原题
原题：已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的长轴长为4，右焦点为F，且椭圆C上的点到点F的距离最小值与最大值的积为1，圆O：x^2+y^2=1与x轴交于A，B两点。
⑴求椭圆C的方程；
⑵动直线L：y=kx+m与椭圆C交于P，Q两点，且直线L与圆O相切，求△APQ的面积与△BPQ的面积乘积的取值范围。
图一
这道题的第一问是考察我们基础的椭圆知识点。
该题的第二问是考察直线和圆锥曲线的题，这样的题都是结合伟大定理，将直线和圆锥曲线的交点坐标用给出的直线y=kx+m中的字母k和m来表示，根据各种关系建立等量关系，最后可以通过基本不等式或者k的范围来求出我们要求出的结果。
那这里给出圆O的作用是什么呢？
这里给出圆O的作用就是得出k和m的关系，因为后面的表示出的等量关系如果是两个字母的话，很难根据两个字母的范围求解出结果来，且m的范围还是比较难求的，所以对于多给出的已知条件一般都是为了去掉m，将得出的结果只保留直线L的斜率k的形式。
下面就在讲解题的过程中详细的说明圆O的用法和直线与圆锥曲线常规的解法。
第一问
第一问是求椭圆C的方程。
要想求出该椭圆C的方程，需要知道这几个知识点：当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的长轴为2a，椭圆的短轴为2b；椭圆上的点到椭圆右焦点的距离为最小值时，该点是椭圆的右顶点。椭圆上的点到椭圆右焦点的距离为最大值时，该点是椭圆的左顶点。
因为长轴的长是4，所以有2a=4，即a=2.
因为椭圆C上的点到点F的距离最小值与最大值的积为1，所以有(a－c)(a+c)=1，即a^2=c^2+1.
根据椭圆的参数之间的关系有a^2=b^2+c^2，所以b^2=1，c^2=3，所以b=1，c=√3.
所以该椭圆C的方程为x^2/4+y^2=1.
第二问
第二问是求出△APQ的面积与△BPQ的面积乘积的取值范围。
根据题意画出图形，这也是解题必备的。
图二
这道题解题的关键就是将这两个三角形面积的乘积与伟大定理结合，即将这两个三角形面积的乘积用直线中的字母k来表示，然后再根据k的范围或者不等式得出这两个三角形面积乘积的范围。
为了更为有效地将这两个三角形面积乘积用直线L中的字母k来表示，我们要选择一个公共边，而这个公共边就是直线L所在的边，即为PQ。
因为直线PQ中的P、Q坐标与直线L中的k可以使用韦达定理将它们联系起来。
第一步，设出P、Q两点坐标，将根和系数关系表示出来。
设P、Q两点的坐标分别为（x1,y1）和（x2,y2）。
将直线L：y=kx+m与椭圆C：x^2/4+y^2=1联立得到（1+4k^2）x^2+8kmx+4m^2－4=0。
根据韦达定理有x1+x2=－8kmx/（1+4k^2），x1x2=(4m^2－4)/（1+4k^2）。
第二步，根据根与系数之间的关系，将三角形的公共边表示出来。
|PQ|=√(1+k^2)·［√((x1+x2)^2－4x1x2)］
=√(1+k^2)·［√((－8kmx/（1+4k^2）)^2－4(4m^2－4)/（1+4k^2）)］
=√(1+k^2)·√（16(1+4k^2－m^2)/(1+4k^2)^2）。
第三步，将这两个三角形面积的乘积用k和m表示出来。
因为直线L与圆O相切，所以点O到直线L的距离d=|m|/√(1+k^2)=1，所以有1+k^2=m^2.
因为A(－1,0)，B（1,0），所以这两点到直线PQ的距离分别为
d1=|k－m|/√(1+k^2)，d2=|k+m|/√(1+k^2)。
所以△APQ的面积为S△APQ=|PQ|·d1/2，△BPQ的面积为S△BPQ=|PQ|·d2/2。
所以△APQ的面积与△BPQ的面积乘积为
S△APQ·S△BPQ=|PQ|^2·d1·d2/4
=(1+k^2)·（16(1+4k^2－m^2)/(1+4k^2)^2）·|k－m|/√(1+k^2)·|k+m|/√(1+k^2)·1/4
=4(1+4k^2－m^2)|k^2－m^2|/(1+4k^2)^2.
第四步，去掉m，将这两个三角形面积乘积变成单一变量的形式。
因为1+k^2=m^2，所以S△APQ·S△BPQ=4(1+4k^2－1－k^2)|k^2－1－k^2|/(1+4k^2)^2=12k^2/(1+4k^2)^2。
第五步，得出k范围，使用基本不等式求出这两个三角形面积乘积的取值范围。
因为直线L与椭圆有两个交点，所以直线与椭圆联立得到的方程的判别式△>0，所以有判别式△=16（1+4k^2－m^2）>0，即△=48k^2>0，即k^2>0.
将上述等式上下同时除以k^2变形得到
S△APQ·S△BPQ=12k^2/(1+4k^2)^2=12/(16k^2+1/k^2+8).
根据基本不等式有16k^2+1/k^2+8≥2√（16k^2·1/k^2）+8=16，当且仅当16k^2=1/k^2，即k^2=1/4时等号成立。
所以S△APQ·S△BPQ≤12/16=3/4，当且仅当k^2=1/4时等号成立。
因为k^2>0，所以S△APQ·S△BPQ=12/(16k^2+1/k^2+8)>0的。
所以S△APQ·S△BPQ的取值范围为(0,3/4］。
图三
总结
该题中需要注意两点：第一，圆O的作用，很多同学不知道圆O的作用，很容易将k和m的关系这条已知丢掉了，而得不出最后的范围；第二，就是对△APQ的面积与△BPQ的面积乘积的表示方式要都以|PQ|为底边的形式去表示这两个三角形面积乘积。
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