三角形的重心定理及其证明

积石中学王有华

同学们在学习几何时，常常用到三角形的重心定理.但很多同学不会证明这个定理？下面给出三种证明方法，你阅读后想一想，哪一种证明方法最好. 已知：（如图）设 ABC中，L、M、N分别是BC、CA、AB的中点.

求证：AL、BM、CN相交于一点G，且 AG﹕GL= BG﹕GM= CG﹕GN=2﹕1.

B

C

证明1（平面几何法）：（如图1）假设中

线AL与BM交于G，而且假设C与G的连线与AB边交于N，首先来证明N是AB的中点.

现在，延长GL，并在延长线上取点D，使GL=LD 。因为四边形BDCG的对角线互相平分，所以BDCG是平行四边形.从而，BG∥DC，即GM∥DC.但M是AC的中点，因此，G是AD的中点.

另一方面，GC∥BD，即NG∥BD.但G是AD的中点，因此N是AB的中点.

另外，G是AD的中点，因此AG﹕GL=2﹕1.同理可证： BG﹕GM=2﹕1， CG﹕GN=2﹕1.

这个点G被叫做 ABC的重心.

证明2（向量法）：（如图2）在 ABC中，设AB边上的中

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