【数学思维能力训练第22期】【一题多解】

试题内容

在四边形ABCD中，∠B=90°，∠C=150°，AB=BC=CD，求∠D.

解法分析

方法1：等边三角形+正方形

将点D绕点C逆时针旋转60°得到点E，
连接AE、CE、DE.
1.△CDE是等边三角形；
2.四边形ABCE是正方形；
3.△AED是顶角为150°的等腰三角形，∠EDA=15°；
4.∠ADC=∠EDC-∠EDA=45°.

方法2：等边三角形+平行四边形

将点D绕点C顺时针旋转60°得到点E，
连接BE、CE.
1.△CDE是等边三角形，
CE=DE=CD=BC=AB；
2.△BCE是顶角为150°的等腰三角形，
∠CBE=∠CEB=15°；
3.∠ABE+∠DEB=180°，
四边形ABED是平行四边形；
4.∠ADC=∠ADE-∠CDE=∠ABE-∠CDE=45°.

方法3：等边三角形+平行四边形

将点B绕点A顺时针旋转60°得到点E，
连接AE、BE、CE.
1.△ABE是等边三角形，
AE=BE=AB=BC=CD；
2.△BCE是顶角为150°的等腰三角形，
∠BCE=∠BEC=15°；
3.∠AEC+∠DCE=180°，
四边形AECD是平行四边形；
4.∠ADC=∠AEC=45°.

方法4：等边三角形+菱形

如图，作DE∥BC，DE=BC，连接AE、BE.
1.四边形BCDE是菱形，BE=CD=AB，
∠EDC=∠EBC=180°-∠C=30°；
2.∠ABE=∠ABC-∠EBC=60°，
△ABE是等边三角形；
3.△AED是顶角为150°的等腰三角形，∠EDA=15°；
4.∠ADC=∠EDC+∠EDA=45°.

方法5：等边三角形+全等三角形

将点C绕点B顺时针旋转60°得到点E，
连接BE、CE、DE、BD.
1.△BCE是等边三角形，
BE=CE=BC=AB=CD；
2.△BCD和△ECD都是顶角为150°的等腰三角形；
3.根据SAS证明△ABD≅△EBD，
∠A=∠BED=75°；
4.∠ADC=360°-∠A-∠ABC-∠BCD=45°.

方法6：含30°直角三角形+全等三角形

作DE⊥BC交BC的延长线于点E，
作AF⊥ED交ED的延长线于点F，连接BD.
1.△BCD是顶角为150°的等腰三角形，
∠CBD=∠CDB=15°，∠DBA=75°；
2.四边形BEFA是矩形，
BE=AF，EF=AB=CD；
3.△CDE是含30°的直角三角形，
DE=CD=EF；
4.根据SAS证明△AFD≅△BED，DA=DB；
5.∠ADB=180°-2∠DBA=30°；
∠ADC=∠ADB+∠CDB=45°.

方法7：含30°直角三角形+矩形

作DE⊥BC交BC的延长线于点E，
作DF⊥AB于点F，连接BD.
1.△BCD是顶角为150°的等腰三角形，
∠CBD=15°，∠DBF=75°；
2.△CDE是含30°的直角三角形，
DE=CD=AB；
3.四边形BEDF是矩形，
BF=DE=AB；
4.DF垂直平分AB，DA=DB，
∠A=∠DBF=75°；
5.∠ADC=360°-∠A-∠ABC-∠BCD=45°.

方法8：含30°直角三角形+矩形

作DE⊥AB于点E，
作CF⊥DE于点F，连接BD.
1.△BCD是顶角为150°的等腰三角形，
∠CBD=15°，∠DBA=75°；
2.△CDF是含30°的直角三角形，
CF=CD=AB；
3.四边形BEFC是矩形，
BE=CF=AB；
4.DE垂直平分AB，DA=DB，
∠A=∠DBA=75°；
5.∠ADC=360°-∠A-∠ABC-∠BCD=45°.