悖论（七）

一些常见的悖论（五）：“无穷”悖论与三次数学危机

一、希帕索斯悖论

第一次数学危机主要起因于“希帕索斯悖论”，如上所述的芝诺悖论在其中也发挥了很重要的作用。

毕达哥拉斯（Pythagoras）是公元前5世纪古希腊著名数学家和哲学家，他创立了毕达哥拉斯学派，该学派的哲学信仰是“万物皆数”，其数学信仰是“一切数均可表成整数或整数之比（分数）'。整数和分数后来合称“有理数”。

然而，在毕达哥拉斯定理（中国称“勾股定理”）提出后，该学派中的一个成员希帕索斯（Hippusus）

考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现，这一长度不能用整数和分数表示，而只能用一个新数即2来表示。这一简单的数学事实的发现使毕达哥拉斯学派的人感到迷惑不解。它不仅违背了该学派的信条，而且冲击着当时希腊人持有的“一切量都可以用有理数表示”的信仰，故被称为“希帕索斯悖论”。据说，因发现和泄露这一研究结果，希帕索斯被毕达哥拉斯学派的人扔进大海淹死了。此外，芝诺关于运动的四条悖论也从根本上挑战了毕达哥拉斯学派所一直贯彻的度量和计算方式，实际上还涉及如何在数学中处理无穷的问题。这些悖论引发了历史上所谓的“第一次数学危机”。

数学史上把贝克莱的诘难——无穷小量究竟是不是0——称之为“贝克莱悖论”，由此引发了所谓的“第二次数学危机”。

第二次数学危机的结果是：柯西（A.L.Cauchy）和魏尔斯特拉斯（K.Weier-strass）等人建立了极限理论，为微积分奠定了严格的基础；同时，该次危机也促进了9世纪的分析严格化、代数抽象化以及几何非欧化的进程。

19世纪末和20世纪初，随着布拉里一弗蒂悖论、康托尔悖论和罗素悖论等系列逻辑一集合论悖论的发现，引发了所谓的“第三次数学危机”。