平面性质及空间直线
二、教学目标：
1、了解：柱、锥、台、球及其简单组合体、三视图与直观图、平面及其基本性质
2、理解并会应用平面的基本性质会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图
3、掌握证明关于“线共点”、“线共面”、“点共线”的方法
4、会作几何体的截面图
三、知识要点：
1、平面的概念：
平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性
2、平面的基本性质
公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
推理模式：．如图示：
应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面．
公理1 说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线
推理模式：且且唯一如图示：
应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上
公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．
公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
推理模式：A，B，C不共线存在唯一的平面，使得．
应用：①确定平面；②证明两个平面重合
“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．
推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面
推理模式：存在唯一的平面，使得，
推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面
推理模式：存在唯一的平面，使得a，bα
推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面
推理模式：a//b存在唯一的平面，使得
3、平面图形与空间图形的概念：如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形。
空间两直线的位置关系
（1）相交——有且只有一个公共点；
（2）平行——在同一平面内，没有公共点；
（3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点；
4、公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
推理模式：．
5、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等
等角定理的推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两条直线所成的锐角（或直角）相等
6、空间两条异面直线的画法
7、异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线
推理模式：与是异面直线
8、异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）．为了简便，点通常取在异面直线的一条上
异面直线所成的角的范围：
9、异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线垂直，记作．
10、求异面直线所成的角的方法：
几何法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点作另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求
向量法：用向量的夹角公式
【典型例题】
例1、已知：
证明：∵PQ∥a，∴PQ与a确定一个平面
例2、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体的棱AB，BC，的中点，试证：E，F，G，H，M，N六点共面．
证明：∵EN//MF，∴EN与MF 共面，
又∵EF//MH，∴EF和MH共面．
∵不共线的三点E，F，M确定一个平面，
∴平面与重合，∴点H。
同理点G．
故E，F，G，H，M，N六点共面．
例3、在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点．求证：EF和AD为异面直线．
证明：假设EF和AD在同一平面内，则A，B，E，F；又A，EAB，∴AB，∴B，同理C故A，B，C，D，这与ABCD是空间四边形矛盾。∴EF和AD为异面直线．
例4、在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E、F分别是AB、CD的中点，EF=，求AD与BC所成角的大小．
解：取BD中点M，连结EM、MF，则
例5、已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，A1A=AB， E、F分别是BD1和AD中点．
（1）求异面直线CD1、EF所成的角；
（2）证明EF是异面直线AD和BD1的公垂线．
（1）解：∵在平行四边形中，E也是的中点，∴，
∴两相交直线D1C与CD1所成的角即异面直线CD1与EF所成的角。又A1A=AB，长方体的侧面都是正方形，∴D1CCD1．
∴异面直线CD1、EF所成的角为90°．
（2）证：设AB=AA1=a， ∵D1F=∴EF⊥BD1
由平行四边形，知E也是的中点，且点E是长方体ABCD—A1B1C1D1的对称中心，∴EA=ED，∴EF⊥AD，又EF⊥BD1，∴EF是异面直线BD1与AD的公垂线．
例6、△ABC是边长为2的正三角形，在⊿ABC所在平面外有一点P，PB=PC=，PA=，延长BP至D，使BD=，E是BC的中点，求AE和CD所成角的大小和这两条直线间的距离．
解：分别连接PE和CD，可证PE//CD，则∠PEA即AE和CD所成角．在Rt△PBE中，PB=，BE=1，∴PE=。在⊿AEP中，AE=，=．
∴∠AEP=60o，即AE和CD所成角是60o．
∵AE⊥BC，PE⊥BC，PE//DC，∴CD⊥BC，∴CE为异面直线AE和CD的公垂线段，它们之间的距离为1．
【模拟试题】
1、空间三条直线互相平行，由每两条平行线确定一个平面，则可确定平面的个数为（ ）
A、3 B、1或2 C、1或3 D、2或3
2、若为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是 （ ）
A、相交 B、异面 C、平行 D、 异面或相交
3、已知a ， b为异面直线，AB是公垂线，直线l∥AB，则l与a ， b的交点总数为 （ ）
A、0 B、只有一个 C、最多一个 D、最多两个
4、教室内有一把尺子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线 （ ）
A、平行 B、垂直 C、相交但不垂直 D、异面
5、在正方体A1B1C1D1—ABCD中，AC与B1D所成的角的大小为 （ ）
A、 B、 C、 D、
6、若直线a，b为异面直线，直线m ， n与a， b都相交，则由a， b， m， n中每两条直线能确定的平面总数最多为 （ ）
A、6个 B、4个 C、3个 D、2个
7、若直线a和已知直线b同时满足：（1）a， b是异面直线，（2）a ， b的距离是定值，（3）a，b的夹角也是定值，则直线a （ ）
A、仅有一条 B、有两条 C、有四条 D、有无数条
8、如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是（ ）
9、“ａ、ｂ为异面直线”是指：①，且ａ不平行于ｂ；②，，且；③，，且；④，；⑤不存在平面能使，成立。其中正确的序号是（ ）
A、①④⑤ B、①③④ C、①④ D、①⑤
10、如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC等于 （ ）
A、45° B、60° C、90° D、120°
11、线段OA，OB，OC不共面，AOB=BOC=COA=60，OA=1，OB=2，OC=3，则△ABC是（ ）
A、等边三角形 B非等边的等腰三角形
C、锐角三角形 D、钝角三角形
12、若a，b，l是两两异面的直线，a与b所成的角是，l与a、l与b所成的角都是，则的取值范围是 （ ）
A、[] B、[] C、[] D、[]
13、正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于O，AC、BD交于点M。
求证：点C1、O、M共线。
14、若△ABC所在的平面和△A1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证：
（1）AB和A1B1、BC和B1C1分别在同一个平面内；
（2）如果AB和A1B1，BC和B1C1分别相交，那么交点在同一条直线上。
15、如图，已知直线a与b不共面，ca＝M ，bc＝N，a＝A，b＝B，c＝C，求证：A、B、C三点不共线、
【试题答案】
一、1—12 CDCB DBDC DBBD
11、解：设AC=x，AB=y，BC=z，由余弦定理知：x2=12+32-3=7，y2=12+22-2=3，z2=22+32-6=7。
∴ △ABC是不等边的等腰三角形，选（B）。
12、解：当l与异面直线a，b所成角的平分线平行或重合时，a取得最小值，当l与a、b的公垂线平行时，a取得最大值，故选（D）。
13、证明：
面BC1D∩直线A1C＝OO∈面BC1D
O在面A1C与平面BC1D的交线C1M上
∴C1、O、M共线
14、证明：（1） ∵AA1∩BB1＝0，∴AA1与BB1确定平面α，又∵A∈a，B∈α，A1∈α，B1∈α，∴ABα，A1B1α，∴AB、A1B1在同一个平面内
同理BC、B1C1、AC、A1C1分别在同一个平面内
（2）设AB∩A1B1＝X，BC∩B1C1＝Y，AC∩A1C1＝Z，则只需证明X、Y、Z三点都是平面A1B1C1与ABC的公共点即可、
15、假设A、B、C三点共线，共线m上，则c∩m＝C 确定平面γ
∵A∈γ M∈γ B∈γ N∈γ
∴aγ bγ
∴a、b共面与a、b异面矛盾
∴A、B、C三点不共线.
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