函数的凹凸性与琴生不等式

定义

设函数f为定义在区间I 上的函数，若对I 上任意两点x₁与x₂，和任意实数λ∈(0, 1), 总有

则称f为I 上的凹函数。反之，如果总有

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则称f为I 上的凸函数。若上述两式中的不等号严格成立，则相应的函数分别称为严格凹函数和严格凸函数。

    凹函数的主要几何特征是，函数图像上连接任意两点的弦在函数图像的上方(如下图所示)，凸函数则相反。

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    需要注意的是，有的教材上凹(凸)函数的定义跟这里是相反的。

定理

设f为区间I 上的二阶可导函数，则在I 上f为凹(凸)函数的充要条件是

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定理(琴生不等式)

设f为[a, b]上的凹函数，则对于任意x_i∈[a, b], λ_i>0(i=1, 2, 3, 4, …, n)且

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有

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凸函数则相反。

    事实上，琴生不等式是凹(凸)函数定义的推广。琴生不等式可以用于证明柯西不等式、均值不等式等很多重要不等式。此外，函数的凹凸性在优化理论中有非常重要的应用，有一门专门研究凸函数和凸集的课程，叫作凸分析。