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高中数学,圆锥曲线的题型不会,高考就危险,经典题型,步骤清晰

    原题

    原题:已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的长轴长为4,右焦点为F,且椭圆C上的点到点F的距离最小值与最大值的积为1,圆O:x^2+y^2=1与x轴交于A,B两点。

    ⑴求椭圆C的方程;

    ⑵动直线L:y=kx+m与椭圆C交于P,Q两点,且直线L与圆O相切,求△APQ的面积与△BPQ的面积乘积的取值范围。

  • 图一
  • 这道题的第一问是考察我们基础的椭圆知识点。

    该题的第二问是考察直线和圆锥曲线的题,这样的题都是结合伟大定理,将直线和圆锥曲线的交点坐标用给出的直线y=kx+m中的字母k和m来表示,根据各种关系建立等量关系,最后可以通过基本不等式或者k的范围来求出我们要求出的结果。

    那这里给出圆O的作用是什么呢?

    这里给出圆O的作用就是得出k和m的关系,因为后面的表示出的等量关系如果是两个字母的话,很难根据两个字母的范围求解出结果来,且m的范围还是比较难求的,所以对于多给出的已知条件一般都是为了去掉m,将得出的结果只保留直线L的斜率k的形式。

    下面就在讲解题的过程中详细的说明圆O的用法和直线与圆锥曲线常规的解法。

    第一问

    第一问是求椭圆C的方程。

    要想求出该椭圆C的方程,需要知道这几个知识点:当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆的长轴为2a,椭圆的短轴为2b;椭圆上的点到椭圆右焦点的距离为最小值时,该点是椭圆的右顶点。椭圆上的点到椭圆右焦点的距离为最大值时,该点是椭圆的左顶点。

    因为长轴的长是4,所以有2a=4,即a=2.

    因为椭圆C上的点到点F的距离最小值与最大值的积为1,所以有(a-c)(a+c)=1,即a^2=c^2+1.

    根据椭圆的参数之间的关系有a^2=b^2+c^2,所以b^2=1,c^2=3,所以b=1,c=√3.

    所以该椭圆C的方程为x^2/4+y^2=1.

    第二问

    第二问是求出△APQ的面积与△BPQ的面积乘积的取值范围。

    根据题意画出图形,这也是解题必备的。

  • 图二
  • 这道题解题的关键就是将这两个三角形面积的乘积与伟大定理结合,即将这两个三角形面积的乘积用直线中的字母k来表示,然后再根据k的范围或者不等式得出这两个三角形面积乘积的范围。

    为了更为有效地将这两个三角形面积乘积用直线L中的字母k来表示,我们要选择一个公共边,而这个公共边就是直线L所在的边,即为PQ。

    因为直线PQ中的P、Q坐标与直线L中的k可以使用韦达定理将它们联系起来。

    第一步,设出P、Q两点坐标,将根和系数关系表示出来。

    设P、Q两点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)。

    将直线L:y=kx+m与椭圆C:x^2/4+y^2=1联立得到(1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-4=0。

    根据韦达定理有x1+x2=-8kmx/(1+4k^2),x1x2=(4m^2-4)/(1+4k^2)。

    第二步,根据根与系数之间的关系,将三角形的公共边表示出来。

    |PQ|=√(1+k^2)·[√((x1+x2)^2-4x1x2)]

    =√(1+k^2)·[√((-8kmx/(1+4k^2))^2-4(4m^2-4)/(1+4k^2))]

    =√(1+k^2)·√(16(1+4k^2-m^2)/(1+4k^2)^2)。

    第三步,将这两个三角形面积的乘积用k和m表示出来。

    因为直线L与圆O相切,所以点O到直线L的距离d=|m|/√(1+k^2)=1,所以有1+k^2=m^2.

    因为A(-1,0),B(1,0),所以这两点到直线PQ的距离分别为

    d1=|k-m|/√(1+k^2),d2=|k+m|/√(1+k^2)。

    所以△APQ的面积为S△APQ=|PQ|·d1/2,△BPQ的面积为S△BPQ=|PQ|·d2/2。

    所以△APQ的面积与△BPQ的面积乘积为

    S△APQ·S△BPQ=|PQ|^2·d1·d2/4

    =(1+k^2)·(16(1+4k^2-m^2)/(1+4k^2)^2)·|k-m|/√(1+k^2)·|k+m|/√(1+k^2)·1/4

    =4(1+4k^2-m^2)|k^2-m^2|/(1+4k^2)^2.

    第四步,去掉m,将这两个三角形面积乘积变成单一变量的形式。

    因为1+k^2=m^2,所以S△APQ·S△BPQ=4(1+4k^2-1-k^2)|k^2-1-k^2|/(1+4k^2)^2=12k^2/(1+4k^2)^2。

    第五步,得出k范围,使用基本不等式求出这两个三角形面积乘积的取值范围。

    因为直线L与椭圆有两个交点,所以直线与椭圆联立得到的方程的判别式△>0,所以有判别式△=16(1+4k^2-m^2)>0,即△=48k^2>0,即k^2>0.

    将上述等式上下同时除以k^2变形得到

    S△APQ·S△BPQ=12k^2/(1+4k^2)^2=12/(16k^2+1/k^2+8).

    根据基本不等式有16k^2+1/k^2+8≥2√(16k^2·1/k^2)+8=16,当且仅当16k^2=1/k^2,即k^2=1/4时等号成立。

    所以S△APQ·S△BPQ≤12/16=3/4,当且仅当k^2=1/4时等号成立。

    因为k^2>0,所以S△APQ·S△BPQ=12/(16k^2+1/k^2+8)>0的。

    所以S△APQ·S△BPQ的取值范围为(0,3/4]。

  • 图三
  • 总结

    该题中需要注意两点:第一,圆O的作用,很多同学不知道圆O的作用,很容易将k和m的关系这条已知丢掉了,而得不出最后的范围;第二,就是对△APQ的面积与△BPQ的面积乘积的表示方式要都以|PQ|为底边的形式去表示这两个三角形面积乘积。

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来自:四地贤夫  > 高考数学
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