以用几个阶乘的乘除组合来表示，即

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那么阶乘是否也可以推广到一般实数呢？事实上，是可以的。

    为了进一步说明，我们先介绍一种特殊的非初等函数——Γ函数，也叫第二类欧拉积分，其在复数域上的定义为

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其中z为复数。对于自然数n，有以下等式成立

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可以看出阶乘可以用Γ函数表示，由于Γ函数在实数域上都有定义，那么可以通过它将阶乘推广到实数域上，即任意实数x的阶乘可以定义为

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上述函数也叫广义阶乘函数，它有很多有趣的性质，比如

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    整数次幂的二项式定理的展开式系数为组合数，可以用阶乘表示，若将一般(非整数)实数的阶乘用广义阶乘函数表示，那么组合数及二项式定理都可以推广到复数域。不难证明，这样推广出来的结果和前面介绍的广义二项式定理是一样的。

    物理中的很多问题都可以转化为排列组合的极值问题，但一般定义在自然数上的排列或组合数中的阶乘直接求极值比较麻烦，若将阶乘推广到实数域，则求极值可以通过对广义阶乘函数求导来解决，这样会方便很多。