难度系数
★★★☆☆
如图,抛物线y=ax2-4x+c经过点A(2,-2),且当x=1时,函数y有最小值.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点B的坐标为(-3,-4),点B关于原点的对称点为B',点C是抛物线对称轴上一动点,若抛物线在直线BB'下方的部分与直线BC有公共点,求点C纵坐标yC的取值范围.
第一问
求二次函数解析式
∵当x=1时,函数y有最小值,
∴抛物线的对称轴为直线x=1,
即-(-4/2a)=1,
解得a=2,
把点A(2,-2)代入y=2x2-4x+c中得:
2×4-4×2+c=-2,
解得c=-2,
∴抛物线的解析式为y=2x2-4x-2.
第二问
函数图象的交点问题
∵点B的坐标为(-3,-4),点B关于原点的对称点为B',
∴点B'的坐标为(3,4),
由题意得:
直线BB'经过原点O,点B'(3,4)在抛物线上,
设直线BB'的解析式为:y=kx,
则:4=3k,
解得:k=(4/3),
∴直线BB'的解析式为:y=(4/3)x,
∵抛物线的解析式为y=2x2-4x-2,
∴抛物线的顶点坐标为(1,-4),
如左图:当直线BC经过抛物线的顶点时,yC=-4,
如右图:当直线BC经过点B'时,yC=(4/3),
∴-4≤yC<(4/3).
为什么yC不能等于(4/3)?
因为当yC=(4/3)时,抛物线与直线BC交于点B',而点B'不属于抛物线在直线BB'下方的部分,所以yC不能等于(4/3).
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