用欧拉公式推导三角函数的降幂公式

    三角函的n倍角公式(用棣莫弗公式推导三角函数的n倍角公式)将任意角的n倍角的三角函数表示为原来的角的正弦和余弦的自然数次幂之积的线性组合。相反，任意角的三角函数的n次幂也可以展开为原来角的整数倍角的正弦函数和余弦函数的线性组合。下文将进行详细的推导。

根据三角函数的欧拉公式，

即

​

类似的，

当n为偶数时，

当n为奇数时，

​

奇偶两种情况综合起来就是

​

其中"mod"表示求余数，"n mod 2"就是求n除以2的余数，目的是用来判断n是奇数还是偶数。

    事实上，上述正弦函数和余弦函数的降幂公式就是正弦函数和余弦函数n次幂的傅里叶级数。根据正弦函数和余弦函数跟其他三角函数之间的转换关系，也可以用上述两种三角函数的降幂公式推导出其他三角函数的降幂公式。此外，根据广义二项式定理也可以用上述方法推导出三角函数非整数次幂的降幂公式。