巴比伦与埃及数学的探讨
曹亮吉
近东地区是人类、同时也是西方文明的摇篮。虽然有一些更好动的人群离开家乡，漫游于欧洲的平原，他们的同胞留下来创造了文明与文化。几世纪之后，留在近东，而成为较具智慧的人群，要挑起责任，教导那些未具文采的同类。这些由智者传入西方的智识中，数学占着重要的部分。因此，为了追寻数学铭记于现代文化的印象，我们必须探讨近东的主要文明。
顺带一提，原始文明也会发展一些简单的数学。这种发展无疑地是起因于实际需要。在最原始的人类社会中也会发生的日用品物物交换的行为，就需要计数。
因为用手指与脚趾可以使计数方便，原始人类像小孩子那样，会用手脚指头来点算，当然不是意外的事。这种古代计数的方法还在我们的语言中留下痕迹；digit 这个字不但指的是数字，而且也有手指或脚趾之意。我们采用十进位无疑和使用指头计数有关。
原始文明也采用特定符号以表示数目。由此可知，他们也认识到三只羊、三个苹果、三支箭之间有很相像的地方，亦即三这个数字。数是独立于特定物体的抽象观念，能够鉴赏这种抽象观念是人类思想史上的一大进展。我们每个人在在学期间也都经历类似的智慧成长，把数与实际物体分离。
原始文明也发明了加、减、乘、除四则运算。研究现在的原始住民也知道人类并不是一下子就学会这些运算。许多原始部落的牧羊人拒绝接受他们所卖羊群的总价钱，他们只会卖一只收一只的价钱。将每只价钱乘以羊只数而一次付清的方法会把他们搞糊涂，会使他们以为受了骗。
毫无疑问地，几何与数目系统一样，是在原始文明中，为满足人类需要，孕育而成的。观察实物的形状而形成基本的几何观念。譬如角的观念可能就是经由观察手肘或膝盖的弯角而得的。在包括现代德语的许多语言中，就用「腿」这个字代表一个角的夹边。在我们的语言里，我们也说直角三角形的两「股」。
西方文化与数学所承继的主要近东文明为埃及和巴比伦。在这些文明的最早纪录中，我们发现他们有发展很好的数系、一些代数及简单的几何。埃及人用GIF1、GIF2 、GIF3 等表1 至9 这些数目。他们用特别的记号GIF4 表10，还有其他的特别符号表100、1000 以及更大的数目。他们用很自然的方法结合这些符号以表一般的数目，譬如21 就写成GIF4 GIF4 GIF1。
巴比伦书写数目的方法更值得我们注意。他们用GIF6表1；GIF6 GIF6表2；GIF7表4等等一直到9。GIF5这个符号用来表10。因此33就是GIF5 GIF5 GIF5 GIF6 GIF6 GIF6 GIF6。GIF6 GIF5 GIF5 GIF6可就特别有意思了：第一个GIF6不是1而是60，整组符号代表的是60+10+10+1=81。同一的符号因其在数字中的位置而有不同的数值。这之中的原理就是位置定值，也是我们现在所用的。在569中，9表示九个单位，6却表示六个10，5表示五个100或5乘10 2。换言之，一个阿拉伯数字在一数中的位置决定了它所代表的数值，即该数字乘以10或10的平方或10的立方等等。10称为我们计数系统的基底。
因为巴比伦人发展了六十进位的位置定值法，一直到十六世纪希腊人和欧洲人(在计算小数时)也都沿用这个系统，直到现在这种用法还残存于角度与时间的细分上。十进位源于印度，而在中世纪晚期引入欧洲。
位置定值的原理实在太重要了，值得我们多探讨一点。十个符号加上基底10 就可以表示任何的数，不管它有多大。这种表示法非常系统化，而且比起像埃及人的其他的方法要来得简洁。更重要的是这种原理使我们能发展现代的有效的计算方法。
我们也要注意到，基底并不是非用10不可。假使一个人想用5做基底，那么只要用5个符号，譬如1、2、3、4和0。要表五这个数目，他就用10，这里的1代表1乘5，就像1在十进位的10中表1乘10那样。要表「六」这个数目，他就写成11，「七」写成12，「十一」写成21，「二十五」写成100。要系统化使用五进位，他自然要学会相关的加法表及乘法表。譬如3+4就是12；13+14，因第一个数是八，第二个是九，所以合起来是32（= 3 × 5 + 2）等等。到底基底多少才最方便？这个问题曾被认真考虑过，而且有很多理由来支持12是最好的基底的说法。但是就日常使用数字而言，大家都习于十进位。
要使位置定值原理发挥最大的功效，我们就需要0 这个数字，因为我们得分辨503 与53 之不同。巴比伦人用一特殊符号把503 的5 与3 分开，但他们却不知道可以把这个符号也当做一个数，亦即他们无法了解零也可表示一个数量，也可以与其他的数相加减，就像一般的数那样。零这个数必须和无这个观念分辨清楚。一个学生如果没选某门数学课，他在这门课的成绩是无；但他如果选了这门课，而他的课业表现被评为毫无价值，那么他的成绩是为零分。
对早期文明而言，分数的计算是一件简单的事。巴比伦人缺少足够的符号。譬如GIF5 GIF5 GIF5表示30，也同时表示
；到底表那个，可就得从字里行间去了解。埃及人要把一个分数写成单分数之和，譬如
写成
，才能作进一步的运算。虽然现代的分数运算已经较为方便，但它仍然使许多成年人困惑不已。
巴比伦与埃及这些古代的文明，把算术推展而不限于整数与分数的运算。我们知道他们能够解一些含有未知数的问题，虽然他们的方法比现在在中学所学的要粗糙以及欠缺一般性。事实上，有人认为欧几里得的代数知识有些是源自巴比伦的。
与巴比伦发展了优越的算术以及代数相比，埃及人通常被认为在几何方面超过了他们。有各种说法试图说明其原因。埃及人从未曾发展方便的运算数字的方法，尤其是分数，因此在代数方面不能再有进展，只好转而强调几何学。这是历史学者所提供的一种说法。另一种说法认为几何是「尼罗河的礼物」。四世纪的希腊学者Herodotus 说，西元前十四世纪的埃及王Sesostris 让每个人拥有一块矩形的土地，并据以课税。假如某人因尼罗河的洪水而失掉土地，他必须向法老呈报，法老就会派人来丈量损失，并将税金适量的减免。因此从埃及的土地，几何这门学问就得以兴起而且流行起来──geometry（几何）的geo 表示土地，metron 表示测量。也许Herodotus 选对了理由以说明埃及人为什么重视几何学，但他似乎没注意到几何学在西元前十四世纪之前已经有了几千年的历史。
埃及与巴比伦的几何学是属于经验累积成的那种。直线指??的就是拉紧了的弦；希腊语的hypotenuse（斜边）实际上是「拉紧在……之上」的意??思──拉紧在直角三角形的两股之上。平面只不过是一片平坦土地的表面。粮仓的容积及土地的面积公式都是经由尝试错误而得到的。因此许多公式绝对是错的。譬如，埃及曾有一个公式说：圆的面积等于3.16 乘以半径的平方。这是不对的，虽然就埃及人的实用而言，还算相当不错。
埃及人与巴比伦人把他们的数学用到许多实际的问题上。在留下的草纸及瓦片上，我们可以看到期票、信用状、抵押、延期付款以及商业盈利的分配。虽然这些商业交易只用到了算术与代数，另有几何的公式说明了土地的面积以及在圆柱形及金字塔形粮仓内的谷物容量。除此之外，巴比伦人与埃及人还是不屈不挠的建筑者。就是在现今摩天大楼的时代，他们的寺庙与金字塔对我们来说都是了不起的成就。巴比伦人也是拥有高度技术的水利工程师。经由巧妙技术掘成的运河，这些人的生命之血，底格里斯河及幼发拉底河，使旱地成了沃土，使得在此干燥炎热的气候中，也能使埃及和巴比伦等这样繁荣富庶、人口众多的城市成为可能。
但是认为埃及与巴比伦的数学只限于实际问题的求解，那就错了，不论这种说法是如何地常常被人提及。这种说法不但不合那时候的史实，用之于今日也是不对的。在更仔细的探讨之下，无论是古是今，人类思维与情绪的确切表现，不论是艺术的、宗教的、科学的或哲学的，都涉及到数学的成分。比之于商业、农业及建造，在巴比伦与埃及绘画、建筑、宗教及对自然的探访，其与数学间的相关并不来得逊色或来得不重要。
认为数学只有实用价值的作家，他们看历史常常只看到数学活动的实用动机，而这些动机从逻辑的观点来看是不可能存在的。他们的观点大概是这样的：数学曾用之于历法与航海；因此数学的创造源于这些实用的问题，就像为了计数而有了数系那样。这种「事后有先见之明」的论断方法不是研究历史，而且历史的真象也不太可能是这样。绝没有一个迷航的航海者，突然领悟到星象是他航海问题的解答；绝不曾有埃及的农夫，因关心还有几天尼罗河每年都有的洪水会来侵犯，就决定从此注意太阳的行径。
把天文及数学用到航海及历法之前，人早就怀着天生好奇与敬畏自然的心情，无可压抑的哲学驱策力，耐心地观察了太阳、月亮以及星星的运动有几世纪之久。这些观测者，虽然困扰于自然的神秘，却克服了仪器之不足、数学知识之极端贫乏，而能从观测中理出星球的运行模式。就是这些人在非常早期的埃及文明中，就已经知道一个太阳年有365 天。
他们的耐心与恒心达成更大的成就，他们发现天狼星会在尼罗河洪水到达开罗的那一天日出时出现在天边。这样的发现一定过了几年后，大家才想到要观察天狼星的行径，以预测洪水的来临。更有什者，因为日历年的365 天和真正的太阳年相差四分之一天，过了几年后，日历再也不能预期什么时候天狼星会出现在天边。只有在1460（= 4 × 365）年之后，日历与天狼星的位置会再一次吻合。埃及天文学家也知??道这种1460 年的天狼星周期。人类一定得先认知这种天体的规则性，才会想到怎样运用它。
一旦经由天文与数学的研究发现了这样的规则性，巴比伦与埃及人就知道要观察星空的面貌。他们随着星空的变化而狩猎、而渔事、而耕作、而收成、而舞蹈、而举行宗教仪式。不久，星座就因其出现时人们有那些活动而命了名。猎户座、双鱼座至今都还在那儿。
上天决定了行事的时间，但专横的上天不能忍受对其命令迟缓的答覆。尼罗河每年的洪水带来了丰富的淤泥，以耕种如此土地为生的埃及人却在洪水来临之前必须做许多准备工作。家、器具以及耕牛得暂时迁离泛滥区域，同时得准备在洪水之后马上耕种。不只在埃及，在任何地方，事先都得知道什么时候耕种，什么时候是庆典祭日。
但是只凭数算逝去的日夜并无法达成预测的目的。365天的年历很快就不能与季节变化配合，因为它少了四分之一天、就是仅在几天而能够预测假日或洪水的来临，也需要天体运行及数学的知识，而只有僧侣才拥有这些知识。因为知晓历法对规范节日及预先准备的重要性，这些僧侣利用这些知识以争取权力，控制无知的大众。事实上，大家相信埃及僧侣确知一年长达
天，但故意不让百姓知晓。明知洪水何时将至，僧侣却假装可借祭典行法将洪水带进，以使贫苦农民为此贡献所蓄。科学与数学的知识，就像在现代，在当时就是力量。
对生、死、风、雨以及自然景观的惊奇所引起的宗教神秘，经由其可敬的亲属天文学的关系，而引到数学，很快地再由现今已经名声不佳的占星学而附着在数学上。当然，占星学在古代宗教上的重要性不能从今日它的不名誉情况来判断。在几乎所有的宗教里，星球，尤其是太阳，是主宰地球事物的神祇。这些神祇的想法与规画，可以从研究它们的活动，它们的来来去去，流星突然的来临以及太阳与月亮偶而的蚀损中得到启示。就像现代的科学家用他的技术来研究及认识自然一样，古代的僧侣很自然地会根据行星运行与星座，作出公式以预卜未来。
纵使天体不是神祇，在科学上还末成熟的民族也会很自然地将太阳、月亮以及星星的位置与人类的活动联想在一起。收成与太阳的特别关系及与气候的一般关系，动物在特定季节交配，妇女的经期（亚里斯多德与古希腊名医都认为是由月亮运行所控制的），还有许多类似的关系很容易让人有这样的想法。特别对埃及人而言，尼罗河洪水在天狼星于日出时出现在天边的那一天来临这伴事，意味着一件事：天狼星引来了洪水。
宗教神秘更直接在壮丽的寺庙与金字塔的建造与定向上，以更几何形式表现出来。每一个巴比伦的大城都要建造一个塔形的寺庙。这是矗立在好几层梯形坛上的大建筑物，可经由宽润的石阶达于其上，而且从数哩之外就可清楚地看到，埃及的寺庙与金字塔当然是众所周知的。在建造金字塔时尤其小心，因为这是皇陵，而且埃及人认为，依数学的精准建造是使死者有其来生的要件。这些宗教建筑的定向与天体间的关系，用Karnak 地方著名的太阳神Amon-Ra 的寺庙来说明是再恰当不过了。这个建筑面对着夏至时的落日，而在这一天，太阳直接照进庙内，照亮了里墙。
宗教神秘也不会轻忽数目的微妙性质之作为表达宗教想法的一种工具。3 与7 这两个数目特别引人注意。既然宇宙显然是在有限期间内建造完成，为什么不用一个讨人喜欢的数目，像7 以天数来计算建造完成的时间看起来是神力与宇宙的复杂之间的一个很好的折衷选择。
犹太教的神秘哲学Cabala，更说明了宗教家想用数目来解释宇宙神秘的程度。一般认为巴比伦的僧侣发明了这种数目的神秘的、着魔的学问，希伯来人后来又把它发扬光大。这种伪科学是基于以下的想法的。每个字母与一个数目有关；事实上希腊人及希伯来人用字母作为表数的符号。每一个字就与其字母所代表的数目和相连在一起。两个具有相同数目的字就一定会有关系，而且可以用这种关系进行预测。譬如，一个人从事某件事，而那件事的代表字眼的数目若与死字的相同， 那么就可预测此人的死亡。
艺术兴趣与宗教感情一样都促使人类发觉及应用数学知识。当建筑师研究与应用几何以设计及建造美丽的公共建筑物、寺庙及皇宫，画家也被几何图形所吸引，认为这是表达美感的一种方法。六千年前波斯Susa 城的艺术家时常使用和现代描象艺术一样复杂的几何图形。他们在陶器上所画饰的山羊，其前后腿都画成三角形，角则是大大的半圆形；还有鹳鸟，其身体与头部画成了或大或小的三角形。几何并不像Herodotus 所说的，只是尼罗河的礼物，艺术家也将这种礼物呈献给文明。
虽然埃及与巴比伦文明从人类需求和与趣汲取灵感以从事数学活动，但他们在了解或推展数学方面的贡献都不怎么样。他们累积一些简单公式，还有无数的规则或技巧，都只能回答特殊情形下所引起的问题。但是他们欠缺了这门学问的一般发展，他们的论题也不含一般性的原理。使我们获知大部分埃及数学知识的Ahmes 草纸只解出个别的题目，欠缺计算过程的说明或理由，有人认为巴比伦和埃及的僧侣可能知道一般的数学原理，只是秘而不宣。这大体是个臆测，其根源部分来自Ahmes 草纸的标题：获得所有有关暗事的知识手册，另一部分来自埃及僧侣政治的特性，亦即，传递知识只由口授，而且让百姓对统治阶层存有敬意。从埃及与巴比伦的天文学，我们也看得出他们无法建立一个主要的科学知识体系，或涵盖细节于一综合体系内。在几千年的观察里，他们无从建立理论，以连结或阐明许多观察结果之间的关系。
学者往往过分强调建造金字塔及寺庙所需要的数学知识，以说明古代数学所具有的深度。有些人指出金字塔的每边几乎等长，弯角也近于90 度。其实要达成这样的成果，所需要的是小心与耐心而不是数学。准确的计算家并不一定就是伟大的数学家，金字塔建造者当然也不是；金字塔建造使人惊异的是其大规模的组织与工程。
从现代的眼光来看，埃及与巴比伦数学的另一重大缺点是：结论完全得自经验。我们来检验埃及与巴比伦人获得公式的方法马上就能使我们知道这是怎么一回事。
假定有一个农人想围出一块100平方呎的土地，形状是长方形的，而且花费愈少愈好。要使围墙的花费最少，当然就要使围墙的长度愈少愈好。为了得到100平方呎的面积，他可以让长宽各为50及2呎，或20及5呎，或8及
呎等等各种组合。这些不同的长方形有不同的周长，虽然它们的面积都是100平方呎。譬如50 × 2的长方形周长要有104呎，20 × 5的只有50呎；等等。从上面算得的少数例子也可以看出不同的长方形，其周长的差别也可以很大。
这个农人处境不妙。假如他懂一些算术，他可以试取各种长度组合以得100 平方呎的矩形，然后选定周长最短者。但是组合有无限多种，他无法一一注意到，因此他无法决定何者为最佳。一个聪敏的农人也许会注意到：长与宽愈相近，周长愈小。因此也可能猜想每边10 呎的正方形会得到最短的周长。但他无法确定。虽然如此，这种尝试错误的方法引着他得到一种合宜的结论：同面积的所有长方形中要以正方形的周长最短。
这个农人毫无犹疑地使用他的猜想，而且因数据上以及经验上都会支持他的结论，他就会把它当作可靠的数学事实而留传给后代。当然，这样的结论并不因此就确立，现代的数学学生也不允许用这种方法来「证明」。对此古老的数学研究方法，我们最多只能说：耐心代替了才能。
还有古代数学的另一面也值得我们注意：僧侣垄断了所有知识，包括数学，以遂其私欲。知识使他们有权力；限制知识传播就使有能力对此权力挑战的可能性减少。更有进者，无知使人害怕，而受了惊的人就会顺服于指点他们、使他们安心的领导人之下。
与没有统冶僧侣阶级的文明相比较，巴比伦与埃及的僧侣政冶显得害处很大。往后我们会发现，希腊文明盛行的几百年以及我们这世代的几百年，和那两个文明的几千年相较，产生了无与伦比的知识与进步。
