导数的综合应用；极限；复数

 

二. 本周教学重难点：

1. 理解可能函数的单调性与其导数关系，会求函数的极值，最值

2. 掌握数列，函数极限的运算法则，会求数列函数极限，了解连续的意义

3. 了解复数的有关概念，能进行加、减、乘、除运算

 

【典型例题】

[例1] 已知a为实数

，若

在

和

上都递增，求

的取值范围。

解：

令

，即

∴

①

   

     

设

   ∴

∴

当

时，

当

时，

    ∴

②

     

   设

∴

    ∴

当

时，

当

时，

    ∴

由①②知：

 

[例2]

（

且

）在

上是减函数，求

的取值范围。

解：

令

，

或

∵

    ∴

∴

    ∵

   ∴

 

[例3] 已知

，函数

（1）当

为何值时，

取得最小值？证明你的结论。

（2）设

在

上是单调函数，求

的取值范围。

解析：（1）对函数

求导数，得

令

，得

从而

解得

，

，其中

当

变化时，

、

的变化如下表：

x
	+	0	－	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

 

当

在

处取到极大值，在

处取到极小值。

当

时，

，

，

在

上为减函数，在

上为增函数。

而当

时，

；

当

时，

，所以当

时，

取得最小值。

（2）当

时，

在

上为单调函数的充要条件是

，

即

，解得

综上，

在

上为单调函数的充分必要条件为

，即

的取值范围是

。

 

[例4] 已知

，

，若

，且

存在单调递减区间，求

的范围。

解：

时，

令

，即

有解即可

∴

∵

    ∴

（*）

设

，

    ∴

∵

    ∴

∵ （*）有解即可   ∴

当

时，

∵

    ∴

不可能小于0

∴

     又∵

    ∴

且

 

[例5] 把边长为60cm的正方形铁皮的四角切成边长为xcm的相等的正方形，然后折成一个高度为xcm的无盖的长方体的盒子，要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数

，问x取何值时，盒子的容积最大，最大容积是多少？

解：设长方体高为xcm，则底面边长为

 

长方体容积

  

∵

     ∴

，即函数定义域为

令

，解得

，

（不合题意舍去），于是

x	（0，10）	10	（10，30）
	+	0	－
	↗		↘

① 当

即

时，在

时，

取得最大值为

② 当

即

时，在

时，

取得最大值

 

[例6] 已知

，求

。

解：∵

∴

为方程

的根，

又

∴

    ∴

，

 

[例7] 是否存在常数

使等式

对一切正整数

成立？证明你的结论。

解：分别将

代入

∴

下面用数学归纳法证明

（1）当

时，成立

（2）假设

时等式成立

当

时，

左

由（1）（2）知等式对一切

成立

 

[例8] m取何实数时，复数

是实数？是虚数？是纯虚数？

解：①

为实数

       ∴

②

为虚数

      ∴

且

③

为纯虚数

     ∴

或

 

【模拟试题】

一. 选择题

1. 已知

，函数

在

上是单调增函数，则

的最大值是（    ）

A. 0        B. 1        C. 2        D. 3

2. 已知曲线

过点

，则这一曲线在该点的切线方程是（    ）

A.

                  B.

C.

                  D.

3. 已知

（m为常数）在

上有最大值6，那么此函数在

上的最小值为（    ）

A. –34     B.-29    C.-5    D.-11

4. 函数

，其中

为实数，当

时，

（    ）

A. 是增函数         B. 是减函数

C. 是常数函数     D. 既不是增函数也不是减函数

5. 已知函数

，则

（    ）

A. 极大值为5，极小值为

B. 极大值为5，极小值为

C. 极大值为5，无极小值

D. 极小值为

，无极大值

6. 函数

的极值点是（    ）

A.

                                   B.

C.

或

             D.

7. 观察函数：①

；②

；③

；④

。

当

时极限值为1的是（     ）

A. ①③         B. ②③         C. ③④         D. ①④

8.

等于（     ）

A.

              B.

           C.

        D.

 

二. 解析题

1. 已知函数

。

（1）若

在实数集R上单调递增，求实数

的取值范围。

（2）是否存在实数

，使

在

上单调递减？若存在，求出

的取值范围；若不存在，请说明理由。

（3）证明

的图象不可能总在直线

的上方。

2. 已知

，求

的单调区间。

3. 某厂生产某种产品的固定成本（固定投入）为2500元，已知每年生产x件这样的产品需要再增加可变成本

（元），若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？

 

 

 

【试题答案】

一.

1. D

解析：

，因为

在

上单调递增，所以

，即

，故

。

2. B

解析：∵ 曲线

过点

∴

    又

   ∴

∵

    ∴ 切线方程为

∴ 选B

3. A

解析：

由

得

或2

∵

，

，

显然

∴

，最小值为

4. A

解析：

，其判别式

∴

时恒有

成立

∴

为增函数

5. C

解析：令

，得

或

∵

    ∴

当

时，

而当

时，

∴

为

的极大值点

当

时，

6. D

解析：由

，得

或

当

时，

；

时，

∴

不是极值点，同理

也不是

的极值点，

为

的极值点，故选D。

7. D

解析：经计算：①的极限为1，②的极限为0，③的极限为

，④的极限为1，所以选D

8. B

解析：∵

     ∴

 

二.

1. 解析：（1）由已知

      ∵

在

上是单调增函数

∴

在

上恒成立，即

对

恒成立

∵

    ∴ 只需

又

时，

，

在R上是增函数

∴

（2）由

在

上恒成立

得

，

恒成立

∵

    ∴

    ∴ 只需

当

时，

，在

上，

即

在

上为减函数   ∴

故存在实数

，使

在

上单调递减

（3）证明∵

∴

的图象不可能总在直线

上方

2. 解析：

             

（1）当

时，若

，

；若

，

所以当

时，

在

内为减函数，在

内为增函数

（2）当

时，由

解得

或

由

，解得

所以

时，

在

内为增函数，在

内为减函数，在

内为增函数

（3）当

时，由

，解得

，由

，解得

或

，所以当

时，

在

内为减函数，在

内为增函数，在

内为减函数。

3. 解析：设该厂生产x件这种产品的利润为

元，则

    

  

令

，得

（件）

又当

时，

；

当

时，

，所以

是

的极大值点。

当

时，

元

因此，要使利润最大，该厂应生产这种产品60件，最大利润为9500元