函数的最大值和最小值

 

二. 知识讲解：

一般地，设

是定义在

上的函数，

在（

）内有导数，求函数

在

上的最大值与最小值可分为两步进行：

1. 求

在

内的极值（极大值或极小值）；

2. 将

的各极值与

比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。

 

【典型例题】

[例1] 已知

在区间

上的最大值是5，最小值为

，求

解析式。

解：由

，则

令

，则在区间

上的根为

，且

（1）当

时，列表如下

		（ ）	0	（0，1）	1
		+	0	－

函数

在

处有极大值

，又由

的单调性，则

最大值为

，由已知

。

而

最小值为

与

的最小者

而

，

则

，即

为最小值

由已知

，则

，所以

（2）当

时，同理可得

为最小值，故

的最大值为

与

的最大者

则

为最大值即

则

，所以

综上

 

[例2] 已知在区间

上，函数

的最大值为1，最小值为

，并且

，求

与

的值。

解：由

，则

令

，则

，函数

在区间

上的增减性如下表

			0			（ ）	1
		+		－		+
			极大		极小

由

，则

，即

又由

，

，则

所以

，

由已知

解得

注：求闭区间上连续函数的最值问题，须比较极值点与区间端点的函数值的大小。

 

[例3] 已知两个函数

，

，其中

。

（1）对任意

都有

成立，求

的取值范围。

（2）对任意的

，

都有

，求

的取值范围。

解：设

，则对任意的

都有

成立等价于函数

的最小值发即

，其中

，

令

，则

或

，列表如下

					2	（2，3）	3
		+	0	－	0	+

由上表可知

由

，可得

（2）对任意

，

都有

成立等价于

的最大值不大于

的最小值，其中

以下先求

的最小值

，由

，则有

，即

令

，则

或

，列表如下

						（ ）	3
		+	0	－	0	+
							111

所以

以下再求

的最大值

，

，利用二次函数的图象性质，可得

，于是

即

 

[例4] 用总长14.8m的钢条制做一个长方形容器的柜架，如果所制的容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器最大，并求出它的最大容积。

    解：设容器底面边长为

，则另一边长为

，高为

=

由

和

，得

设容器的容积为

，则有

（

）

整理，得

则

，令

，有

即

，解得

，

（不合题意舍去）

从而，在定义域（0，1.6）内只有在

处使得

，由题意，若

过小（接近0）或过大（接近1.6）时

的值很小，（接近0），因此，当

时，

取最大值，即

此时，高为

，所以，当高为

时，容器最大的容积为

。

 

【模拟试题】

1. 函数

在闭区间

上的最大值，最小值分别是（    ）

    A.

    B.

    C.

    D.

2. 函数

（

为常数）在

上有最小值3，那么

在

上的最大值是         。

3. 设函数

=

（1）求

的单调区间；

（2）若

，且当

时，

恒成立，求实数

的取值范围。

 

 

 

 

【试题答案】

1. C

    提示：先求极值，令

，

，

，

，

，所以，最大值为3，最小值为

。

2. 43

提示：

，令

，则

当

时，

，则函数

在

上单调递增

当

时，

，则函数

在

上单调递减

又由

，

，故

则

，所以，

，且

在

上的最大值是

3. 解：

（1）

，其判别式

当

时，由

，得

或

则

的递增区间为

递减区间为

当

时，

恒成立，则

的递增区间为

（2）

时，

恒成立，因此

在

上是增函数，从而

在（1，2）上递增，则

在

恒成立

，解得

故

的取值范围是