解析函数与柯西-黎曼方程

自变量为复数的函数称为复变函数，不过与实变函数不同的是复变函数存在多值函数。但多值函可以分为多个分支的单值函数来研究。通常不特别说明的情况下，复变函数一般都指单值函数。复变函数也可以定义导数、微分、积分。但复变函数可导的条件比实变函数苛刻得多。若复变函数在一点的某个领域内可导，则称它在该点解析，也称为全纯或正则。当复变函数在一个区域内每一点都解析时，简称它在该区域内解析，或称它为该区域内的解析函数。显然，复变函数在区域内解析与它在该区域内处处可导是等价的。下面给出函数解析的一个充要条件。

定理1

复变函数

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在区域D内解析的充要条件是二元函数u(x,y)和v(x,y)在D内任意一点z=x+iy可微且满足柯西-黎曼方程

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定理2

复变函数

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在区域D内某一点可导的充要条件是二元函数u(x,y)和v(x,y)在该点可微且满足柯西-黎曼方程。导数可以表示为

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