理解黎曼猜想（3）：你相信全体自然数的和等于-1/12吗？

作者  袁岚峰 
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​    作者简介：袁岚峰，中国科学技术大学化学博士，中国科学技术大学合肥微尺度物质科学国家研究中心副研究员，科技与战略风云学会会长，青年科学家社会责任联盟理事。​

                理解黎曼猜想（3）：你相信全体自然数的和等于-1/12吗？ 
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    （收藏本文有删减）

在理解黎曼猜想（1）和（2）中，我们介绍了黎曼猜想的背景，即质数分布问题，以及研究质数分布的基本工具，即欧拉乘积公式。这是欧拉的工作，也是黎曼出场的序幕！

黎曼究竟做了些什么？他做了很多工作，其基本目标就是期望对质数的分布获得一个明确的表达式。黎曼提出了一个著名的猜想，即黎曼猜想。有趣的是，他在推导过程中有一个“副产品”非常著名，相对于普通公众而言，副产品的名气甚至比黎曼猜想还要大。这个副产品是一个惊人的结果：

全体自然数的和等于-1/12！

自然数依次相加，本来应该越来越大，可以超过任何限制，怎么得到了一个有限的值？更不可思议的还能是一个负值。正是因为副产品的结果诡异，国外有不少科普节目沿着这个调调搞了不少大新闻。他们典型的说法是这样的：

“这个计算是数学中隐藏得最好的秘密之一，数学家之外没人知道这件事”；

“这是一个惊悚的结果”；

“这确实有悖常识，因为你内心总想让这个序列停下来，而一旦序列停止，你就再也没法理解这个结果”；

“在数轴的无穷远处，蕴藏着崭新数学体系等待我们建立”。

其实，这个所谓的“全体自然数的和等于-1/12”，还有许多类似说法，例如“无穷多个1加起来等于-1/2”，“全体自然数的平方和等于0”，也都是同样的道理。

首先肯定，数学并没有推翻常识，数学家也不是阴谋家。这些说法虽然是错误的，但也并不是毫无意义的胡说八道。这些非同常识的结论，无非是定义一些其它加和的方法而已。那么，黎曼是定义在什么意义上算出了全体自然数的和等于-1/12呢？

我们已经知道，研究质数分布的基本途径是欧拉乘积公式

这个公式左边的n指的是所有自然数，右边的p指的是所有的质数；公式两端都出现的s是一个变量，当且仅当s > 1时，欧拉乘积公式成立。

如果用Σ表示求和，Π表示连乘。欧拉乘积公式可简写成：

将上式左边的无穷级数记为ζ(s)（ζ发音zeta），它只在s > 1时成立，而当s ≤ 1时是不成立的。为什么？因为ζ(1)是全体自然数的倒数和，又被称作调和级数（harmonic series），它等于无穷大，即调和级数是发散的。如果s < 1，n的-s次方会变大，ζ(s)就会变得更大，当然也是发散的了。因此，欧拉乘积公式只能在s > 1的范围内使用。

按照欧拉的路线走下去，到这里基本就结束了。我们欢送大神欧拉，让新一代大神黎曼出场。

黎曼

黎曼一出来，就指出了几个要点：

1.我们应该把ζ(s)中的自变量s理解为复数（complex number），而不只是实数；

2.我们可以通过解析延拓（analytic continuation），让ζ(s)在s < 1的地方也获得定义；

3.通过对ζ(s)的研究，我们可以对小于等于某个数x的质数的个数给出一个明确的表达式，在这个表达式中唯一未知的就是ζ(s)的零点的位置；

4.黎曼猜测，ζ(s)的零点都位于某些地方，这个猜测就是黎曼猜想。

以上就是黎曼提出猜想的基本脉络。至于这四条的具体意思，我们将循序渐进地讲述。目前要理解的是所谓“全体自然数的和等于-1/12”。这里的关键在于黎曼的第二条，也就是通过解析延拓，可以让ζ(s)在s < 1的地方也获得定义，于是

这么一定义，就是欧拉ζ函数升级为黎曼ζ函数。

假如仍然用s > 1时的定义，ζ(-1)就是全体自然数的和，因为这时n的-s次方就是n的1次方，也就是n。但是黎曼ζ函数中，ζ(-1)已经不是这么定义的了，它换了一个定义，在新的定义下，它等于-1/12。我们知道全体自然数的和是无穷大，而所谓“全体自然数的和等于-1/12”，其实是黎曼函数ζ(-1) = -1/12。

有人说，物理学家经常会用到“全体自然数的和等于-1/12”。没错，物理学家确实在量子场论、超弦理论等地方用到这个命题，但在用的时候他们当然知道这话是什么意思——解析延拓的意思，而绝不是字面上的意思。

解析延拓是什么意思，作为最简略、最直观的理解，解析延拓就是扩大一个函数的定义域，使得它在一些原本没有定义的地方也有了定义，而在原本有定义的地方跟原来是一样的。

我们可以举例子说明解析延拓。比如，在-1 < x < 1的区间定义了一个函数y = x。这个函数的图像是从点(-1, -1)连到点(1, 1)的一条线段。显然，你可以考虑把这条线段向两边延伸，而且可以延伸得任意远。这样一来，这个函数的定义域就要从(-1, 1)扩展到整个数轴。这就是一个最简单的解析延拓。

不过，一条线段向外延伸，并不见得一定要按照直线来延伸。那么是否可以任意延伸成折线，或者圆、椭圆、抛物线、双曲线，或者其它的曲线呢？

回答：不能，因为这不一定是解析延拓。

注意，在“延拓”前面的那两个字——“解析”。所谓解析，可以认为是延续原始函数的自然趋势，自然地过渡到新的区域，否则就没有延续原来那条线段的自然趋势，谈不上解析延拓了。

解析延拓有一个惊人的要点：一个函数的解析延拓是唯一的！也就是说，对于一个在比较小的定义域内给定的函数，将它解析延拓之后，函数在更大定义域里的任何一点都只可能有一个取值，并且这个取值完全由这个函数在原始定义域里的性质所决定。比如上例中的线段被解析延拓之后，在x = 3的地方必然得到y = 3，而不可能得到2或4或者其它任何的值。

解析延拓的一般方法是通过幂级数（power series）来进行的。什么叫幂级数，就是幂次越来越高的多项式相加形式的级数，即

假如一个函数y = f(x)在某个点x₀附近等于一个幂级数，那么我们就说这个函数在这一点是解析（analytic）的。这就是所谓“解析”的严格定义。

前面那个例子：y = x，它本身就是一个幂级数，其中x₀ = 0。它在原点附近等于一个幂级数，其中只有一次项的系数等于1，其他项的系数都等于0。而在原点之外的某个x₀附近，可以把它写成y = x₀ +(x-x₀)，这仍然是一个幂级数，一次项的系数仍然是1，二次及更高次项的系数仍然是0，只是零次项也就是常数项从0变成了x₀。所以在x₀附近，这个函数也是解析的。

对于一个幂级数，它的一个很重要的性质是收敛半径（radius of convergence）。[一般来说，一个幂级数并不见得总是收敛，或者说并非总是能算出一个有限值]. 如果离中心点x₀太远，幂级数就可能变成无穷大，这时就是说发散了。对于y = x，它的收敛半径是无穷大，也就是说在任何地方都收敛，这当然是最简单的情况。让我们来看一个稍微复杂一点的情况，一个由等比数列组成的幂级数：

这是一个等比级数，它的前k项之和等于

现在要求的不是前k项的和，而是无穷多项的和。如果x的绝对值小于1，即-1 < x < 1，那么当k趋于无穷的时候，x的k次方趋于0，所以这整个求和S_k会趋于1/(1-x)。而如果x的绝对值大于1，即x > 1或x < -1，那么当k趋于无穷的时候，x的k次方趋于无穷大，所以求和S_k也趋于无穷大。于是我们就知道，这个等比级数的收敛半径等于1，在这个收敛半径之内它等于1/(1-x)。但是在收敛半径之外它发散，所以这个等比级数的定义域最大只能处在(-1, 1)这个区间。

有了这些基础知识的准备之后，这个等比级数的解析延拓就可以呼之欲出了。在收敛半径之外，我们就定义它等于1/(1-x)。这样一来，我们获得了一个定义域更大的函数，定义域扩大到了除x = 1之外的所有的点，而在原来的定义域(-1, 1)之内跟原来的函数相等。

这里除掉了x = 1这一点，是因为x如果等于1，分母1 - x就等于0，没有意义。如果把解析延拓比喻成抢救一个函数，那么“我觉得我还可以再抢救一下”，——确实在其它各处都抢救回来了，只有x = 1这一个点不行！

不过，对于收敛半径上另外一端的点，即x = -1，我们的抢救确实成功了，在这一点可以算出1/(1-x) = 1/2。在这里我们可以做一件有趣的事，就是把x = -1代回到等比级数里，假装不知道这时函数的定义已经改变了，那么就会在形式上得到：

这是一个在1之后交错减1和加1的级数，叫做格兰迪级数（Grandi’s series），格兰迪（GuidoGrandi，1671 - 1742）是一位意大利数学家。格兰迪级数在历史上曾经引起热烈的讨论，它的结果等于什么？等于0，或1，还是1/2，或者还是别的什么？

实际上应该说格兰迪级数不等于任何一个数，因为它的前k项的和交替地取值1和0，并不趋于一个极限。但在若干种推广的意义上，可以说它等于1/2。这里给出的就是一种推广的意义，即等比级数的解析延拓。所谓全体自然数的和等于-1/12，也只是在像这样的推广的意义上才能成立。

黎曼如何对ζ函数进行解析延拓，他为什么对ζ(-1)得出了-1/12这个结果，将在下一讲给出。