【倍长中线】

  中线的取值范围

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山西中考试题

如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围为(   )　

A．4＜AD＜10

B．2＜AD＜5　

C．1＜AD＜(5/2)

D．无法确定　

解法分析

延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，

∵AD是BC边上的中线，

∴BD=CD，

在△ADC和△EDB中，

ED=AD，∠1=∠2，BD=CD，

∴△ADC≅△EDB，

∴BE=AC=3，

在△ABE中，

AB-BE<AE<AB+BE，

即：4<2AD<10，

∴2<AD<5.

此题选B.

2

倍长中线法

如图，AD是△ABC的中线，F为AD上一点，且BF＝AC，连接BF并延长交AC于点E，求证：AE＝EF．

解法分析一

延长AD至点G，使GD=AD，连接BG，

∵AD是△ABC的中线，

∴BD=CD，

在△ADC和△GDB中，

GD=AD，∠1=∠2，BD=CD，

∴△ADC≅△GDB，

∴BG=AC，∠G=∠3，

∵BF=AC，

∴BG=BF，

∴∠G=∠4，

∴∠3=∠4，

∵∠4=∠5，

∴∠3=∠5，

∴AE＝EF．

解法分析二

延长AD至点G，使GD=FD，连接CG，

∵AD是△ABC的中线，

∴BD=CD，

在△BFD和△CGD中，

GD=FD，∠1=∠2，BD=CD，

∴△BFD≅△CGD，

∴BF=CG，∠G=∠4，

∵BF=AC，

∴AC=CG，

∴∠G=∠3，

∴∠3=∠4，

∵∠4=∠5，

∴∠3=∠5，

∴AE＝EF．

“倍长中线”是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点。常用于构造全等三角形（通常用“SAS”证明）和证明边之间的关系。

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