不定式极限与洛必达法则

    在求极限时，经常会遇到求两个无穷小(大)量之比的极限。这种极限可能存在，也可能不存在。两个无穷大量或无穷小量之比的极限统称为不定式极限。下文介绍求两类不定式极限的洛必达法则。

"0/0"型

定理1

若函数f和g满足：

（1）

（2）在x0的某去心邻域

上两者都可导，且

（3）

(A可为实数，也可为±∞或∞)，

则

证:

补充定义

使得f(x)与g(x)在x0连续。

任取

在区间[x0, x](或[x, x0])上应用柯西中值定理(微分中值定理)，有

即

其中，ξ介于x0与x之间。

当

时，也有

因此，

若将定理中的

换成

对条件(2)中的邻域作相应的修改，也可以得出同样的结论。

"·/∞"型

定理2

若函数f和g满足：

（1）在x0的某个右邻域

上两者可导，且

（2）

（3）

(A可为实数，也可为±∞或∞)，

则

对于

的情形也有相同的结论。类似的，上述定理也可以用柯西中值定理证明。

    其他类型的不定式极限，如0·∞, ∞-∞, 00, ∞0, 1∞等，通常可以转换为化为上述两类不定式极限。