说课（4）--（泛函分析）

距离空间中的点集是研究空间上算子（或变换）的基础，我们在微积分中研究函数的性质时首先需要搞清楚函数的定义域。在单变量情形，函数的定义域常常是开区间、闭区间，而在实分析中，函数的定义域可以是任意的开集、闭集甚至可测集。对于函数的连续性研究来说，开集、闭集是两个最基本的概念，这两个概念是建立在集合的内点、极限点（聚点）概念之上的。在一般的线性距离空间中，我们可以类似有限维空间定义“内点”、“极限点”、“开邻域”、“开集”、“闭集”、“稠密集”、“疏朗集”、“离散点集”、“孤立点集”等概念，他们的定义与有限维空间如出一辙，没有本质的差异，讲授者完全可以简略带过。

然而无限维空间中出现了一些新的现象，空间中的有界闭集不再具有有限维空间中有界闭集的美好特征，而这些特征是这些集合上函数或变换的许多重要性质得以成立的基础。如所周知，闭区间上的连续函数具有很好的性质，“介质定理”、“最大最小值原理”为保证方程解的存在性甚至数值求解发挥了举足轻重的作用。这些定理的证明强烈依赖于闭区间的重要特征，这就是区间套定理、聚点原理或有限覆盖原理。在有限维空间中，这些定理是相互等价的。在无限维空间中这些定理是否依然成立呢？这是决定相应的算子是否具有某种性质或方程是否有解的关键。可以证明，闭球套定理在完备线性距离空间上是成立的，事实上空间的完备性与闭球套定理是等价的。但令人遗憾的是，我们可以轻而易举地找到无限维空间中的有界闭集，在这个集合上，有限覆盖原理、聚点原理等不再成立。例如在l²={x={x_n}_n=1^∞|∑_n|x_n|²<∞}中定义距离为:

 

d(x,y)=[∑_n|x_n-y_n|²]^1/2

l²中的单位闭球指的是：

B(0,1)= {x={x_n}_n=1^∞|∑_n|x_n|²≤1}

 

显然它是一个有界闭集，取B(0,1)中特殊的点列x^(k)={x_n^(k)}为：

X_k^(k)=1, x_n^(k)=0,(n≠k)，不难验证d(x^(k),x^(j))≡2^1/2(k≠j)。显然{x^(k)}没有聚点（或极限点）。如果以B(0,1)中每个点为球心，1/3为半径作开球，则可以得到B(0,1)的一个开覆盖，显而易见，从这个开覆盖中不可能找到B(0,1)的有限子覆盖。

有限覆盖原理与聚点原理是如此重要，以至于许多方程解的存在性强烈依赖于他们，而在无限维空间中的有界闭集上，这些定理是不成立的，我们考察有界闭集上的算子或方程就未见得有意义了。这就是说，我们需要定义一种新的集合，使得在这些集合上有限覆盖原理或聚点原理能够成立，于是紧集、列紧集、完全有界集的概念应运而生。所谓紧集即使得有限覆盖原理成立的集合，所谓列紧集即聚点原理成立的集合。这里需要注意的是，在距离空间中，极限点与聚点是等价的概念，所以一般教科书中以序列的收敛性来定义列紧性，即：如果集合M中任何序列都有收敛的子列，则称M为列紧集，这也是这类集合之所以叫列紧集（序列紧）的原因。在开覆盖中，有一类特殊的覆盖，即用半径为ε的球覆盖某个集合，实际上在构造具体的开覆盖时常采用这种覆盖，假如对任意正数ε，存在有限个半径为ε的开球将某个集合覆盖住，则称该集合为完全有界集。

列紧集、完全有界集、紧集是什么关系？弄清楚它们的关系需要费一番功夫，由自列紧性证明紧性是其中最困难的一步，但证明的思想不仅不怪异，而且很值得借鉴，在很多重要定理的证明中都可以发现类似的思想，老师最好帮助学生对这个证明作详细的剖析。证明的第一步是如何根据列紧集的可分性从开覆盖中寻找可数的子覆盖，这是比较体现智慧的一步，但也是可分集合中常规的一步。第二步是证明可数开覆盖必有有限的子覆盖，证明这个结论的最好方法是反证法，限于篇幅，这里不对细节作详细分析。