复数

 

二. 教学目标：

1. 了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义。

2. 掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算。

3. 了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想。

 

三. 知识要点：

1. 虚数单位

：（1）它的平方等于－1，即　

；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。

2.

与－1的关系：

就是－1的一个平方根，即方程x²＝－1的一个根，方程x²＝－1的另一个根是－

。

3.

的周期性：

^4n＋1＝i，

^4n＋2＝－1，

^4n＋3＝－i，

⁴ⁿ＝1。

4. 复数的定义：形如

的数叫复数，

叫复数的实部，

叫复数的虚部

全体复数所组成的集合叫做复数集，用字母C表示*。

5. 复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即

，把复数表示成a＋bi的形式，叫做复数的代数形式。

6. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数

，当且仅当b＝0时，复数a＋bi（a、b∈R）是实数a；当b≠0时，复数z＝a＋bi叫做虚数；当a＝0且b≠0时，z＝bi叫做纯虚数；当且仅当a＝b＝0时，z就是实数0。

7. 复数集与其它数集之间的关系：N

Z

Q

R

C。

8. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即：如果a，b，c，d∈R，那么a＋bi＝c＋di

a＝c，b＝d。

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小

如果两个复数都是实数，就可以比较大小。也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。

9. 复平面、实轴、虚轴：

点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi（a、b∈R）可用点Z（a，b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。

实轴上的点都表示实数。

对于虚轴上的点，原点对应的有序实数对为（0，0），它所确定的复数是z＝0＋0i＝0表示是实数。故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

复数

复平面内的点

这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。

这是复数的一种几何意义。也是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。

10. 复数z₁与z₂的和的定义：z₁＋z₂＝（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i。

11. 复数z₁与z₂的差的定义：z₁－z₂＝（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i。

12. 复数的加法运算满足交换律：z₁＋z₂＝z₂＋z₁。

13. 复数的加法运算满足结合律：（z₁＋z₂）＋z₃＝z₁＋（z₂＋z₃）。

14. 乘法运算规则：设z₁＝a＋bi，z₂＝c＋di（a、b、c、d∈R）是任意两个复数，那么它们的积（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（bc＋ad）i。

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i²换成－1，并且把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。

15. 乘法运算律：

（1）z₁（z₂z₃）＝（z₁z₂）z₃ ；（2）z₁（z₂＋z₃）＝z₁z₂＋z₁z_3；（3）z₁（z₂＋z₃）＝z₁z₂＋z₁z₃。

16. 除法运算规则：

。

17. 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。

复数z＝a＋bi和

＝a－bi（a、b∈R）互为共轭复数。

18. 复数加法的几何意义：如果复数z₁，z₂分别对应于向量

、

，那么，以OP₁、OP₂为两边作平行四边形OP₁SP₂，对角线OS表示的向量

就是z₁＋z₂的和所对应的向量。

19. 复数减法的几何意义：两个复数的差z－z₁与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。

20. 复数的模：

 

【典型例题】

例1. 设复数z＝lg（m²－2m－2）＋（m²＋3m＋2）i，试求实数m取何值时，（1）z是纯虚数；（2）z是实数；（3）z对应的点位于复平面的第二象限。

剖析：利用复数的有关概念易求得。

解：（1）由lg（m²－2m－2）＝０，m²＋3m＋2≠０，得m＝3。

（2）由m²＋3m＋2＝０，得m＝－1或m＝－2。

（3）由lg（m²－2m－2）＜０，m²＋3m＋2＞０，

得－1＜m＜1－

或1＋

＜m＜3。

点评：对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样。

 

例2. 设z∈C，求满足z＋

∈R且|z－2|＝2的复数z。

分析：设z＝a＋bi（a、b∈R），代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得a、b的两个方程。

解法一：设z＝a＋bi，

则z＋

＝a＋bi＋

＝a＋bi＋

＝a＋

＋（b－

）i∈R。

∴b＝

。∴b＝0或a²＋b²＝1。

当b＝0时，z＝a，

∴|a－2|＝2。∴a＝0或4。

a＝0不合题意舍去，∴z＝4。

当b≠0时，a²＋b²＝1。

又∵|z－2|＝2，∴（a－2）²＋b²＝4。

解得a＝

，b＝

，∴z＝

±

i。

综上，z＝4或z＝

±

i。

解法二：∵z＋

∈R，

∴z＋

＝

＋

。

∴（z－

）－

＝0，（z－

）·

＝0。

∴z＝

或|z|＝1，下同解法一。

点评：解法一设出复数的代数形式，把复数问题转化为实数问题来研究；解法二利用复数是实数的条件，复数问题实数化。这些都是解决复数问题的常用方法。

 

例3. 已知z₁＝x²＋

i，z₂＝（x²＋a）i对于任意x∈R均有|z₁|＞|z₂|成立，试求实数a的取值范围。

分析：求出|z₁|及|z₂|，利用|z₁|＞|z₂|问题转化为x∈R时不等式恒成立问题。

解：∵|z₁|＞|z₂|，∴x⁴＋x²＋1＞（x²＋a）²。

∴（1－2a）x²＋（1－a²）＞0对x∈R恒成立。

当1－2a＝0，即a＝

时，不等式成立；

当1－2a≠0时，

－1＜a＜

。

综上，a∈（－1，

）。

点评：本题利用复数的性质求模之后，转化为求含参数的二次不等式的参数取值范围。

 

例4. 设z是虚数，ω＝z＋

是实数，且－1＜ω＜2。

（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；

（2）设u＝

，求证：u为纯虚数；

（3）求ω－u²的最小值。

（1）解：设z＝a＋bi（a、b∈R，b≠0），

则ω＝a＋bi＋

＝（a＋

）＋（b－

）i。

∵ω是实数，b≠0，

∴a²＋b²＝1，即|z|＝1。

∵ω＝2a，－1＜ω＜2，

∴z的实部的取值范围是（－

，1）。

（2）证明：u＝

＝

＝

＝

＝－

i。

∵a∈（－

，1），b≠0，

∴u为纯虚数。

（3）解：ω－u²＝2a＋

＝2a＋

＝2a－

＝2a－1＋

＝2［（a＋1）＋

］－3。

∵a∈（－

，1），∴a＋1＞0。

∴ω－u²≥2×2－3＝1。

当a＋1＝

，即a＝0时，上式取等号。

∴ω－u²的最小值为1。

 

例5. 计算：

解：

＝

 

例6. 设

，

，试求满足

的最小正整数m，n的值

解：对

两边取模得

，所以m＝2n，从而

所以

于是n＝3k（k

）

所以满足条件的最小正整数是m＝6，n＝3

 

例7. 是否存在复数z，使其满足

（a

R），如果存在，求出z的值，如果不存在，说明理由

解：设z＝x＋yi（x，y

R），则

消去x得

当且仅当

时，复数z存在，这时

；

 

例8. 设等比数列

其中

＝1，

＝a＋bi，

＝b＋ai（a，b

R且a>0）

⑴求a，b的值；

⑵试求使

的最小自然数n

⑶对⑵中的自然数n，求

…

的值。

解：⑴因为

，

，

成等比数列，所以

即

⑵

于是

＝

＝1

⑶

…

＝

 

【模拟试题】

1. 数

，则

在复平面内的对应点位于（    ）

A. 第一象限    B. 第二象限    C. 第三象限    D. 第四象限

2. 已知

，则在复平面上与

对应的点所在的象限是（    ）

A. 第一象限    B. 第二象限    C. 第三象限   D. 第四象限

3、已知复数

对应的点位于复平面的虚轴上，则实数

为（    ）

    A. 1      B. –1或2    C. －1      D. 2

4、

的值等于（    ）

A. 1      B. –1         C.

    D.

5、复平面内若复数

所对应的点在第二象限则实数

的取值范围是（　　）

　　A.

　  B.

   C.

　 D.

6、已知

是复数，以下四个结论正确的是（　　）

①若

②若

，则

③若

④若

，则向量

A. 仅②正确　  B. 仅②③正确　　C. ②③④正确　D. 仅②④正确

　7、i－2的共轭复数是

A. 2＋i         B. 2－i    C. －2＋i         D. －2－i

8、计算（2＋i）＋（3＋i³）＋（4＋i⁵）＋（5＋i⁷）（其中i为虚数单位）的值是

A. 10           B. 12          C. 14          D. 16

9、设复数ω＝－

＋

i，则1＋ω等于

A. －

     B.

   C. －

     D.

10、复数z₁＝3＋i，z₂＝1－i，则z＝z₁·z₂在复平面内的对应点位于

A. 第一象限     B. 第二象限   C. 第三象限     D. 第四象限

11、设x、y∈R，且

－

＝

，则x＋y＝___________。

12、下列命题中：

①任意两个确定的复数都不能比较大小；

②若｜z｜≤1，则－1≤z≤1；

③若z₁²＋z₂²＝0，则z₁＝z₂＝０；

④z＋

＝0

z为纯虚数；

⑤z＝

z∈R。

其中正确的命题是。

13、要使复数

＝

＋

为纯虚数，其中实数

是否存在？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由。

 

【试题答案】

1、答案：D

2、答案：B

3、答案：C

4、答案：C

5、答案：C

　6、答案：A

7、解析：由共轭复数的定义知选D。

答案：D

8、解析：（2＋i）＋（3＋i³）＋（4＋i⁵）＋（5＋i⁷）＝2＋3＋4＋5＝14。

答案：C

9、解析：1＋ω＝

＋

i＝－（－

－

i）＝－

。

答案：C

10、解析：z＝z₁z₂＝（3＋i）（1－i）＝4－2i。

答案：D

11、解析：由已知得

－

＝

，

即5x－2y＋（5x－4y）i＝5＋15i，

∴x＝－1，y＝－5。

答案：－6

12、解析：①中的两个实数可比较大小，②中的z可为虚数，③中的z₁＝i，z₂＝1，④中的z＝0。

答案：⑤

13、解：要使复数

为纯虚数，必须

且　

０，

即

，解得

但是，当

时　

＝０此时

不是纯虚数

　  当

时，

无意义

所以不存在实数

使

为纯虚数。