本文拟以四个板块展开：路径之隐圆（弧）；路径之隐线（段）；路径之“来回”；路径之“瓜豆”.
板块一：路径之隐圆（弧）
一、由圆的集合定义引出“路径（或轨迹）”一说
师问：“请同学们回顾一下，课本中圆是如何定义的？”
苏科版九年级上册课本中有这样一段关于圆的集合定义：“在同一平面内，到定点O的距离等于定长r的点的集合，其中定点O叫圆心，定长r叫半径”，如下图所示.
其实，课本上这段有关圆的集合定义就隐含着“路径（或轨迹）”之说，如上图所示，到定点O的距离等于定长r的点P的路径（或轨迹）就是这个⊙O，即所谓路径（或“轨迹”）就是指符合指定条件的所有点的集合.
《百度百科》上有关于“轨迹”的如下定义及介绍（学生了解即可）：
符合某一条件的所有的点的集合，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：一是该图形是由符合条件的那些点组成的，即图形上的任何一点都满足条件（纯粹性）；二是该图形包含了符合条件的所有的点，即符合条件的任意一点都在图形上（完备性）.
而平面内常见的点的轨迹有：
(1)到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆；
(2)到已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；
(3)在角的内部，到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的角平分线；
(4)到定直线L的距离等于定长d的点的轨迹，是平行于这条直线，并且到这条直线的距离等于定长d的两条直线；
二、路径之隐圆（弧）的几种判断方法
(一)定义法
圆的集合定义“在同一平面内，到定点O的距离等于定长r的点的集合，其中定点O叫圆心，定长r叫半径”，可以作为判断隐圆（弧）的最重要也是最基本的第一种方法，笔者称之为“定义法”..
例1.如图1，OA⊥OB，垂足为O，P、Q分别是射线OA、OB上两个动点，点C是线段PQ的中点，且PQ=4．则动点C运动形成的路径长是 .
动态展示如下：
定义法识别及解题技巧：先找一个定点，再确定目标动点到此定点的距离为定长，据此可以画出隐圆（弧），最后用“临界点法”找到起点与终点，最好再结合中间的一个“过程点”，以便确认究竟是隐圆上的哪一段弧，从而确定路径（或轨迹），解决问题.
再来看一道例题：
例2．如图2，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为 ．
简析：所求线段CP之所以有最小值，是因为点P是一个动点，解决问题的关键是寻找到点P的路径（或轨迹），使“无迹问题”变得“有迹可循”；
由∠PAB=∠PBC易推得∠APB=90°，联想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，取斜边AB的中点O，连接PO，易得OP=1/2AB=3，其中点O为定点，点P为动点，如图2-1所示；
依据前面的“定义法”得知点P始终被“绑在”以点O为圆心，OP=3为半径的圆上运动，再结合“P是△ABC内部的一个动点”可以确定动点P的真正路径，如图2-2所示，这样问题被顺利转化为“点圆最值问题”，连接CO与该隐圆（弧）的交点即为所要找的点P，此时CP取最小值为5-3=2，从而问题得解.
值得一提的，“路径问题”常常会与“最值问题”挂钩，找到了目标动点的路径（或轨迹），就逮到了“牛尾巴”，问题自然会迎刃而解.
另外，此题虽然∠A是确定角，但其度数不是特殊角度，因而题目并未要求计算动点P的路径长！若是将∠A改为特殊角，此题就可以改编为求动点P的路径长了，所以路径问题与相关的最值问题本就是一对“共生体”，求其一就自然可以求其二.
上面的两道例题都是利用隐圆（弧）解决的动态问题，包括路径长问题及最值问题等，下面笔者再提供利用隐圆（弧）可以解决的几道有趣的“静态问题”：
例3．如图3，四边形ABCD中，AB∥CD，AC＝BC＝DC＝4，BD＝6，则AD＝ ．
值得一提的是，上面的“导角”后全等若是发现不了，完全可以借助“确定性思想”分析，利用确定角的“三角比”口算出所求AD的长，不再赘述．
解法二（构造辅助圆法1之垂径定理）：如图3-3所示，见到CA＝CB＝CD，你的第一反应是啥？有木有联想到“圆中半径处处相等”？！有木有联想到圆的定义，即到定点的距离等于定长的点的集合呢？！数学的联想机制极其重要，同学们要善于联想，善于转化，善于总结，善于反思哦！
既然联想到了圆，不妨将此辅助圆先构造出来，拿出圆规吧，小伙伴！如图3-4所示，以C为圆心，CA为半径作⊙C，则由题易知∠CBD=∠CDB=∠ABD；
同学们再想一个问题，即“作辅助圆的目的是什么？”笔者认为，作辅助圆的最大优势就是可以直接应用大家耳熟能详的各种圆中模型解决问题了，也就是说圆是一个重要的数学模型，有了圆这个关键的载体，其丰富的内涵价值都可以直接为大家合理所用！接下来可以得到此法最关键的“导角”结论：由“同弧所对的圆周角处处相等，并等于其所对的圆心角的一半”知∠ABD=1/2∠ACD；
题目要求的是圆中弦AD的长，很自然地就想到了“垂径定理”，如图3-5所示，过点C作CG⊥AD于点G，则AD=2AG，只要求AG的长即可；
解题后反思：解法二巧妙联想构造辅助圆，巧借三角比按比例口算出所求，当然导角后也可以像解法一那样，推导全等求AD的长！当一个图中出现了共顶点的等线段时，尤其是两条以上的等线段，同学们就可以联想到“圆中半径处处相等”，巧妙构造辅助圆，借助圆这个关键的载体，应用圆中的相关结论，从而解决问题！
下面笔者再提供几种构造出辅助圆后，利用圆中相关模型结论解决该问题的方法，请同学们自悟，这里仅点到即止！
解题后反思：解法三在构造辅助圆的基础上，巧妙构造直角，利用“直径所对的圆周角为直角”再结合圆中“角等→弧等→弦等”的有机转换，轻松搞定问题！
解题后反思：解法四在构造辅助圆的基础上，巧妙构造直角，利用“直径所对的圆周角为直角”再结合圆中“圆中平行弦所夹的弧、弦相等”，轻松搞定问题！
另外此题中AC＝BC＝DC，即点C处有等线段，且∠BCD是一个定角，这为“旋转法”提供了天然条件，下面不妨一试，旨在让同学们欣赏之即可！
解题后反思：当题目中出现共顶点的等线段时，往往可以尝试旋转法解决问题，夹角确定的相等线段为旋转奠定了天然的条件，通过旋转可以将题目一些零碎的条件集中在一起，从而顺利解决问题；
另外，此题中证明“D、C、E三点共线”及“∠DBE=90°”的方法值得同学们关注、反思，都是常见的几何基本图形及方法；
当然也可以在Rt△DAE中直接求出目标线段AD的长，其实四边形ABED是等腰梯形.
值得一提的是，本题若是将△BCD绕着定点C按顺时针方向旋转至△ACE位置，如图3-12所示，则利用“旋转相似一拖二”可知△DCE≌△BCA，从而有AB=DE，虽然可继续推导出如图3-14所示的梯形ACED，但因为目标线段AD并没有得到什么较好的转化，导致接下来的计算好似依然“无路可走”，或者说难以走下去！这告诫我们，当我们利用“旋转法”时，切记不要随意旋转，应该选择与所求直接相关的旋转方式，即“旋转一拖二”后最好直接与所求发生联系，以便将条件与结论顺利转化集中起来！
再来一道类似的好题：
例4．如图4，在△ABC中，AB=AC=5，BC=2，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，连接BD，则BD＝ ．
解题后反思：例4与例3都出现了一种相似的结构，即“共顶点三等线段结构”，而且都很好地运用了“隐圆”的构造法解决了问题，这个结构不妨称之为“三爪图”，当我们遇到“三爪图”时，联想到“圆的半径处处相等”，可以考虑构造辅助圆，再借用圆这个重要的模型去尝试解决问题，尤其是用好圆中的一些常见的结论，如同弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半等基本知识，这也是构造圆的最大优势之所在！
下面再提供一道摘自《中小学数学》李玉荣（李帅）发表的一篇名为《自然解法“无果”，另辟蹊径“有门”》好文中的例题，并提供李老师的一种巧构辅助圆的解法，感谢李玉荣老师！
例5．如图5，在四边形ABDE中，∠D=∠E=90°，△ABC是等边三角形，且点C在DE上，如果AD=7，BE=11，求△ABC的面积.
解题后反思：这是希望杯的一道竞赛题，题目设置精妙，关键是如何利用这里的等边三角形，有关此题的解法还有很多，下面笔者也会专门成文一篇专讲这一题，敬请期待，届时带领大家玩转“等边三角形”.
上面只选取了一种构造辅助圆的方法，来自于聪明的李老师，让人敬佩不已！这里巧妙地利用对称性，在点C处构造出了第三条与等边三角形边长相等的边CF，从而惊现“三爪图”，联想到辅助圆，再结合圆周角与圆心角的关系导角得出∠AFB=1/2∠ACB=30°这个特殊角，然后依托于此特殊角，造“水平—竖直辅助线”出直角三角形，利用勾股定理求解，妙趣横生，让人眼前一亮.
解法二：既然可以将点A关于DC对称，当然也应该可以将点B关于EC对称，试试便知，以期大家对此法再熟练！如图5-5所示，具体不再赘述，请同学们自己参悟.
再提供几个利用隐形圆解决的方案，权当同学们欣赏之用：
解法三：具体构图过程如图5-6至图5-8所示，不再详述.
解法四：具体构图过程如图5-9至图5-10所示，不再详述.
下集预告：
关于这样一道漂亮的好题目，本文的探究就到此为止，下面会尽快专门成文，敬请期待！
言归正传，还是赶紧回到我们的主题上来，即“路径之隐圆（弧）问题”！前面说了这么多，其实只说了其判断方法之一，称之为定义法，即在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹.并且我们利用隐形圆解决了动态问题中的路径长及最值问题等，还利用隐形圆解决了静态求边长等确定性问题！下面继续介绍第二种“路径之隐圆（弧）问题”判断方法，即“定边对直角模型”！
其实“定边对直角模型”可以轻易转化为第一种“定义法”，但之所以将其单独拎出来，主要鉴于两点考虑：一是“定边对直角模型”在中考里或解题中太常见了；二是为第三种判断方法“定边对定角模型”作一个铺垫！
（第一集完！）
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