弗雷格与他的逻辑梦（上）
Litman
Frege
对20世纪分析哲学有涉猎的朋友，不难发现哲学家通常在陈构理论时，会区分语言和由语言描述的世界，或者用一些逻辑表达式来陈述他们的理论。例如 Evans 只有一页的论文，或者是 Noonan 在 Personal Identity 一书中的这一页。
可是这个传统何来？为甚么分析哲学的著作总是假定读者有一定的语言哲学和逻辑基础？为何这三者有着如此密不可分的关系？到底是谁把逻辑和（分析）哲学拉上关系的？如果硬要给出一个答案，这个传统似乎能追溯至 19 世纪的德国数学、逻辑学、哲学家弗雷格。
弗雷格花了大半生的学术生涯在进行逻辑主义计划上 (the LogicistProject)，期间，催生了我们现在说的语言哲学或语意学 (Semantics)，而他的语言哲学——主要透过维根斯坦——促成了 20 世纪哲学界的语言转向 (the Linguistic Turn）和分析哲学的形成。所以，他在哲学近代史中是不容忽视的，因为他一个人，哲学和逻辑在 19 世纪末都出现了革命性的改变。奈何，他的知名度远远不及其他对于分析哲学的形成影响极大的哲学家如罗素、维根斯坦和摩尔。
这篇文章的主要写作目的是希望能为对分析哲学或语言哲学有兴趣的朋友提供指导性的简介。文章的主要内容不在历史，而是在弗雷格的语言哲学。全文分为上、中、下三篇。上篇主要是关于背景和历史，中篇是关于他的语言哲学，而后篇是关于弗雷格自己提出的三个语言哲学所遇到的难题和他自己提出的解决方案（剧透：法国国王没有头发，可是「法国国王」有 sense）。虽然本文只希望集中介绍他在语言哲学上的贡献，但由于这是他在进行逻辑主义计划时的「副产品」之一，所以有必要从逻辑主义计划开始讲起。另一方面，由于主题是语言哲学，当中精彩的数学哲学史和弗雷格在逻辑上的贡献只能从略。
1. 弗雷格是谁？
他曾对胡塞尔的早期作品《算术哲学：心理和逻辑研究》1中的心理主义 (psychologism) 作出严厉的批评，并使胡塞尔放弃了心理主义，展开对现象学的研究。
年轻时期的弗雷格
他把逻辑「去心理化」。
他是现代逻辑之父。
他与罗素、摩尔、维根斯坦三人一样被认为是分析哲学的始创人。
维根斯坦的《逻辑哲学论(link is external)》2正是对弗雷格和罗素的响应，亦促使了及后哲学上的语言转向(the Linguistic Turn)。
在罗素的《数学原理(link is external)》出版20年前，弗雷格已开始了把数学化约为逻辑的逻辑主义计划 (the Logicist Project)3。
能在一个学术范畴引领一次革命性改变的人不多，可是弗雷格分别在两个范畴，逻辑和哲学上，均引领了革命性的改变。具同样成就的人在历史上寥寥可数，能产生这样的影响力但在生时被忽略的则更少。而这两个革命都有着相同的起点－逻辑主义计划。
2. 从逻辑主义 (Logicism) 到现代逻辑
逻辑主义者认为我们能把数学化约为逻辑。这个对数学的基础提出的立场称为逻辑主义 (Logicism)，最早是由 17 世纪哲学家莱布尼兹提出，在数百年后由弗雷格在 19 世纪末段开始进行。这个把数学化约为逻辑的计划称为逻辑主义计划 (the LogicistProject)。可是，为甚么要把数学化约为逻辑？主要原因是基于对数学研究对象的反思。
数学研究的对象是甚么？
「一加一等于二」
'1+1=2'
'one plus one equals two'
考考你，以上三句句子是关于甚么？「数学！！！」
不错，可是数学是甚么？数学研究的对象是甚么？「数字！！！」
数字？！可是数字只不过是一堆拥有特定结构的声音或图像而已。'2' 、 'two' 、 'koks' 、「二」，这些都是数字，但没有人会说数学的研究对象是这些数字的性质，如 'koks' 当中有多少个 'k'、「二」那两划之间的距离是多少4。
「数！！！」
似乎是比较好的答案，因为我们一般认为数字记号——如阿拉伯数字 '2'、中文的「二」、爱沙尼亚语的 'koks' 和英语的 'two' 都是不同数字记号——表征 (represent) 同一个数。换成不同的语言，对象不会因此改变，所说的仍是关于数的学问。
甚么是数？
如果采取柏拉图的本体论观点，即除了物质世界以外，还有一个理型世界的话，我们可以说数是存在于理型世界中的存有物。可是，即使不谈柏拉图理型论在本体论上是较「不经济」5，我们是如何对理型世界的存有物有知识？带柏拉图主义的知识论并不容易辩护6，而在 19 世纪时，柏拉图主义已得不到广泛的支持。我们有办法为数学提供一个不带有（或带有较少）柏拉图主义色彩的根基吗？
弗雷格认为可以，就是透过证明我们能从逻辑公理 (axioms) 和定义推出由皮亚诺等人陈构的皮亚诺公理7，其中，他要求每个推论步骤均是演译的，即符合某些演译逻辑定理或定义，而随后得出的证明将会是一个演译的证明 (deductive proof)。如若成功，便算得上是把数学化约为逻辑了。也就是说，数学的知识是来自于逻辑的知识。8
为甚么是逻辑？
两个原因： 1) 逻辑是被默认为本体论中立的，把数学化约为逻辑能克服上述关于数的本体论问题，2) 弗雷格反对心理主义的立场。
当然，逻辑主义并不是唯一的出路，其他进路包括直觉主义、形式主义、述词主义(predicativism)……等等。
可是，这将会是一个怎样的证明？我们知道，若果要提供一个逻辑证明，我们需要经过一个把日常语言翻译成形式语言的步骤，然后根据该逻辑系统的推理规则或定义，由前提推出结论。例如：
「所有人都会死，所有地球人是人，因此所有地球人都会死。」
在亚里士多德的三段论逻辑会被译为
'All S is P, All M is S,therefore All M is P'，
而在该系统中，这是一个逻辑上有效 (valid) 的论证。同样道理，如果弗雷格想要为某个数学定理提出一个逻辑证明的话，该逻辑系统要告诉我们如何把涉及该数学定理的句子翻译成（该系统中所容许的）形式语言，然后我们则根据该系统的推论规则或定义，尝试为该数学定理陈构出一个逻辑证明。
可是在弗雷格的时代，亚里士多德逻辑和斯多葛逻辑都不能完全处理表达数学定理的句子，因为前者只处理含量化词如「所有」、「有些」的句子构成的论证，后者处理含语句连接词——如「并且」、「或者」、「非」、「如果...则...」——的句子所组成的论证。而描述数学定理的句子往往既涉及量化词又涉及语句连接词，以皮亚诺的其中一条算术公理为例：
Induction axiom: If a set of numbers contains zero and also the successor of every number in , then every number is in.
归纳公理：如果一个集合包含零以及零之后的所有后继数，那么所有的数都属于该集合。
数论中的 UniqueFactorisation Theorem：
every integer greater than 1 either is prime itself or is the product of prime numbers, and that this product is unique, up to the order of the factors
对于任何大于 1 的数字 n，n 要么是质数，要么是质数之积的产物 (product)，而该产物是（不计质数的序）独一的
predicate logic
所以弗雷格需要一个同时能处理量化词和句子连接词的逻辑系统。Begriffsschrift (1879) 一书9 的成书目的，正是透过建立出如此一个逻辑系统，藉此完成为每条算术定理陈构出逻辑证明10。弗雷格系统的强大之处在于它能在一个逻辑系统中同时处理含量化词和语句连接词的语句，而在此之前，亚里士多德的系统处理含量化词的论证，斯多葛逻辑处理句子连接词的论证，并且逻辑学的发展都停留在把他们的逻辑系统优化和改良，但这可是古希猎时代的东西……这亦是为甚么弗雷格在逻辑上的贡献是革命性的。11而我们现在所见的「教科书」逻辑系统，一阶逻辑系统 (First-order Logic) 的原形就是弗雷格的系统。12。
3. 后记
以上，我简略地介绍了逻辑主义计划和弗雷格为现代逻辑带来的革命性改变，对于该段逻辑史和逻辑学有特别兴趣的读者可以到部落格紫烟亭中看〈逻辑学简史〉和其他相关的文章。在这一段历史中，弗雷格的初衷虽然是进行逻辑主义计划、把数学化约为逻辑（而他的动机是知识论的），但他意会到这是建基于分析数学表达式之上（或数学表达式所表达的意思），而他的逻辑系统就是把量化词和连接词所表达的（意思）形式化：「所有」翻译为 '?(x)'、「如果...则...」翻译为 '...->...' 并且告诉我们涉及这些词的句子在他的系统中的推论规则是甚么。可是，这些符号到底代表甚么？我们一般认为数字记号'2'是代表/指涉一个数 i.e. 2；专名（proper name）是代表／指涉一个人，但一句句子所指涉的又是甚么？这个符号'?(x)'又代表／指涉甚么？如果一个符号所代表／指涉的就是该符号的意思 e.g. 「金城武」指涉的是艺人金城武，所以专名「金城武」的意思就是艺人金城武，我们是不是能同样地把一句句子的意思分析为该句所指涉的东西？由于弗雷格并不持符号主义的立场，所以他有需要解释这些他允许的存在物。
另一方面，如果我们可以以一句句子的指涉物来分析一句数学表达式的意思，这不是意味着我们可以同样地分析日常语言句子，如「王靖雯是王菲」和「北斗神拳是无敌的」？若果可以，我们能以甚么来分析这些句子所表达的意思？这些是语言哲学／语意学的问题。在下一篇文章中，我们将介绍弗雷格如何分析数学表达式，并应用在分析日常语言的句子上。你将会知道，「意思」这个似乎十分神秘的，每当我们听到一堆声音、看见一堆符号就会「理解」、「捕捉」到的东西，（对于弗雷格而言）到底是一个甚么鬼东西！
1.Philosophie der Arithmetik. Psychologische und logische Untersuchungen (1891)
2.Tractatus Logico-philosophicus (1921)
3.详见史丹佛哲学百科 Logicism and Neologicism 与 Philosophyof Mathematics 两个条目的介绍。
4.而这些性质亦假设了某些数学概念……
5.即需要陈构较多的存在物，例如不仅苹果是存在的，苹果的理型（Form）也是存在的。
6.例如我们需要假设灵魂存在，学习（learn）其实是（recall），知识是先天的（innate）等等。
7.感谢读者 ChengKaYue 的指正。
8.当然，这样还未完全解决问题，如果数其实是逻辑对象 (logical objects)，我们问这些逻辑对象是甚么？逻辑对象存在在经验的世界吗？这有待读者自行深究。基本的答案是如果逻辑对象是集合，集合是可以由经验界的对象构成，如放两个苹果在面前，我们就有了一个包含了两个苹果的集合，逻辑对象至少带有少一点的柏拉图色彩。
9.英译为 Concept Writing 或 Concept Notation，中译为《概念文字》。
10.把数学和逻辑拉上关系对于 20 世纪的我们来说不会太陌生，尤其是对于有学过基础逻辑学的人，但在当时可不是这样认为。请注意这是 20 世纪的我们回看 19 世纪末的时期，那时侯逻辑还没有（完全）经历「去心理化」，并且是文学院的科目。而现在，逻辑已被普遍视为是理工类的必修学科。
11.在 Begriffsschrift 中，弗雷格的贡献主要是语法上的。他并没有多谈应该如何诠译 (interpret) 他的记号，我们只知道涉及量化词的句子的形式翻译和其相对的逻辑推理规则，在 19 世纪这是挺典型的。他在语意学 (semantics) 上的贡献主要出现在Grundgesetze der Arithmetik (1892)。
12.幸运或不幸运地，现代逻辑并没有采用他当时用的记号法，而是采用《数学原理》中的记号法。公理化谓词逻辑系统已经不是容易消化的东西，实在很难想象如果用弗雷格的记号法去学会怎样……但这不一定适用于某些数学家
弗雷格与他的逻辑梦（中）
Litman
上回提要
在上篇，我们很简略地介绍了逻辑主义计划是甚么，和弗雷格如何在进行逻辑主义计划时（意外地）把古典逻辑现代化。简言之，为了把数学化约为逻辑，他弄了一个逻辑系统出来，该系统能同时处理含量化词和语句连接词的句子，有数条逻辑公理、定义和推论规则，并且他认为根据这些我们能推出当时所接纳的各个算术公理。
可是，当我们看到在这个谓词逻辑系统下充许的良式 (well-formedformula a.k.a. wff) 如 '?xFx' 时，很自然会问「可是应该怎样理解这些记号？」或「这些记号所代表／表达／的（意思）到底是甚么？」在斯多葛逻辑和亚里士多德逻辑中，答案似乎比较直接，如：
亚里士多德逻辑
「所有人都会死」
「所有哲学家都是大胡子」
＝ All S is P1
斯多葛逻辑
「如果天下雨，则地会湿」
「如果有一天我们再见面的话，则时间会倒退一点」
＝ P -> Q
在亚里士多德逻辑中，'All S is P' 就是把句子中的「所有…都是…」形式化，相对地，该系统的推论规则关心的也只是该句中的「所有…都是…」2，论证的有效性 (validity) 关心的也只是量词之间的演算3。其中的甚么「哲学家」、「人」、「死」和「大胡子」并不是该系统所关心的4。而 'All S is P' 和句子「所有人都会死」在结构上亦非常相近5。回到我们的问题，那些形式翻译到底代表了甚么？简单的回答是：'All S is P' 表达了「所有人都会死」和「所有哲学家都是大胡子」这两句所共同表达的（意思），即是说，'All S is P' 表达了「所有…都是…」所表达的（意思），而 'P->Q' 则表达了「如果…则…」所表达的（意思）。也就是说，谓词逻辑形式翻译是把量词和句子连接词所表达的（意思）抽出并翻译出来。
这个解释也很自然地带出了两个问题6：1）你说「所有…都是…」和 'All S is P' 都表达/代表同一个意思，这个称之为「意思」的东西是甚么，能吃吗？2）「所有…都是…」在弗雷格系统中翻译为 '?(x)Fx'，这和亚里士多德的'All S is P'很不同，前者似乎并不直接反映后者的语法结构——请告诉我相关语法规则和每个记号代表了甚么！
这些都是好问题，亦是 Begriffsschrift (1879) 剩下要解答的问题。
注意这明显不是纯粹关于逻辑的问题，也不是纯粹关于（某一自然）语言的问题，而是关于语言或记号所表达的（意思）之间的关系。我们这样一问，似乎是说意思是一存有物——不管它是以甚么形式存在或能不能被化约为其他东西。如果这是形式翻译之所以可能的前提，似乎我们必须要解释一下这个称之为「意思」的存有物到底是甚么一回事（和是不是能吃的）。弗雷格为了回答这个问题所发展出来的理论7，成就了今天的语言哲学，亦被视为是语言哲学理论的原形——这就是他在哲学上的革命8。
（警告：这是一篇很长的文章，当中涉及很多分析和论证，是一篇较难读的文章9。为了引起读者的兴趣，我就先预告一下会有甚么人物登场：金城武、王菲、苏格拉底、阿强和北斗神拳继承人拳四郎！）
弗雷格的语言哲学
弗雷格的语言哲学，大致可以摘要为：以函数 (function) 和对象 (object) 去分析句子所表达的命题。（注意！弗雷格当时并没有对命题和句子作出区分。为方便解释，我会区分开两者，并使用「命题」这个比较现代的用法——即意义的载体。例如我们解释两句句子具相同的意义，因为它们都表达相同的命题。如没有特别说明，我会视「意思」和「意义」为可以互换的同义词）。由于主旨为说明他理论的重点，我会对弗雷格的理论作出一定的修改和删减。原则为在不影响他语言哲学中的重要主张下作出简化和略过支节部份。10。
让我们从他的理论中比较基础的概念开始说起。
1. 不完整表达式、函数与对象
我们从不完整表达式 (incomplete expression) 和完整表达式 (complete expression) 这个区分开始。看看以下数学表达式：
y=2x
在数学上，这是一个完整表达式的例子11。若果把当中的 'x'「抽空」，我们会得出以下这个表达式：
y=2(__)
这会是一个不完整表达式的例子，因为括号内的空白位置应该「填上」一些东西，但我们并没有这么做（注意，'y=2(__)'并不等于'y=2'，前者的(__)表示着一个空白的位置）。当然，我们知道可以填上变化词 'x' 到(__)中，而 'x' 可代入不同的数字，然后乘二，就会得出另一个数字。例如填上 '1'，就会得出 '2'；填上 '2' 就会得出 '4'：
y=2(__)
y=2(1); y=2(2)
y=2; y=4
在弗雷格的本体论中，他认为对象和函数是存在12的。其中，不完整的表达式指涉函数，主语指涉对象，而一个完整的表达式是由主语加上一个不完整表达式所构成，如下：
完整表达式＝主语＋不完整表达式
在上述的例子中，不完整表达式'y=2(__)'指涉一个函数（现今我们一般会以 'f(x)' 去表达），而数字如 '1' 充当专名作为主语，指涉一个数 i.e. 1。而我们亦知道，「放进」一个数字到一个不完整表达式，如将 '1'放到 'y=2(__)' 的'(__)'之中，我们会得到一个完整表达式 'y=2(1)'，而这个完整表达式所指涉的是一个专名 '2' 所指涉的数 i.e. 2。我会沿用 '__' 和「__」表示语言项目（lingusitic item）钭体表示在现实的存有物：
语言
关系
现实
'y=2(__)'
-> [指涉]
f(x) [函数]
'1'
-> [指涉]
1 [对象]
好奇的你一定禁不住问「1 这个数是甚么？能吃吗？」为了把事情说得简单一点，请暂时把数理解为像苹果一样的存有物。（注意这只是为了解释他的语言哲学而暂时假定的理解，弗雷格可不是这样理解数，他认为我们要补充一个概念才能理解描述数的句子。例如，假设你眼前有一个绿色的苹果和一个红色的蕃茄，我问「这里有多少？」弗雷格认为回答前我们需要补充上一个概念，「多少个甚么？多少个水果？多少个红色的东西？多少个绿色的东西？」根据不同的概念，会有不同的答案，如 1 个红色的东西、 1 个绿色的东西和 2 个水果。换句话来讲，数是一个建基于某一概念上的东西13）
「好，那函数呢？」函数是一个能以集合界定的关系。在例子中，我们放 1 到函数f(x)，会得出 2；如放 2 进去，结果会是 4；放 4 进去，结果为 8，如此类推。所以，该函数关系可以表达为以下这个集合 {, , , … } ，集合中的每个成员都是一个有序对 (ordered pair) 。以 为例，1 的位置称为自变量 (argument)，2 为值 (value)，形式为 ，次序为自变数先，值后。'' 是说你先放 1 这个数（对象）进去，就会得出 2 这个数（对象）。整个集合称为函数的外延 (extension)，可以用来识别 (identify) 不同的函数关系。注意，我们亦假设把不同的数「放」在一起会构成一个集合，而集合和函数、对象一样也是存有物之一。所以， f(x) 这个函数是某些数之间的关系，你觉得关系能不能吃呢？
重点是，弗雷格认为自然语言也可以这样理解！
「__ 是帅哥」似乎就是一个不完整表达式的例子。「谁？」似乎是最自然的反应，也表示了我们要加上一些东西（那个「谁」）才能构成一个完整的表达式（或符合中文语法的完整句子）。这个情况如 'y=2(__)' 一样，弗雷格会认为不完整表达式「__ 是帅哥」指涉一个函数（我会以 'g(x)' 表示该函数）。
「__ 是帅哥」 -> g(x)
可是，不完整表达式「__ 是帅哥」有别于 'y=2(__)'，我们一般认为需要填上一个专名如「金城武」，才能使「__ 是帅哥」变为一完整的表达式，如「金城武是帅哥」14函数 g(x) 的自变项（填进去的东西）为由专名指涉的对象（人），而该函数的值则为真假值 (truth-value)。把两者比较一下：
数学语言
现实
自然语言
现实
'y=2(__)'
f(x) [函数]
「(__)是帅哥」
g(x) [函数]
自变数 '1'
1 [对象／数]
自变项「金城武」
金城武 [对象／人]
值 '2'
2 [对象／数]
值「真」
真 [对象／真假值]
（值得留意的是弗雷格认为真假值并不是句子的性质 (property)，而是对象，所以「真」为一专名，命名了他称之为真 (the True) 和假 (the False)的对象。它们就像专名「金城武」命名的金城武一样，都是实实在在存在的对象！）而现在，我们知道在弗雷格的语言哲学中，他认为的存有物有函数和对象两种。
2. 谓词 (predicate)、命题 (proposition) 与真假值
现在我们可以在语法上作出较仔细的区分。弗雷格认为一个句子是由主语 (subject) 和谓词 (predicate) 所构成。考虑以下句子：
句子 R：「金城武是帅哥」
语法上，上句的主语为「金城武」，谓词为「是帅哥」（也就是上一节所说的不完整表达式）。而主语「金城武」是一个专名，指涉艺人金城武，谓词「是帅哥」是一不完整表达式「(__)是帅哥」所指涉的函数 (__)是帅哥 i.e. g(x) （画金城武容易，画函数太难，只好斜体表示，避免混淆语言项目和存有物）。
语言
现实
「金城武」 [主语]
金城武 [对象]
「是帅哥」 [谓词]
(__)是帅哥 i.e. g(x) [函数]
当我们把主语「金城武」加到谓词「是帅哥」左边，会得到句子「金城武是帅哥」；与语言上平衡，我们把艺人金城武「填进」函数 (__)是帅哥 i.e. g(x) 中的「洞」时，会得出命题: (金城武)是帅哥（命题的情况如函数，也会以斜体表示）。句子「金城武是帅哥」指涉命题 (金城武)是帅哥 i.e. g(金城武)，如下：
语言
关系
现实
「金城武」 [主语]
-> [指涉]
金城武 [对象]
「是帅哥」 [谓词]
-> [指涉]
(__)是帅哥 i.e. g(x) [函数]
「金城武是帅哥」 [句子]
-> [指涉]
(金城武)是帅哥 i.e. g(金城武) [命题]
咦？！除了对象和函数，现在多了一个叫「命题」的存有物！你立刻问「命题是甚么？可以吃吗？」在弗雷格的语言哲学中，命题并不具结构，而只是某一个真假值：真 (the True) 或假（the False）。换句话讲，命题和真值假是同一个东西 (identity)（以下我会以 ' __ = __' 表示）。在例子中，命题 (金城武)是帅哥 i.e.g(金城武) = 真（the True），因为我们会认为句子「金城武是帅哥」一句为真，如「填上」艺人八两金的话，则会得出 (八两金)是帅哥这命题，指涉假 (the False) 这个真假值，如下:
(金城武)是帅哥 i.e. g(金城武) [命题] ＝ 真 [对象]
(八两金)是帅哥 i.e. g(八两金) [命题] ＝ 假 [对象]
由于(__)是帅哥 i.e. g(x) 这类的函数，有别于 y=2(__) i.e. f(x) 这类函数，「给出」的是真假值，而不是数，弗雷格称这类函数为概念 (concept)。比较两者的外延就可知道两者的分别
y=2(__) i.e. f(x) ＝ {...} 由数到数的函数
(__)是帅哥 i.e. g(x) = {...} 由人到真假值的函数＝ 概念
考虑概念 (__)是帅哥 i.e. g(x)。从其外延，我们知道它的值会是真，当且仅当「填」的是以下集合的其中一个成员 {金城武, 林志颖, 李奥纳多…}，所以，这个概念的外延就是集合 {, , , ,…}，其中每个成员都是一个由人与真假值所构成的有序对。
现在我们复习一下：
语言
现实
「金城武」 [主语]
金城武 [对象]
「是帅哥」 [谓词]
(__)是帅哥 i.e. g(x) [函数] ＝ {, , , , …} [对象（集合）]
「金城武是帅哥」 [句子]
(金城武)是帅哥 i.e. g(金城武) [命题] = 真[对象 (the True)]
不喜欢文字？看下图吧！
至此，我已说明了何谓「用函数去理解句子所表达的命题」。如果你同意一句子所表达的命题为一句子的意义载体，并且同意命题可以如上述所展示一样分析为函数、对象和真假值的话，那么当我们把命题分析为函数、对象和真假值时，这个分析就是该句子之意思的分析。换句话讲，句子的意思被分析为语言上的主语和谓词与相对的对象和函数的指涉关系。
例子：我们把句子「金城武是帅哥」这一句的意思分析为其所表达的命题，而这句所表达的命题为 (金城武)是帅哥 i.e. g(金城武) ＝ 真；其中，「金城武」的意思分析为金城武；「...是帅哥」的意思分析为概念 (__)是帅哥 i.e. g(__) [函数概念] ＝ {, , , ,…}。你问「一句句子的意思到底是甚么鬼东西啊？」，答案就会是：
句子「金城武是帅哥」的意思就是把专名「金城武」的意思和谓词「是帅哥」的意思合起来的意思15。因为主语「金城武」指涉艺人金城武，和谓词「是帅哥」指涉概念 (__)是帅哥 i.e. g(x) ，所以把两者合起来，即(金城武)是帅哥 i.e. g(金城武) 就是句子「金城武是帅哥」所指涉／表达的命题，在这分析下即其意思。由于该命题为真，所以该句子的意思就是 真（the True) 这个真假值（/鬼东西）。
3. 真值条件 (truth condition)
承接上述的分析，现在我们可以界定句子的真值条件（为容易理解，我会把「为真」当成句子的性质来处理，有别于弗雷格把「为真」理解为一对象），即在甚么条件下，一个句子才会是真的呢？
再以「金城武是帅哥」这句为例，我们问，在甚么条件下「金城武是帅哥」这句才是真的呢？最自然的答案会是「就是艺人金城武真的是一个帅哥啊！」，即：
句子「金城武是帅哥」为真，当且仅当，金城武是帅哥
以下，我将会展示弗雷格的分析如何论证这个结论。
首先该句的形式翻译为：
Fa
其中，'F' 为谓词「是帅哥」的形式翻译，两者均指涉一概念；'a' 为专名「金城武」形式翻译，两者均指涉一对象。而 Fa 在弗雷格系统下的真值条件为：
Fa 为真，当且仅当， 'a' 所指涉的对象在 'F' 所指涉的概念的外延下与真配对
现在我们可以开始论证 Fa 为真
1. 'a' 指涉艺人金城武
2. 'F' 指涉概念(__)是帅哥 i.e. g(x)
3. 概念(__)是帅哥 i.e. g(x) 的外延为: {, , , 八两金, 假> ,…}
4. 金城武与真在概念(__)是帅哥 i.e. g(x) 的外延中配对，当且仅当，金城武是帅哥
如上所见，因为在外延中金城武的确与真配对，所以
5. 'Fa' 为真，当且仅当，金城武是帅哥
6. 句子「金城武是帅哥」为真，当且仅当，金城武是帅哥
正好是我们开始时的答案！这解释了我们判断「金城武是帅哥」这句为真的条件为艺人金城武真的是一名帅哥，不然则该句为假。
至于含量化词的句子如「所有人都是帅哥」又怎样？弗雷格认为这类句子所表达的是含有两个函数的复合命题 (complex proposition)。考虑以下含有量化词「所有」的句子:
句子 S: 「所有人都是帅哥」
我们知道谓词「是帅哥」的形式翻译为 'Fx' （'x' 是能代入常数项如 'a' 的变项 (variable)，例如 'Fa' 会是把 'a' 代入 'Fx' 的一个例子），但对于含量化词的主语「所有人」该如何翻译？这明显有别于专名如「金城武」指涉艺人金城武的情况，「所有人」指涉了甚么？（所有人啰！）。弗雷格认为量化词是指涉一个由概念到真假值的函数，该量化词的形式翻译为：
x(__)
有别于我们之前处理的函数关系，弗雷格认为这个函数的变项是概念，不是之前如金城武、八两金和 2 一类的对象。由于「放」进去的概念其自身亦是一函数关系，弗雷格称这类函数为二阶 (second-level) 函数。「所有」为全称量化词 (Universal Quantifier)，其相对的逻辑运算符为 '?'；而「有些」为存在量化词 (Existential Quantifier)，其相对的逻辑运算符为 '?'。而全称量化词指涉的函数的真值条件为：
x(__) 为真，当且仅当，在我们放进去的概念的外延中，所有在指定域 (domain) 中的对象都与真配对
而能放进去的概念和其相对外延为
F(__) = {, , , ,…}
域中的对象为人（因为主语为「所有人」），所以代入 x 的常项所指涉的对象为人。整句「所有人都是帅哥」的形式翻译为:
xFx
要知道 '?xFx' 的值，我们需查看上述概念是否符合全称量化词的真值条件，如符合，则?x(Fx)=T；如不，则?x(Fx)=F。到底「所有人都是帅哥」是真是假呢？如何给出相对的论证呢？这留给读者当练习好了。
4. 意义与真假值
现在我们知道句子指涉的是命题，而命题是真假值。若果命题为意义的载体的话，弗雷格的意义理论便是把句子的意义分析为真假值和指涉关系。但为甚么句子的意义会与真假值拉上了？考虑以下两句子
句子T： 苏格拉底荼毒了青年
句子T'： Socrates corrupted the youth
我们一般认为句子 T 与 T' 的意思是相同的，即它们都表达了相同的命题。可是我们可以怎样解释这个判断？
根据弗雷格的系统，我们知道：
句子T：「苏格拉底」 [专名] -> 苏格拉底；「荼毒青年」 [谓词] -> (__)荼毒青年 [概念]
句子T'：'Socrates' [专名] -> 苏格拉底；'corrupted16 the youth' [谓词] -> (__)corrupted the youth [概念]
「苏格拉底」和 'Socrates' 都指涉同一个对象（人），苏格拉底，而「荼毒青年」和 'corrupted the youth' 所指涉的概念都具有相同的外延 { ...}。由于相同的外延识别相同的函数／概念，所以 (__)荼毒青年 和(__)corrupted theyouth为同一个函数／概念。对象一样，函数一样，所以句子 T 和 T' 所表达的命题也一样。既然表达的命题是相同，而命题为意思的载体，自然两句的意思也相同。这解释了我们为甚么说句子 T 和 T' 为不同的句子但具相同的意思。
此外，我们亦可以解释为何我们认为有些句子是无意思的，有些则是有意思。考虑以下这两组句子
第一组
「王靖雯是王菲」
「北斗神拳第六十四代继承人拳四郎是无敌的」
'Ilm on hukas'
'P->Q'
'philosophy of language is fun'
我们一般判断以上每一句句子都是有意思的（如果你懂得相对的语言的话），对比以下这几句句子
第二组
'火命把命把烈屎'
'kokko kookooOKKkokkoko'
'is of be philosophy karma in on at'
相信你会同意第一组的句子是有意思的，第二组的句子是没有意思的：即有这么一个性质，称之为「有意思的」，并且是所有第一组中的句子都具有，但第二组的句子则没有。接下来的问题就是
1）有甚么性质是所有第一组的句子都有的，并且第二组的句子是没有的？
2）（1）中所指的性质，如有，是不是就是我们想找到的「有意思」这个性质？
而现在，我们需要做的就是先找出到底有甚么性质是所有第一组的句子都具有，而第二组没有，然后处理这个性质是不是就是或能不能被分析为「有意思」这个性质。
读者看到这边一定会问说：「你在干嘛？」这个做法听上去有点抽象难懂，其实不然，让我用以下例子来说明。
我差不多每天都和我的好朋友阿强一起吃午饭。每次吃饭，阿强都对他的食物很有意见，有一些他会说「好吃」，有一些他会说「不好吃」(让我们假设食物要么是好吃，要么是不好吃)。有一天，好奇的我打算分析一下是甚么东西决定阿强作出「好吃的」这个判断。以下为有关对阿强的进食和判断的纪录：
「好吃的」
「不好吃」
炸鸡
炸鱼薯条
油鸡饭
油豆腐饭
人参鸡汤
人参糖
醉鸡米线
车仔面
日式烧鸡
日式鱼柳
参考上述数据，我们问：是甚么决定了阿强作出「好吃的」这个判断？答案似乎是：鸡！
因为不难发现，所有阿强认为好吃的食物都是「有鸡的」，如果是「没有鸡」的话，他的判断为「不好吃」。所以，似乎我能把「好吃的食物」分析为「有用鸡制作的食物」，并陈构出以下假设
阿强认为是好吃的，当且仅当，是有用鸡制作的
如是者，我就把阿强所谓的「好吃的食物」分析为「有用鸡制作的食物」。
在这个例子中，食物共同具有的性质模拟作有意思的句子共同具有的性质，「好吃的食物」模拟为「有意思的句子」，如下:
有意思的
共通之处
好吃的
共通之处
王靖雯是王菲
性质x
炸鸡
鸡
北斗神拳第六十四代继承人拳四郎是无敌的
性质x
油鸡饭
鸡
Ilm on hukas
性质x
人参鸡汤
鸡
P->Q
性质x
醉鸡米线
鸡
Philosophy of language is fun
性质x
日式烧鸡
鸡
回到正题，这个性质 x 到底是甚么？答案似乎是：有真假可言。
我们一般都接受第一组中的句子是有真假可言的，比方说，原来王菲和王靖雯不是同一个人的时侯，我们会说「王靖雯是王菲」这一句是假的；当 P 为真和 Q 为假的时侯，我们会说 'P->Q' 是假的；当拳四郎被打败的时侯我们会认为「北斗神拳第六十四代继承人拳四郎是无敌的」一句为假。让我们假设「有意思」可以被分析为「有真假可言」，并陈构以下假设：
对于任何句子 P，P 有真假可言，当且仅当，P 是有意思的
也就是说如果「王靖雯是王菲」这句子是有意思的话，则「王靖雯是王菲」这一句有真假可言，反之亦然。似乎这是一个正确的分析，因为前面第一组的句子似乎都是有真假可言，而第二组的句子似乎都没有真假可言。
「甚么叫没有真假可言？」
在这个分析中就是该句并没有指涉任何命题，即 'kokkokookooOKKkokkoko' 并没有指涉任何命题。既然命题不存在，从何而谈该不存在命题的真值条件？既然没有真值条件，我们又可以从何而谈是现实世界中的甚么情况决定该句为真？（比较：「金城武是帅哥」为真当且仅当金城武是帅哥和 'kokko kookooOKKkokkoko' 为真当且仅当……？）
至此，似乎我们可以下这个结论：一句子带「有可真假可言」这个性质决定了该句子是不是有意思的。换句话讲，「有意思」似乎可以被分析为「有真假可言」，至少，这能解释我们手头上的关于该两组句子的判断。由于这个性质与句子的语意有关，又称作语意性质 (semantic property)，而句子的真假则称为语意值 (semantic value)。（现在我们可以解释为何哭泣声绝无意义了17！）
5. 结语
弗雷格的语言哲学有两大部份，语言和语言所表征的世界。在他的本体论中，他认同的存有物为函数和对象，而语言和它们之间的关系是一指涉 (denote/refer to) 关系。在本文中，我展示了弗雷格是如何分析语言，并且应用他的分析来解释一些关于我们对自然语言的判断。值得欣尝的是他所假设的并不多，但解释力却不小！仅是对象、函数和指涉关系就把我们某些主要关于句子意思的判断做出清楚的说明。设身处地想想看，若果我要你陈构一个理论来解释一下甚么是句子的意思的话，你能陈构出比弗雷格更好的理论吗？18
可是，这是不是足够解释所有关于语意的现象？一个句子的意思就只不过是真假值？真假值、函数、对象加上指涉关系和合成原则就足够解释日常语言中看似变化无穷的现象？弗雷格的答案是否定的——我们还需要意涵 (sense)。
在下一篇文章，我们将会讨论弗雷格在他的经典论文 On Sense and Reference(1892a) 中三个语言哲学难题，并呈现他如何透过陈构意涵去解决它们。
1.比较严仅的写法应为 'All S is P'、「所有人都会死」和「所有的哲学家都是大胡子」三句都共同表达的东西— All S is P。这个共同表达的东西则是语言中立的，但以文字表述时无法避免地要透过一语言，在这个情况是用英语来表述，故未有加上引号。
2.见四角关系对当表。
3.见思方网：如何以范氏图判断一三段论的对当性。
4.提醒你，这亦是上篇提过为甚么逻辑是被默认为本体论中立的。
5.'All ... is...' 和「所有…都是…」中，'All' 对上「所有」，'is' 对上「都是」。
6.略去考虑比较支节的问题，如怎么判断某形式翻译准确地翻译了某日常用语中的一个词项在一特定语境下的意思。例如「请勿吸烟或饮食」，字面地，为：～S v E，但明显地在这语境应理解为：～(S v E)
7.成熟的论述出现在 Grundgesetze der Arithmetik (1893/1903)。第一卷出版了没人看，所以第二卷弗雷格要自掏荷包出版。小插曲但大事情：第二卷已在印刷途中时，他收到了罗素的一封信，其中罗素证明了他的第五定理是自相矛盾的，即今天所说的罗素悖论。他同意罗素的讲法，亦因此心灵大受打击，及后放弃了逻辑主义，也甚少发表文章。（按我看罗素给弗雷格的信）
8.为何这是革命性的？（1）语言哲学在分析哲学史上的地位我就不再多说了；（2）维根斯坦的《逻辑哲学论》 正是对这方面的研究所作的响应，而维根斯坦对当代哲学界的影响力相信不用我在这里多说。但对于到底《逻辑哲学论》当中的想法有多大程度是弗雷格的是一个相当值得研究的问题。《逻辑哲学论》是否真的如维根斯坦在序中所言：'Indeed what I have here written makes no claim to novelty in pointsof detail'？哲学家如 Graham Priest 不认同《逻辑哲学论》只不过是弗雷格的思想。可见这段影片。
9.当然，难读很可能是作者的问题……。
10.根据Begriffsschrift (1879), Grundgesetze der Arithmetik (1893/1903), Funktion und Begriff (1891), über Begriff und Gegenstand (1892b), Was ist eine Funktion? (1904)
11.可以理解为「符合数学语言的语法」的数学表达式就是意义完整的表达式，以下这个不算为一个完整表达式：'(00)=8+=+9'。
12.为甚么他认为有这些东西存在？这不是容易答的问题。他认为我们能在语言上区分完整的和不完整的表达式证明了函数和对象是存在的。
13.我其实想要说是二阶概念（second-level concept），这涉及到及后介绍的函数、概念和二阶函数。沿用我们的例子，称「…是红色的」这概念为R；「…是水果」为G，而数 1 为以下这个概念：在某一概念下只有一个对象被收纳；数2为以下这个概念：在某一概念下只有两个对象被收纳，而由于这两个概念的自变量（argument）自身亦是概念，所以是二阶概念（及后有介绍何谓自变数）。而这个分析看似是循环（circular），因我们以「…只有一个…」来界定数 1 这个概念，「…只有两个…」来界定数 2 ，这还不是先假定了 1 和 2 这个两个概念？其实不然，因为弗雷格界定在「某一概念下只有一个对象被收纳」时只用上纯粹逻辑概念。以下是弗雷格如何界定数 1 这个二阶概念：在某一概念 Φ 下，只有 x 这个对象被收纳，并且如果有一对象 y 是被收纳在 Φ 这个概念下的话， x 和 y 是同一个东西（以谓词逻辑表达：?x(Φx &?y(Φy → y=x))）；界定数 2 这个二阶概念：在某一概念 Φ 下，只有 x 和 y 被收纳，并且 x 和 y 不是同一个东西，并且如果有一对象 z 是被收纳在 Φ 下的话， z 要么和 x 是同一个东西，要么和 y 是同一个东西（以谓词逻辑表达：?x?y(x≠y & Φx & Φy & ?z(Φz → z=x ∨ z=y))）。考考你：按照这做法，数 3 又应如何界定？再考考你，在这讲法下，数是相对的还是绝对的？想想例子中你眼前的一个绿色的苹果和一个红色的蕃茄，到底你面前有多少个东西？
14.当然专名只是其中之一，我们亦可以填带有指定词的主语如「那个在《重庆森林》电影里面失恋就会去跑步的警察」或能挑出对象的确定描述(definite description) 如「我面前这个风度翩翩的猪肉佬」。
15.假设合成定律（the Principle of Compositionality）即语句整体的意义是由部份构件的意义所组成的。
16.暂不考虑时态。
17.「哭泣声绝无意义」为王杰的歌曲《几分伤心几分痴》的第一句。
18.笔者第一个举手承认不能……。未完待续
