2020.12.17
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三角形的面积公式推导，非常重要。任何一个多边形都可以分割成若干个三角形，也就是可以转化成求三角形的面积。
那三角形面积的公式如何推导呢？虽然前面已经有了平行四边形推导的转化经验，但是如果只用倍拼法加以解决，又显得很单一，也不利于后续梯形面积公式的推导。
三角形面积公式的推导方法一般可概括为“倍拼法”和“割补法”两大类型。“倍拼法”是指先把内两个全等的三角形拼成平行四边形，再利用平行四边形与三角形的面积关系，推导出三角形的面积公式，即“全等拼接，折半求积”。“割补法”则是在一个三角形中利用线段将该三角形“分割”成两块或多块，再将分割后的图形拼成已知的几何图形，从而实现化归，推导出三角形面积公式。
三角形面积公式不同导出方法的共同点在于:将未知转化成已知，即都是将三角形转化为面积公式已知的图形。换句话说，都是由已知的面积公式导出三角形的面积公式。
各种方法的区别，首先在于转化的思路，有两条基本路径：—是转化为平行四边形；二是转化为长方形。其次在于学具的使用，或者说转化的方法，也可分为两类:一类是用两个全等三角形直接拼成平行四边形，或剪拼成长方形；另一类是用一个三角形剪拼(割补)成平行四边形或长方形。因此，从两个维度形成2×2的四类，每个子类的方法可以不止一种。再次，利用不同的剪拼方法导出相应的公式，运算顺序可以有所不同，如下表。
这样，既可以让学生看到“殊途同归”，不同的剪拼方法得出相同的结果，即三角形面积=底×高÷2；又让学生看到计算时根据数据的具体情况，可以底和高先相乘再除以2，也可以先求底的一半再乘高，或先求高的一半再乘底。不同运算顺序的结果相同，在这里有了直观的解释。
不同版本的教材提供的方法不一，但倍拼法因为简单易理解，都有涉及。这种方法不仅简单、直观，而且紧密联系了上一节学过的“平行四边形面积”，易于被学生接受，具有普适性。该方法通过建立三角形面积与平行四边形面积之间的关系来推导公式，与欧几里得在《几何原本》中的思路一致。“倍拼法”虽然易理解，但形式较为单一，缺少变化；“割补法”则灵活多样、富于变化，能很好地训练学生思维，为后续几何证明中添加恰当辅助线做好准备。
五年级的老师从整个单元的角度去思考，引导孩子自己讨论探究的思路，引导学生自己想办法进行转化，借助学具、方格纸、多媒体工具发现转化的思路，用“转化、找联系、探究面积公式”的方法自主去完成。通过探究作业的方式，引导五年级的孩子自己去发现图形间的联系，进而提升数学思维。这也有助于后面梯形面积公式的推导更加丰富，也有助于学生感受转化的思想，并发现图形间的联系。
接下来，看看学生们是如何进行思考和探究的。学生们的“作品”都很棒，真实的思考都很有价值！
通过上面的探究方法，可见三角形既可以转化成平行四边形，也可以转化成长方形。所以三角形面积公式推导也可以在平行四边形面积之前教学。
“多边形面积”这里的几个知识点之间有着密切的联系，教师在教学时不应把知识点割裂开来，而应看作一个整体，在教学中凸显知识点之间的内部联系。通过整个单元的学习帮助学生建构多边形面积推导的知识网络，建立平行四边形、三角形、梯形和矩形面积之间相互转化的内在联系，渗透转化的数学思想方法。
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