不等式的基本性质、基本不等式；不等式的解法

 

二. 教学目的：

1、巩固不等式的基本性质、拓展基本不等式相关知识；

2、掌握一元一次不等式、一元二次不等式及绝对值不等式的解法

 

三. 教学重点、难点

基本不等式的知识拓展；绝对值不等式的解法

 

四. 知识分析

【不等式的基本性质】

1、不等式的基本性质：对于任意的实数a，b，有

，这三条基本性质是差值比较法的理论依据．

2、不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面．

【单向性】

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

【双向性】

（1）

（2）

（3）

单向性主要用于证明不等式；双向性是解不等式的基础（当然也可用于证明不等式），由于单向性（3）、（4）的逆命题都成立，所以它们也可用于解不等式，在应用单向性（6）解无理不等式和形如

的高次不等式时，若n为偶数时要注意讨论．

3、要注意不等式性质成立的条件．例如，在应用“

”这一性质时，有些同学要么是弱化了条件，得

，要么是强化了条件，而得

 

【基本不等式】

定理1 设

，则

，当且仅当

时，等号成立。

定理2 如果a，b为正数，则

，当且仅当

时，等号成立。

定理3 如果a，b，c为正数，则

，当且仅当

时，等号成立。

定理4 （一般形式的算术—几何平均值不等式）如果

，

，…，

为n个正数，则

，并且当且仅当

时，等号成立。

说明：在公式

及

的学习中，应注意几点：

（1）

和

成立的条件是不同的，前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都为正数。例如，

成立，而

不成立。

（2）关于不等式

及

的含义。

或

表示严格的不等式；

或

表示非严格的不等式。

不等式“

”读作c大于或等于d，其含义是“或者

，或者

”，等价于“c不小于d”，即若

或

有一个正确，则

正确。

不等式“

”读作c小于或等于d，其含义是“

，或者

”，等价于“c不大于d”，即若

或c=d中有一个正确，则

正确。

（3）这两个公式都是带有等号的不等式，因此，对定理“当

时，

当且仅当

时等号成立”的含义要搞清楚，它的含义是：

当

时，

，

当

时，

；

当

时，

，

当

时，

。

对基本不等式：a，b为正数，则

当且仅当

时等号成立，作类似理解。

定理1~定理4的不等式中，都给出了等号成立的充分必要条件，这些条件为解决某些有关优化的极值问题提供了理论基础，因此定理中等号成立的条件要求掌握。

 

【不等式的解法】

  1. 一元一次不等式

       通过同解变形，一元一次不等式可化为：

，

若

，则其解集为

。

若

，则其解集为

。

若

；

，解集为R；

时，解集为

。

  2. 一元二次不等式

通过同解变形，一元二次不等式可化为：

或

。

不妨设方程

的两根为

、

且

。

（1）若

，则

的解集为

，

的解集为

。

（2）若

，不等式

的解集为

，不等式

的解集为

。

（3）当

，则不等式

的解集为R，不等式

的解集为

。

  3. 高次不等式

高次不等式通过同解变形可化为：

或

（

）。

不妨设

，运用图像法可求解。

用表示每个因式

的符号及

符号的图像，可决定

或

的解集。

如图所示，

时，

的符号均为正，从而

，所以

是

>0的解。依此可求出不等式

0或

的解集。

  4. 分式不等式

（1）

。

（2）

。

（3）

（4）

。

  5. 含有绝对值的不等式的主要类型及解法：

（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

；

（5）

。

 

【典型例题】

  例1. 对于实数a、b、c，判断下列命题的真假。

（1）若

，则

；

（2）若

，则

；

（3）若

，则

；

（4）若

，则

；

（5）若

，则

。

解析：（1）因未知c的正负或是否为零，无法确定ac与bc的大小，所以是假命题。

（2）因为

，所以只有

时才能正确，

时，

，所以是假命题。

变式：若

，则

，命题是真命题。

（3）

，

，

，

，命题是真命题。

（4）由性质定理

，命题是假命题。

（5）例如

，命题是假命题。

。

点评：不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础，必须熟练掌握，还要注意不等式性质定理中的条件是否为充要条件，不能用充分不必要条件的性质定理解不等式。

 

  例2. 实数a、b、c、d满足下列三个条件：

①

；②

；③

。

请将a、b、c、d按照从大到小的次序排列，并证明你的结论。

思路：本题条件较多，从何入手？如果两两比较，一般需要进行

次，但如果能找到一个合理的程序，则可减少解题的层次。

解析：

由式①得

。

点评：由于找到了一个合理程序，上面的解法没有浪费一点笔墨，干净利落。

 

  例3. （1）若

，试比较

与

的大小；

（2）设

，

且

，试比较

与

的大小。

思路：根据题目的结构特点，可考虑用差值比较法。

解析：

。

∵

，

∴

，

，

∴

，

∴

（2）根据同底数幂的运算法则，可考虑用比值比较法。

，

。

当

时，

，

，

则

，于是

。

当

时，

，

，

则

，

于是

。

综上所述，对于不相等的正数a、b，都有

。

点评：实数大小的比较问题常常利用不等式的基本性质或“

，且

”来解决，比较法的关键是第二步的变形，一般来说，变形越彻底，越有利于下一步的判断。

 

  例4. 设

，且

，

，求

的取值范围。

思路：因为

，

，而

，

；又

与

中的a、b不是独立的，而是相互制约的，因此，若将

用

和

表示，则问题得解。

解析：设

（m、n为待定系数），则

，

即

，

于是，得

解得

，

∴

∵

，

，

∴

，

故

。

以上解题过程简化如下：

由

得

∴

。

点评：严格依据不等式的基本性质和运算法则，是正确解答此类题目的保证。

 

  例5. 已知a、b、c

，求证：

（1）

；

（2）

；

思路：由不等式两边的结构特点，我们联想到重要不等式

及变形不等式；

，故可运用它们进行证明。

证明：（1）∵

，

∴

，

同理

，

。

三式相加得

。

（2）∵

，

，

，

∴

，

即

。

又

，

，

，

∴

，

即

。

点评：证明不等式时应根据求证式二端的结构，合理选择重要不等式及其变形不等式；本题的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性。

 

  例6. 某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，试算：

（1）仓库面积S的最大允许值是多少？

（2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？

解析：用字母分别表示铁栅长和一堵砖墙长，再由题意得出数量关系。

设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则有

。

由题意得

（*）

应用二元均值不等式，得

。

∴

，即

。

∵

，∴

，从而

。

因此S最大允许值是100

，取得此最大值的条件是

而

，由此求得

，即铁栅的长应是15米。

点评：本题也可将

代入（*），导出关于x的二次方程，利用判别式法求解。

 

  例7. 解下列不等式：

（1）

；（2）

。

思路：按一元高次不等式和分式不等式的解法求解。

解析：（1）解法一：∵

，

∴

由

，得

，但

时，符合题意，故原不等式的解集为：

。

解法二：原不等式变形为：

，利用数轴标根法，画出图示如下图所示：

∴原不等式的解集为：

。

（2）移项整理，将原不等式化为

。

∵

0恒成立。

∴原不等式等价于

。

解之，得原不等式的解集为

。

点评：（1）采用列表法和数轴标根法没有什么本质区别，但用后者更简捷，要注意平方因式，如

的特点。

（2）第（2）题需移项通分，经因式分解变形，对出现的二次式注意是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理。另外，此题也可用数轴标根法求解，解分式不等式时，注意分母不能为零。

 

  例8. 解下列不等式：

（1）

；（2）

。

思路：按解绝对值不等式的方法求解。

解析：（1）解法一：原不等式等价于

或

∴原不等式的解集为

。

解法二：∵

，

而

，

∴

，故原不等式等价于

。

∴原不等式的解集为

。

（2）

或

。

点评：（1）若

中的

的值的范围可确定（包括恒正或恒非负，恒负或恒非正），就可直接脱掉绝对值符号，从而简化解题过程。

（2）（2）小题也可将原不等式转化为

求解，但过程较繁，不如上面的解法简捷。

 

  例9. 求不等式

的解集。

思路：由于绝对值符号里含有对数式，故先求出对数函数的定义域，然后再脱掉绝对值符号进行求解。

解析：因为对数必须有意义，所以先解不等式组

解得

。

又原不等式可化为

。

（1）当

时，不等式化为

，

∴

，

∴

，结合前提条件，得

。

（2）当

时，即

，

∴

，∴

。

（3）当

时，

，

∴

，

∴

，结合前提条件，得

。

综合得原不等式的解集为

点评：“零点分区间”的方法是解绝对值不等式最基本的方法，注意熟练掌握，另外注意，原不等式的解集是各区间解集的并集。

 

【模拟试题】

  1. 若a、b是任意实数，且

，则

       A.

                  B.

                      C.

0            D.

  2. 若

，则

       A.

                                               B.

C.

                                                    D.

  3. 设a、b是两个实数，给出下列条件：①

；②

；③

；④

；⑤

，其中能推出“a，b中至少有一个数大于1”的条件是

       A. ②③                       B. ①②③                    C. ③④⑤                    D. ③

  4. 设a、b

，若

，则

的最小值等于

       A. 1                             B. 3                             C. 2                             D. 4

  5. 若关于x的不等式

的解集是

，则a的值为

       A. 2                             B. –2                            C.

                          D.

  6. 若不等式

对一切

恒成立，那么实数a的取值范围是

       A.

                      B.

                       C.

                      D.

  7. 不等式

的解集是

       A.

                                             B.

C.

                                                  D.

  8. 已知三个不等式①

，②

，③

，以其中两个做条件，余下一个做结论，则可以组成__________个正确命题。

  9. 已知

，则

与

的大小关系是___________。

  10. 如果只有一个实数满足

，则a=___________。

  11. 已知

，

，

，则m、n的大小关系是___________。

  12. 已知a、b

，并且

，求证：

。

  13. 有一种变压器，铁芯的截面呈正十字形，如图所示，为了保证所需的磁通量，需要一定的截面积，如果要求正十字的面积为

，应如何设计正十字形的长y与宽x，才能使正十字形的外接圆周长最短（从而可使用来绕铁芯的铜线最省）？

  14. 已知不等式

的解集为

，

（1）求a、b的值。

（2）解不等式

，

。

  15. 若a，b

，

、

是方程

的两根，且

，求证：

，且

。

【试题答案】

  1. D    2. B        3. D        4. C        5. B        6. D        7. B

  8. 3            9.

           10.

                11.

  12. 证明：作差

，

因为a、b

，且

，

∴

，

，

，

均为正数。

∴

。

  13. 解析：首先

，∴

，

即

。

当

即

时，

，直径最短，从而最省铜线。

  14. 解析：（1）由题设，方程

的两根为1，b。根据韦达定理

，解得

。

即所求

，

。

（2）原不等式即为

，

当

时，

解得

。

当

时，

。

∵△=9-16<0，

∴不等式的解集为

。

综上所述，当

时，

原不等式的解集为

当

时，原不等式的解集为

。

  15. 证明：由韦达定理，得

∵

，

∴

。

∵

，

∴

，即

。

∵

，

∴

，同理可证：

。