晶带定律——空间解析几何在晶体学中的一个应用

晶体

自然界中很多固态物质都以晶体(如金刚石、食盐、作为土壤主要成分的硅酸盐、石英以及各种宝石)结构存在，即组成它们的分子(原子或离子)在三维空间中呈周期性排列。

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以晶体结构存在的紫水晶(图片来自Wikipedia)

空间点阵与晶胞

若将一个或一组分子(原子或离子)抽象成一个点，那么所有的点在三维空间作周期性排列形成空间点阵。将这些点用直线连接起来就形成空间网格，某些简单的特殊连接方式形成的网格称为晶格，其基本单位称为晶胞(平行四边行格子)。晶格可以看成晶胞在空间作三维周期性平移后堆砌得到。以某一晶胞的一顶点为原点，过顶点的三条棱的三条直线为晶轴建立坐标系，并分别以晶胞三条棱的长度(称为点阵常数或晶格常数)作为三个坐标轴方向的单位长度，那么点阵中的任意点的坐标均可由三个整数表示。

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食盐(NaCl)的晶体微观结构示意图，紫色球代表Na原子，绿色球代表Cl原子。(图片来自Wikipedia)。

晶面与晶向

对于位于同一直线上的点，他们所在直线的方向称为晶向，可以用直线的法向量的坐标(u,v,w)(通常约化成最小整数)表示为[uvw]，括号中的数值均为绝对值，若约化后的坐标为负，则将负号放在数值上方。这种表示晶向的符号称为晶向指数。类似的，对于位于同一平面的所有点，它们所在平面称为晶面，也可以用晶面法向量约化后的坐标(h,k,l)表示为(hkl)，括号中的数值均为绝对值，若约化后的坐标为负，则将负号放在数值上方。这种表示晶面的符号称为晶面指数。上述晶向指数和晶面指数符号统称为米勒指数。

晶带与晶带定律

平行于某一晶向所在直线的所有晶面的集合称为晶带，此直线称为晶带轴，可用晶带指数表示。

根据法向量为(A,B,C)的平面的点法式方程

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(空间解析几何中的直线与平面)可知，与该平面平行的方向向量为(m,n,l)的直线一定满足

因此，对于三条晶轴相互垂直的晶体(正交晶系、四方晶系和立方晶系)。晶带轴[uvw]与该晶带的所有晶面(hkl)之间存在关系

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事实上，可以证明这种关系对于其他晶系也成立。因此凡是满足该关系的晶面都属于以[uvw]为晶带轴的晶带，故此关系式称为晶带定律。晶带定律最先由德国学者魏斯(Christian Samuel Weiss)得到，因此又称为魏斯定律或魏斯晶带定律(Weiss Zone Law)。

晶带定律的应用

利用晶带定律可以根据已知晶面或晶向求出未知的晶面或晶向。每一种晶体的所有晶面间距构成表征晶体结构的一组特征参数，对于不同晶体来说通常是不一样的。因此可以用晶面间距的值鉴定晶体的组成和结构，这是X射线衍射和电子衍射鉴定物质的主要基本原理。例如土壤的主要成分是多种硅酸盐，它们主要以晶体结构存在(只不过晶粒很小，肉眼不容易看出来)，因此找少量土壤样品通过X射线衍射技术便可以分析出它的主要成分及各种成分的含量。