“幻方”的口诀

 

 

小学时，老师或者数学竞赛时经常会出现魔方的题目，记得金庸先生写的著名的
武侠小说《射雕英雄传》里面的瑛姑就是被一个三阶的幻方给困住了十几年，而黄蓉
不到一分钟就完成那个幻方，那么有没有什么诀窍呢？后来，在一些书上看到，对于
奇数阶的幻方，有如下的口诀：

 
 一居首列正中央，依次斜填左上方；

 左出框时向右写，上出框时往下放；

   遇到重合无处填，退居原数右邻行。

举例（3阶幻方）：
注：*表示还没有填数字的空位置

步骤（1）：即“一居首列正中央”

 
* * *
1 * *
* * *

步骤（2）：即“依次斜填左上方，左出框时向右写（上一行最右列）”

 
* * 2
1 * *
* * *

步骤（3）：即“上出框时往下放（左一列最下一行）”

 
* * 2
1 * *
* 3 *

步骤（４）：即“遇到重合无处填”，（也就是左上方已经写有数字），“退居原数右邻行”，
（将要填写的数字放到本行靠右一列）

 
* * 2
1 * *
* 3 4

步骤（５）：

 

* * 2
1 5 *
* 3 4

步骤（６）：

 
6 * 2
1 5 *
* 3 4

步骤（７）：注意：左上角位置的左上方位置是右下角，即６的左上方是已经填写了数据的４的位置，
根据口诀“遇到重合无处填”，此时

6 7 2
1 5 *
* 3 4

步骤（８）：即“上出框时往下放（左一列最下一行）”

 

6 7 2
1 5 *
8 3 4

步骤（９）：即“依次斜填左上方，左出框时向右写（上一行最右列）”

 
6 7 2
1 5 9
8 3 4

只要是奇数阶魔方，都可根据此“口诀”构造。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

双偶阶幻方

n为偶数，且能被4整除 (n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……)

先说明一个定义：
互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即 n*n+1，称为互补。

先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：

 
 1   2   3   4
 5   6   7   8
 9  10 11 12

13 14 15 16

这个方阵的对角线，已经用蓝色标出。将对角线上的数字，换成与它互补的数字。
这里，n*n+1 = 4*4+1 = 17；
把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。

对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4*4把它划分成k*k个方阵。因为n是4的倍数，
一定能用4*4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字
换成互补的数字，就构成幻方。

下面是8阶幻方的作法：

(1) 先把数字按顺序填。然后，按4*4把它分割成2*2个小方阵

 1   2   3   4   5   6   7   8
 9  10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56
57 58 59 60 61 62 63 64

(2) 每个小方阵对角线上的数字，换成和它互补的数。

 
64  2  3  61 60  6   7  57
9  55 54 12 13 51 50 16

17 47 46 20 21 43 42 24
40 26 27 37 36 30 31 33
32 34 35 29 28 38 39 25
41 23 22 44 45 19 18 48
49 15 14 52 53 11 10 56 
  8  58 59  5  4   62 63  1