判断两线段之间的数量和关置关系是几何中的基本题型.线段的数量关系一般为:相等或倍比关系，常由全等或相似推出，线段的位置关系一般为:平行或垂直关系，通常由角的关系推出.下面结合例题，通过相似巧证线段的数量和位置关系.
一.证明两线段的相等关系
1.如图，在△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于点M，与DE交于点N，求证BM=MC
【分析】证明线段相等关系，以前学过多种方法，而题中只有DE∥BC这一条件，则只能想到利用相似，怎样进行转化，由于DE∥BC，可得△NEO∽△MBO，∴NE/BM=ON/OM，可得△NDO∽△MOC，∴ND/MC=ON/OM，∴NE/BM=ND/MC，∴NE/ND=BM/MC，由于DE∥BC，可得△AND∽△AMB，∴AN/AM=DN/BM，可得△ANE∽△AMC，∴AN/AM=NE/MC，∴DN/BM=NE/MC，∴NE/DN=MC/BM，∴BM/MC=MC/BM，∴MC²=BM²，∴BM=MC.
2.如图，在△ABC中，AD、AE分别是∠BAC的內，外角平分线，过顶点B作BF⊥AD，交AD的延长线于F，连接FC并延长交AE于M.求证:AM=ME.
【分析】从条件可知，∠1=∠2，∠3=∠4，而∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠2+∠4=90°，即∠FAE=90°，而AF⊥BN，∴∠AFB=90°，∴AE∥BF，由于∠1=∠2，我们联想到'角分垂，等腰归”，∴延长BF交AC的延长线于N，则可证△ABN为等腰三角形，可证BF=FN，出现了相等的线段，以此来证AM=ME，如图
由于BN∥AE，∴BF/ME=FC/CM，∴FN/AM=FC/CM，∴BF/ME=FN/AM，而BF=FN，∴AM=ME.
二.证线段的比
3.(1)如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证AE=BF.
(2)如图②，将(1)中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论.
【分析】第一问简单，证△ABE≌△BCF即可，第二问证△ABE∽△BCF，得AE/BF=AB/BC=2/3，∴AE=2BF/3.
4.如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC，EF的中点，则AD/BE的值是多少？
【分析】欲求AD/BE的值，须找AD边所在的三角形与BE边所在的三角形相似，BE边所在的三角形为△BOE，AD边所在的三角形未知，而题中有O为BC，EF的中点这一条件，于是连接OD，OA，如图
则DO⊥EF且平分EF，AO⊥BC且平分BC，则∠AOD=∠DOE+∠AOE，∠BOE=∠AOB+∠AOE，而∠DOE=∠AOB=90°，∴∠AOD=∠BOE，设△ABC的边长为a，△DEF的边长为b，则AO:BO=√3a/2:a/2=√3:1
DO:EO=√3b/2:b/2=√3:1，∴AO:BO=DO:EO，∴△AOD∽△BOE，∴AD:BE=√3:1.
三.证明两线段平行
5.如图，已知点D为等腰直角三角形ABC的斜边AB上一点，连接CD，DE⊥CD，DE=CD，连接CE，AE.求证AE∥BC
【分析】欲证AE∥BC，这里有∠ACB=90°，考虑证∠CAE=90°，从条件看，用七，八年级的知识证不出来，就要从相似考虑，题中有两个等腰直角三角形，过C点作CM⊥AB于M，如图，
则AC/CM=AE/CD=√2，而∠ACM=∠ECD=45°则∠ACE=∠MCD，∴△ACE∽△MCD，∴∠CAE=∠CMD=90°，则∠CAE=∠ACB=90°，∴AE∥BC.
6.如图，在△ABC中，BM=CM，∠BAD≈∠CAD，BQ⊥AD于P，求证:DQ∥AB.
【分析】本题有一定难度，我们可以一步步地分析，条件中有中线AM，即BM=CM，有角平分线AD，有BQ⊥AD于P，想到'角分垂，等腰归'，则延长BQ交AC于N，则出等腰三角形ABN，P为BN的中点，∴连接PM，则CN=2PM，PM∥AC，如图，
则有PM/AC=DM/DC，则PM/(AC一2PM)=DM/(DM+MC一2DM)，也就是PM/(AC一NC)=DM/(DM+BM一2DM)，即PM/AN=DM/BD，由PM∥AC，又可得PM/AN=MQ/AQ，∴MQ/AQ=DM/BD，至此，可得DQ∥AB.经过一系列的代换转到要证的比例上，需要同学们多加体会.
四.证明两线段垂直
7.在△ABC中，D是AB上一点，且AC²=AB×AD，BC²=BA×BD，求证CD⊥AB
【分析】条件中正好是射影定理的两个结论，这样需要反过来推直角，由AC²=AB×AD，得AC/AD=AB/AC，又∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴∠ADC=∠ACB，又由BC²=BA×BD，得BC/BD=BA/BC，且∠B=∠B，∴△BCD∽△BAC，∴∠BDC=∠BCA，∴∠ADC=∠BDC，而∠ADC+∠BDC=180°，∴∠ADC=∠BDC=90°，∴CD⊥AB.
另，AC²+BC²=AB×AD+BA×BD=AB×(AD+BD)=AB²，由勾股定理逆定理，可知∠ACB=90°，出了一个直角，接下来就好证多了，由AC²=AB×AD，得AC/AD=AB/AC，又∠A=∠A，∴△ADC=∠ACB=90°，∴CD⊥AB.
【总结】做题多思做想，抓住条件类比联想，是重中之重，望同学们多想多思.
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