【2020江苏常州中考试卷18】【直角三角形中的多重相似】

1.试题内容

【2020江苏常州中考试卷18】(2分)

如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6√2，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF＝3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为          ．

2.解法分析

当点F在点D右侧时

过点B作BF的垂线交直线DE于点M，作BN垂直于直线DE于点N，

易证四边形BGDM为平行四边形，所以BF＝3DG=3BM，

易证三角形BND为等腰直角三角形，所以BD=√2BN=√2DN.

因为AB＝6√2，D是AB的中点，

所以BD=3√2，BN=DN=3，

直角三角形MBF中的三个相似三角形：

△MBF∼△MNB∼△BNF.

所以MN:BN=BM:BF=1:3，

所以MN=(1/3)BN=1，

所以BG=DM=3+1=4.

(同学们也可以利用锐角三角函数求解)

当点F在点D左侧时

过点B作BF的垂线交直线DE于点M，作BN垂直于直线DE于点N，

易证四边形BGDM为平行四边形，所以BF＝3DG=3BM，

易证三角形BND为等腰直角三角形，所以BD=√2BN=√2DN.

因为AB＝6√2，D是AB的中点，

所以BD=3√2，BN=DN=3，

直角三角形MBF中的三个相似三角形：

△MBF∼△MNB∼△BNF.

所以MN:BN=BM:BF=1:3，

所以MN=(1/3)BN=1，

所以BG=DM=3-1=2.

(同学们也可以利用锐角三角函数求解)

综上所述：BG的长为4或2.

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