在自己加入的物理爱好者群内，最近看到了几个微信订阅号的链接文章，也讨论了几个问题。现在做一下记录，若以后有时间可能再仔细整理一下。
一. 万象经验微信订阅号上有这样一篇文章，介绍0.999......=1。
有几种证明方法，最简单的证明是1/3=0.333……，等式两边同时乘以3，那么1=0.999……
实数是由有理数和无理数构成，有理数包括整数和分数，而无理数就是无限不循环小数。数学上，实数直观的定义为和数轴上的点一一对应的数。在知乎上，也有对这个等式证明的回答，在《陶哲轩实分析》中，对这个问题有详细解释。简单来说就是：实数的十进制表示的唯一性不成立：所有的实数，当它是有限小数时（从小数点后某位开始全是零的数），它有两种十进制表示方法。例如1，可以表示为1.000……,也可以表示为0.999……；当它不能表示成有限小数时，它只有一种表示方法。
所有的整实数，都可以表示为与它对应的无限循环小数。实数中，绝大部分都是小数点后存在无限循环的有理数和小数点后无限不循环的无理数。整实数在实数中只是很小的一部分。1=0.999……，应该属于高等数学的命题。这个等式是目前数学界普遍认可的，但也并非无有任何争议。先来介绍一下数学悖论：悖论是一种认识矛盾，它既包括逻辑矛盾、语义矛盾、也包括思想方法上的矛盾。数学悖论作为悖论的一种，主要发生在数学研究中。按照悖论的广义定义，所有的数学规范中发生的无法解决的认识矛盾，可以在新的数学规范中得到解决。由于悖论的存在，曾引起了数学发展史上三次大的危机。这种危机是危及整个理论体系的逻辑基础的根本矛盾。这种根本性的矛盾能够暴露一定发展阶段上数学体系逻辑基础的局限性，人们在克服这种局限性的过程中，从而促进了数学的大发展。在数学的第三次危机中，作为对集合论悖论研究的直接成果是哥德尔不完全性定理：一个包括逻辑和初等数论的形式系统，如果是协调的，则是不完全的，亦即无矛盾性不可能在本系统内确立；如果初等算数系统是协调的，则协调性在算术系统内是不可能证明的。哥德尔不完全性定理无可辩驳地揭示了形式主义系统的局限性，在数学上证明了企图以形式主义的技术方法一劳永逸地解决悖论的不可能性。它实际上告诉人们，任何想要为数学找到绝对可靠的基础，从而彻底避免悖论的种种企图都是徒劳无益的。哥德尔定理是数学逻辑、人工智能、集合论的基石，是数学史上的一个里程碑。美国著名数学家冯.诺伊曼说：“哥德尔在现代逻辑中的成就是非凡的、不朽的----它的不朽甚至超过了纪念碑，它是一个里程碑，在可以望见的地方和可以望见的未来永远存在的纪念碑。”
时至今日，第三次数学危机还不能说已从根本上消除了，因为数学基础和数理逻辑的许多重要课题还未能从根本上得到解决。然而，人们正向根本解决的目标逐渐接近。可以预料，在这个过程中将产生许多新的重要成果。发现和提出悖论并加以研究，对于数学基础、逻辑学和哲学都有重要意义。
二. 爱因斯坦曾就他是否信仰上帝留下过几段文字，现从中摘录几句。“我无法想象一个人格化的上帝--一个会直接影响个人行为、或是审判自己造物的上帝。我们对可知世界少的可怜的了解，揭示出一定存在一个之高无上的精神；而我的宗教虔诚正是对至高精神的一种谦卑的赞赏。我坚信这难以理解的宇宙揭示了至高理性力量的存在，这种坚信形成了我对上帝的看法。” “我信仰史宾诺莎的上帝，他以万物之秩序示现，不会干涉人的命运和行为。” “在处理地球以外事物的过程中使用拟人化的概念往往存在误导--这是一种幼稚的比拟。就目前我们掌握的而言，我们必须谦卑的赞赏这个世界的美丽和谐的构造，仅此而已。” “我反复说过，在我看来人格化的上帝是幼稚的。你可以称我为不可知论者，但我并不具有专业无神论者那种十字军般的精神，他们的热情大多来自于一种从青年时期接受的宗教教育的束缚住痛苦的挣扎。我更倾向于一种谦卑的态度，以反映我们在智力上对自然和人类本身理解的微弱。”
物理学家施温格曾说：我们不应该告诉大自然怎样做，我们必须要向自然界折腰。美国凝聚态物理学家菲利普.安德森曾在美国是否上马超导超级对撞机的争论中说：我们还没有理解新的高温超导体为什么超导，也不理解雪花是怎样形成的，更不理解人的思维是怎样产生的，以及经济有什么规律。然而，在这些及其困难的问题上，高能物理没法提供任何直接的帮助。 关于日常事物的行为，甚至原子核的行为，很可能也包括星星的行为。 他们（高能物理学家）的基础物理已经变得如此“基础”，甚至和其他科学分支都几乎没有任何关联。
三. 在研究高能物理的量子场论中，任何一个粒子都可以把自己的场一直延伸到无穷远处。就算计算机神通再大，也无法从无穷远处一路算过来，再算过去。量子场论中，用数学上的逐次迭代法，来求的满足我们精度要求的近似解。高能物理学家的场方程在第一次迭代后效果很好，可是，才进行第二次迭代，就出现了无穷大。于是他们想方设法搞了个无穷大减无穷大，居然也能得到令人满意的结果，他们把这个过程称为重整化。数学家们看了只能摇头。可是，既然效果那么好，还管那麽多干嘛呢。逐次迭代法是研究量子场论科学家最称手的杀手锏，时时刻刻都拿在手里使用的，他们对每次迭代都做了相应的物理解释。物理学家费曼还画出力的传递粒子的路径图，来代表每次迭代过程，这些图被称为费曼图。这段话摘自微信订阅号—“数学中国”里面的《趣谈数学与物理的关系》
现在我们来总结一下：到目前为止，数学基础及数理逻辑的许多重要课题还未能从根本上得到解决。物理理论过于依赖数学公式，自然会存在不足与悖论。
1. 在物理公式的计算中，我们采用的实数取的是小数点后有限位的实数和整数，它满足了人类实践范围内的实验的精度要求，但将它用于更广阔的自然空间，天文宇宙空间时，有限位的实数是否还满足精度的需求？这里就存在一个类推的悖论，谷堆悖论：一粒谷子不是谷堆，两粒谷子也不是谷堆，三粒谷子也不是谷堆，…….，依次类推：那么99999粒谷子也不是谷堆。实数取整数和有限位小数，一点点的误差，在一定范围内是允许的，但将其扩大至人类实践能力不及的地方，就会产生差之毫厘，谬之千里的结果，已经是质的不同，而不仅仅是误差而已。
2. 一些物理公式，脱胎于高数公式。高数公式的解有的并非是只有唯一解，有的求解十分困难，甚至无解。公式本身的建立，就是为了得到一些数学模型的近似解。一些物理公式的求解过程，也并不符合高数的规范解法。但这些问题，物理学家采取了忽略的态度。对高等数学采用了一种拿来主义的实用态度，没有再深究其中的数理逻辑，也没有能力去深究。在专业的数学领域，有一些数学猜想至今无法证明。比如哥德巴赫猜想，冰雹猜想。
3. 为了解决人类实践中面对的问题，我们建立了数学模型来进行计算和求解。一旦遇到非线性问题，数学家在绝大多数情况下无法可想：非线性方程不仅难以求得严格解，另一个难缠的是，它往往往有不止一个解，还会像泥鳅似的在不同解之间游来荡去。我们日常看到的不断变化的流水波纹，或无风时的袅袅青烟，都反映了这种情况。而广义相对论的引力方程是一个二阶非线性偏微分方程。物理公式是用公式去解释实验结果和人类实践中成果，而并非是有了人类的公式才有了自然法则，这是一个最起码的科学认知的常识。爱因斯坦场方程的左侧套用的是黎曼几何的模型（地球模型）。宇宙中及地球自然界中的情况要比数学模型复杂，甚至找不到相对精准的模型。例如，一个球形小磁铁环绕另一个球形磁铁做圆周运动时相互之间的作用力，或者交流电动机工作时定子和转子之间的相互作用力的传递过程，难以建立精准的数学模型。简单来说，数学公式对应的数学建模是一种近似，与真实的自然界中的状况是有偏差的。
由以上三点可以看出，物理公式的适用，是有一定限制条件和范围的，它的适用范围扩大到一定边界就会失效。量子力学和广义相对论冲突的根源就在于对公式的神化和依赖上。
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