神奇的5和6

在数的平方中，5和6可以说是两个非常神奇的数。

首先，5的平方等于25，其末位数仍然是5；6的平方等于36，其末位数仍然是6。

对于末位数是5的两位数，从15到95这9个数，经计算知道只有25的平方等于625，其末两位数仍然是25；

对于末位数是6的两位数，从16到96这9个数，经计算知道只有76的平方等于5776，其末两位数仍然是76；

对于末两位数是25的三位数，从125到925这9个数，经计算知道只有625的平方等于390625，其末三位数仍然是625；

对于末两位数是76的三位数，从176到976这9个数，经计算知道只有376的平方等于141376，其末三位数仍然是376。

面对最后这个结论或许我们会提出这样的问题：一个三位数，其平方的末三位数仍然是这个三位数的除了625和376外，还有其他的数吗？

下面我们来探索这个问题：

首先，设所求的三位数为100x＋10y＋z，则依题意，得

(100x+10y+z)2＝1000a＋（100x＋10y＋z）（a为正整数，且10≤a≤998）

所以(100x+10y+z)2-（100x＋10y＋z）＝1000a，

左边因式分解，得：

（100x＋10y＋z）（100x＋10y＋z－1）＝1000a，

因为（100x＋10y＋z－1）与（100x＋10y＋z）是三位数的连续整数，

且它们的乘积末三位数都是0，

所以它们的末位数只能是0和1，或4和5，或5和6，所以z只能是1或5或6．

如果z＝1，则

（100x＋10y＋1）（100x＋10y）＝1000a，

整理，得：

(100x+10y)2+(100x+10y)=1000a，

即100(10x+y)2+10(10x+y)=1000a，

两边除以10，得

10（10x+y）2+(10x+y)=100a，

整理，得

（10x+y）[10(10x+y)+1]=100a，

因为10(10x+y)+1的个位数是1，所以10x+y的个位数为0，

所以y=0，

所以10x·(100x+1)=100a，

所以x(100x+1)=10a，

所以x=10，与x<10矛盾；

如果z＝5，则

（100x＋10y＋4）（100x＋10y＋5）＝1000a，

整理，得

（100x+10y）2＋9（100x＋10y）＝1000a－20，

再整理，得

10(10x+y)2＋9（10x＋y）＝100a－2，

即（10x＋y）[10（10x＋y）＋9]＝100a－2，

因为[10（10x＋y）＋9]的个位数为9，100a－2的个位数为8，

所以（10x＋y）的个位数只能是2，所以y＝2，

所以（10x＋2）（100x＋29）＝100a－2，

整理，得1000x2＋490x＝100a－60，

即100x2＋49x＝10a－6，

所以x（100x＋49）＝10a－6，

因为（100x＋49）的个位数是9，10a－6的个位数是4，所以x只能是6，

故所求的三位数是625；

如果z＝6，则

（100x＋10y＋5）（100x＋10y＋6）＝1000a，

整理，得

(100x+y)2＋11（100x＋10y）＝1000a－30，

再整理，得

10(10x+y)2＋11（10x＋y）＝100a－3，

即（10x＋y）[10（10x＋y＋1）＋1]＝100a－3，

因为[10（10x＋y＋1）＋1]的个位数为1，100a－3的个位数为7，

所以（10x＋y）的个位数只能是7，所以y＝7，

所以（10x＋7）（100x＋81）＝100a－3，

整理，得1000x2＋1510x＝100a－570，

即100x2＋151x＝10a－57＝10（a－5）－7，

所以x（100x＋151）＝10（a－5）－7，

因为（100x＋151）的个位数是1，10（a－5）－7的个位数是3，

所以x只能是3，

故所求的三位数是376．

综上，所有满足条件的三位数只有625和376两个．

有兴趣的可以探索一下：一个两位数，其平方的末两位数仍然是这个两位数的除了25和76外，还有其他的数吗？