全等模型 之 对角互补
相关组织：武汉经开外国语学校808天鲲之家
制作人员：李之洋，肖天翼，张展硕，赵语涵
审核：谢紫璇，刘睿熙
一、模型解读
①∠BAD+∠BCD=180°;互补
②CD=CB;等腰
③AC平分∠BAD;角平分线
对角互补模型：对角互补、等腰、
角平分线，知二推一
拓展：AB-AD=2BP或AD+AB=2AP
二、模型证明
已知：在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°，AC平分∠BAD，求证：CB=CD
证明：过点C作CP⊥AB交AB于点P,作CQ⊥AD交AD延长线于点Q
∵AC平分∠BAD，CP⊥AB，CQ⊥AD
∴CP=CQ,∠CQD=∠CPB=90°
∵∠BAD+∠BCD=180°
∴∠ABC+∠ADC=180°
又∠CDQ+∠ADC=180°
∴∠CDQ=∠ABC
在△CPB与△CQD中
∠CPB=∠CQD,∠PBC=∠CDQ,CP=CQ
∴△CPB≌△CQD（AAS）
∴CB=CD
三、经典例题
1.
我们过P向OM和ON作垂线，分别交于K与T。
∵∠MON+∠APB=180°，
∴∠ OAP +∠ OBP=180°，
∵∠OAP +∠MAP=180°，
∴∠MAP=∠OBP。
∵PK⊥OM， PT⊥ON，
∴∠OKP=∠PTB=90°。
在△PTB和△PKA中，∠PKA=∠PTB，∠KAP=∠PBT，AP=BP，∴△KAP≌△PTB(AAS)，
∴KP=PT，
∵KP⊥OM，PT⊥ON，KP=PT，
∴OP平分∠MON。
2.
∵∠BAC+∠BDC=180°，
∴∠ABD+∠ACD=180°。
因为我们要构造一个等⻆，且 BD=DC，所以我们延长AC是最好的方法。
延长AC至K，使CK=AB，连接DK。
∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCK=180°，
∴∠ABD=∠DCK。
在△ABD和△CDK中，BD=DC，∠ABD=∠CDK，AB=CK，∴△ABD≌△CDK (SAS)，
∴AD=DK，∠BAD=∠CKD，
∴∠CAD=∠AKD，
∴AD平分∠BAC。
3.
如图，∠AOB+∠ACB=180°，因此我们可以构造对⻆互补，过C作CK⊥x轴，过C作CM ⊥y轴，
∵∠AOB+∠ACB=180°，
∴∠OAC +∠CBO=180°，
∵∠OAC +∠CAM=180°，
∴∠CBO=∠CAM，
在△CMA和△CKB中，∠CMA=∠CKB，∠ CAM=∠CBK，CM=CK，
∴△CMA≌△CKB（AAS），
∴AM=BK，
∵OA=M-AM，OB=OK+BK，
∴OA+OB=6
4.
(1)延长AD至K，使DK=BH，连接CK，
∵AC平分∠DAB，CK⊥AD，CH⊥AB
∴CK=CH，
在△CDK 和△BCH中，CD=CB，CK=CH，DK=BH，∴△CDK≌△BCH (SSS)，
∴∠CDK=∠B，
∴∠ADC +∠B=180°
(2)在Rt△CDK和Rt△ACH中，AC=AC，CK=CH，
∴Rt△CDK≌Rt△ACD（HL），
∴AH=DK，
∴AH=8-（8-3）/2=5.5
四、变式例题
1.
（1）连接DB、DC,
∵DG⊥BC且BG=CG，
∴BD=DC，
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC，
∴DE=DF,∠BED=∠DFC=90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，DE=DF, BE=CF，∴Rt△BED≌ Rt△CFD（HL）,
∴BE=CF
(2)在Rt△ADE和Rt△ADF中，AD=AD,DE=DF,∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）,
∴AE=AF.
∵AC+CF=AF,
∴AE=AC+CF,
∵AE=AB-BE,
∴AC+CF=AB-BE,
∴b+CF=a-BE,
∴BE=（a-b）/2,
∴AE=a-（a-b）/2=（a+b）/2
2.
(1)∵CE平分∠QCB,
∴∠QCP=∠BCP，
∵∠QCP=∠QAP+∠APC=∠QAP+20°,
∴2∠QCP=2∠QAP+40°，
∵∠QCB=∠QAB+∠ABC=∠QAB+40°，
∴∠QAB=2∠QAP,
∴AD平分∠CAB
（2）由(1)可知AD平分∠CAB,
∴∠FAB=∠FAN,
在△AFH和△AFN中，∠FNA=∠FHA，∠FAN=∠FAH,AF=AF，∴△AFN≌△AFH(AAS),
∴AN=AH,NF=FH,
∵FG垂直平分BC,
∴FC=FB.
在Rt△FCN和Rt△FBH中，FN=FH，FC=FB，∴Rt△FCN≌Rt△FBH(HL),
∴CN=BH,
∵AB=AH+BH=AN+BH=AC+CN+BH=AC+2BH，
∴5=3+2BH,∴BH=1.
六、总结
应对对角互补问题，我们常用的两种方法作辅助线：
1、过顶点作双垂线，构造全等三角形；
2、通过旋转，构造全等三角形。
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