列方程求面积

    同学们，大家好！这一讲我们主要来研究一下“列方程求面积”这方面的问题，也就是研究如何利用列简易方程求面积。

 

【典型例题】

一. 阅读思考：

  例1. 图1中三角形ABE、AFD和四边形AECF的面积相等，求三角形AEF的面积（单位：厘米）

    分析与解答：因为三角形AEF的底和高很难求出，所以用三角形面积公式求三角形AEF的面积是很困难的。

    但是，三角形ABE、AFD和四边形AECF面积相等，也就是说它们三个把这个长方形的面积平均分成了三份。因为长方形的面积是

平方厘米，所以它们三个的面积都是

平方厘米。

    我们只要从四边形AECF中减去三角形ECF的面积，就可以求出三角形AEF的面积了。

    而三角形ECF的面积，需要利用EC、CF的长来求。要想求EC、CF的长，就要知道BE和DF的长。

    我们利用现有条件可以求出BE和DF的长度。

    解：设BE长为

厘米，DF长

厘米。

   

   

    所以

厘米

   

厘米

    那么，三角形ECF的面积就是

平方厘米

    三角形AEF的面积就是

平方厘米

 

  例2. 如图2所示，四个一样的长方形和一个小正方形，拼成一个面积为49平方米的大正方形，小正方形的面积是4平方米，问长方形的短边长是几米？

图2

    分析与解答：因为大正方形和小正方形的面积分别是49和4平方米，所以我们可以很快想出大正方形和小正方形的边长分别是7米和2米。从图中可以看出：大正方形的边长是2个长方形短边与一条小正方形边长的和。

    解：设长方形短边长

米。

   

    答：长方形的短边长2.5米。

 

  例3. 图3中，梯形ABCD的面积为24平方厘米，求三角形ABD的面积。

图3

    分析与解答：要想求三角形ABD的面积，就要知道它的底和高分别是多少。三角形ABD的底就是梯形的上底AD长5厘米，高就是梯形的高。现在已知梯形的上底和下底以及面积，可以求出梯形的高，也就是三角形ABD的高。

    解：设梯形ABCD的高是x厘米。

   

    所以

的面积是：

（平方厘米）

    答：

的面积是10平方厘米。

 

二. 尝试体验：

  1. 图中，平行四边形的面积是48平方厘米。

  2. 图中ABCD是直角梯形，三角形ABC、ACE和AED的面积相等，BF与AC垂直，AC为10厘米，AF为2厘米，梯形面积为45平方厘米，求三角形BCF的面积。

  3. 如图所示，有9张相同的小长方形卡片摆成一个大长方形，已知每个小长方形的周长为18厘米，短边长4厘米，求大长方形的面积。

  4. 一块长方形铁皮，在长边减去6厘米，短边减去3厘米后，得到的正方形面积比原长方形面积少了54平方厘米，求原长方形铁皮的面积。

  5. 将图中的三角形纸片沿虚线折叠，原三角形面积是这个新图形面积的1.5倍，折后三个阴影三角形的面积之和是1，求重叠部分面积。

  6. 图中

，DE和AC垂直，AF和BC垂直，三角形ABC的面积为48平方厘米，AE=11厘米，AC=16厘米，求三角形DCE的面积。

 

参考答案：

  1. 图中，平行四边形的面积是48平方厘米。

    9平方厘米

  2. 图中ABCD是直角梯形，三角形ABC、ACE和AED的面积相等，BF与AC垂直，AC为10厘米，AF为2厘米，梯形面积为45平方厘米，求三角形BCF的面积。

    12平方厘米

  3. 如图所示，有9张相同的小长方形卡片摆成一个大长方形，已知每个小长方形的周长为18厘米，短边长4厘米，求大长方形的面积。

    180平方厘米

  4. 一块长方形铁皮，在长边减去6厘米，短边减去3厘米后，得到的正方形面积比原长方形面积少了54平方厘米，求原长方形铁皮的面积。

    70平方厘米

  5. 将图中的三角形纸片沿虚线折叠，原三角形面积是这个新图形面积的1.5倍，折后三个阴影三角形的面积之和是1，求重叠部分面积。

    1

  6. 图中

，DE和AC垂直，AF和BC垂直，三角形ABC的面积为48平方厘米，AE=11厘米，AC=16厘米，求三角形DCE的面积。

    10平方厘米

 

 

【模拟试题】（答题时间：20分钟）

1、如下图所示，一个矩形被分成A、B、C、D四个矩形，已知A的面积是

，B的面积是

，C的面积是

，试问原矩形的面积是多少？

2、在图中，圆面积与长方形面积正好相等，问图中阴影部分的周长是多少？

 

 

【试题答案】

1、［解答］

解法一：按照上图的方式在矩形A、B、C的边上标注字母，于是原矩形的面积等于

因为矩形A的面积是

所以

所以原矩形的面积为

解法二：仔细观察上图的特征，它的四个矩形是大矩形被两条直线分割后得到的。矩形的面积等于一组邻边的乘积。从横的方向看，两个相邻矩形的倍比关系是一致的，也就是说，B是A的2倍，那么D也应是C的2倍，所以D的面积是

，这样原矩形的面积应是

。

答：原矩形的面积是

。

［点津］

上面两个解法都很巧妙，解法一是运用字母表示边长，充分利用原来大矩形与小矩形A的关系，顺利获解；解法二是根据矩形面积计算公式，抓住这一条规律：“图形中两相邻矩形面积的倍比关系，与另两个相邻面积的倍比关系是一致的”，求出D的面积。解法二是横向观察图形找两个相邻矩形的倍比关系，我们从纵向观察图形找两个相邻矩形的倍比关系：C是A的3倍，所以D也应是B的3倍，即D的面积是

，得到相同结果。

 

2、［思路剖析］

（1）设圆的半径为r，长方形的长为a，从图中可以看出，阴影部分的周长为

（圆周长）

因此现在的关键是求a。

（2）由于长方形面积＝长×宽，圆的面积

。

而长方形的宽恰好是圆的半径r，于是据已知条件有

所以

，即：a是圆周长的一半。

由（1）、（2）两步分析便可求出阴影部分的周长。

［解答］

设圆半径为r，长方形的长为a，因为圆面积＝长方形面积

所以

           解出

得

（圆周长）

于是       阴影部分周长

答：图中阴影部分的周长是

。

 

…