典型例题
例1 计算 。
解法1：原式
解法2：原式
小结：一定要熟记 ， ， ， 等。
例2 复数 等于（ ）
A． B． C． D．
分析： 可利用
与 形式非常接近，可考虑 ，利用 的性质去简化计算．
解：
∴应选B．
注意：要记住1的立方根，1， ， ，以及它们的性质，对解答有关问题非常有益．
例３求
分析1：可将复数式进行乘、除运算化为最简形式，才取模．
解法1：原式
分析2：积或商的模可利用模的性质 ， （ ）进行运算．
解法2：原式
小结：比较解法1和解法2，可以看到后一种解法好．解此类问题应选用后种解法．
例4 已知 是纯虚数，求 在复平面内对应点的轨迹．
分析：利用Z为纯虚数 来解．
解法2：∵ 是纯虚数，
∴ （且 ， ）
∴ ，
∴
设 （ ）
则 （ ）
∴ 的对应点的轨迹以（ ，0）为圆心， 为半径的圆，并去掉点（0，0）和点（1，0）．
典型例题
例５设 为复数， ，那么（ ）
A． {纯虚数} B． {实数}
C．{实数} {复数} D． {虚数}
解：∵ ，即 ，
∴ ，故 ，或
所以 为实数．
∴应选B．
小结：在复数集中，要证复数 为实数，只须证 我们有如下结论．复数 为实数的充要条件是
例６若 ， ，试求
解：∵ ，
∴
又知 ，
∴
设 （ ），则 ，
∴
即 ，
由复数相等定义 解得
∴
故
小结：下面这些共轭复数运算式，对于解答有关共轭复数问题十分重要，应掌握好．
设 （ ）的共轭复数为 ，
则： ； ；
； ； ；
； （ ）； （ ）
例７（1）已知 ， ，
求证：
（2）已知 ， ，且
求证： ， 中至少有一个是1．
证明：（1）
∴
（2）∵ ，∴
即
变形为 ，
或 ，可得 ，或 ，
∴ ， 中至少有一个是1．
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