【2023四川雅安23(3)】【与圆有关的最值问题】【隐圆】

2023四川雅安23(3)

已知AB是圆O的直径，点P是圆O上一动点，AB=8，求PA+PB的最大值.

解法分析1

面积法+完全平方式

作PC⊥AB于点C.
∵AB是圆O的直径，
∴∠P=90°，
∴PA+PB=AB=64.
∵S=PA×PB=AB×PC，
∴2PA×PB=2AB×PC=16PC，
∴(PA+PB)
=PA+PB+2PA×PB
=16PC+64.
∴“求PA+PB的最大值”可转化为“求(PA+PB)的最大值”.

线圆最值

当点P位于弧AB的中点位置时，PC取得最大值4，
∴(PA+PB)=128，
∴PA+PB的最大值为8.

解法分析2

化曲为直

将线段PA绕点P顺时针旋转90°，得到线段PA'，
易证：点B、P、A'三点共线，
∴“求PA+PB的最大值”可转化为“求BA'的最大值”.

隐圆-定弦定角

以AB为斜边，向上作等腰直角三角形，直角顶点为M，
则：AM=4.
连接AA'，由旋转的性质得：
△APA'是等腰直角三角形，
∴∠AA'P=45°，(定角)
又∵AB=8，(定弦)
∴点A'在以点M为圆心，4为半径的圆上运动.

点圆最值

延长BM交圆M于点A'，此时BA'取得最大值8，
∴PA+PB的最大值为8.

Even if the road is not flat also should make oneself of the sun.就算路不坦荡，也要做自己的太阳。