导数的概念

 

二. 教学重、难点：

1. 曲线的切线

2. 瞬时速度

3. 导数的概念

4. 导数的几何意义

 

【典型例题】

[例1] 求曲线

在点（2，4）处的切线方程。

解：∵

   ∴

∴

∴ 曲线

在点（2，4）处切线方程为

，即

 

[例2] 物体的运动方程是

，其中

的单位是米，

的单位是秒，求物体在

时的瞬时速度及物体在一段时间

内相应的平均速度。

解：∵

    

∴

=

∴

，即

∴

即在

的一段时间内平均速度为

。

∴

即

∴ 物体在

时的瞬时速度是

。

 

[例3] 利用导数定义求函数

在

处的导数。

解：

∴

∴

即

    ∴ 函数

在

处的导数为

 

[例4] 利用导数定义求函数

的导数，并判断

在

处是否可导？

解：当

时，可使

则

当

0时，同理可求

又 ∵

而

∴

∴

在

处不可导

 

[例5] 已知函数

（1）试确定

的值，使

在

处连续，可导；

（2）求曲线

在

处的切线方程。

解：

（1）要使

在

处连续，则

，即

且

当

时，即

时，

在

处连续

      

若

，则

不存在。

故

，则此时应有

，

在

处才可导。

（2）由（1）知，

=1，而

∴ 曲线在

处的切线方程为

，即

 

[例6] 已知函数

，判断

在

处是否可导。

解：

∴

    ∴

不存在

即函数

在

处不可导。

 

[例7] 设函数

在

处可导，且

，求

。

解：

当

时，

当

时，

∴

=

 

[例8] 已知曲线

上一点P（1，2），用导数定义求过点P的切线的倾斜角和方程。

解：①

② 求平均变化率

③ 取极限

     ∴

即切线的斜率

     ∵

    ∴

∵ 切线过点P（1，2），由直线方程的点斜式得

即

∴ 过点P（1，2）的切线的倾斜角为

，其方程为

 

[例9] 已知抛物线

（

），通过点（1，1），且在点（

）处与直线

相切，求

的值。

解：由

                 

                 

因为函数在点（

）处与直线

相切

∴

   ①

又函数过点（1，1），（

）

∴

  ②

   ③

由①②③得

 

[例10] 证明：如果

在开区间（

）内可导，那么

在（

）内连续。

证明：任取

∵

                

  =

    ∴ 若

在

处可导，那么

在

处连续，由

的任意性知，若

在（

）内可导，则

在（

）内连续

 

【模拟试题】

一. 选择题：

1. 已知函数

的图象上一点（1，

）及邻近一点

，则

等于（    ）

    A. 4    B.

    C.

    D.

2. 已知曲线

上一点P（1，

），过点P的切线的倾斜角为（    ）

    A.

    B.

    C.

    D.

3. 如果质点按规律

运动，则在

时的瞬时速度为（    ）

    A. 3    B. 9    C.

    D. 27

4. 曲线

在点P（4，2）处的切线方程为（    ）

A.

                  B.

    

C.

                D.

5. 抛物线

上何处的切线与直线

的夹角是

（    ）

    A.

    B.

    C.（1，1）    D.

与

6. 过点P（

）且与曲线

在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是（    ）

A.

           B.

    

C.

           D.

7. 函数

的导数

等于（    ）

    A.

    B.

    C.

    D.

8. 设

，则

等于（    ）

A.

    B.

    C.

    D.

 

二. 解答题：

1. 已知函数

，求

。

2. 若一物体运动方程如下：

，求此物体在

和

时的速度。

3. 若函数

在

处的导数为A，求

。

 

 

 

 

 

 

【试题答案】

一.

1. C

解析：

，

∴

2. B

    解析：

，∴

，

。

3. D

解析：∵

             

              

∴

   ∴

=27

4. B

解析：

∴ 曲线在点P（4，2）处的切线方程为

，即

5. D

解析：设切线斜率为

，则

，得

或

又 ∵

，令

或

，得

或

   ∴ 切点为

与

6. B

解析：∵

，∴

所求直线的斜率为2

∴ 所求的直线方程为

，即

7. A

    解析：∵

   ∴

8. C

 

二.

1. 解：∵

    

∴

∴

∴

∴

  2. 解：当

时，

 

∴

当

时，

∴

∴ 物体在

和

时的瞬时速度分别是6和0。

  3. 解：∵

∴

（用

替换

）

∴