基本概念 ……………………… 02
图形求面积 ……………………… 04
比例问题 ……………………… 03
课本奥数 ……………………… 04
分数计算 ……………………… 05
找规律 ……………………… 06
方程解应用题 …………………… 07
初中衔接 ……………………… 08
三视图 概率问题
基本概念
一、平均数、中位数、众数
1、平均数：是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数
如：4，5，6，7，8，9. （4+5+6+7+8+9）÷6=6.5
6.5就是它们的平均数
2、中位数：一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序依次排列，处在中间位置的一个数（或最中间两个数据的平均数)。注意：和众数不同，中位数不一定在这组数据中
例：2、3、4、5、6、7
中位数：（4+5）/2=4.5
3、众数：是一组数据中出现次数最多的数值。(就是一组数据中占比例最多的那个数）
① 一般来说，一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数。
例如：1，2，3，3，4的众数是3。
② 如果有两个或两个以上个数出现次数都是最多的，那么这几个数都是这组数据的众数。
例如：1，2，2，3，3，4的众数是2和3。
③ 如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据没有众数。
例如：1，2，3，4，5没有众数。
二、最大公因数、最小公倍数
1、最大公因数：指某几个整数共有因子中最大的一个。
12和30的公约数有：1、2、3、6，其中6就是12和30的最大公约数
2、最小公倍数：如果有一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数，对于两个整数来说， 指该两数共有倍数中最小的一个。
三、质数、合数
1、质数：又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数（只有两个正因数（1和自己）的自然数即为素数）
互质数：公约数只有1的两个数，叫做互质数。
2、合数：比1大但不是素数的数（3个或3个以上因数）
3、1和0既非素数也非合数。
三、自然数、循环小数
1、自然数：用来表示物体个数的整数，叫做自然数。0也是自然数。
2、循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做循环小数。如3. 141414
3.141414… =3.14
31.414141… =31.41
3.104104104… =3.104
311.11111… =311.1
四、奇数、偶数
1、奇数：单数
2、偶数：双数（被2整除）
五、余数
基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0<r<b,那么r叫做a除以b的余数，q叫做a除以b的不完全商。
余数的性质：
①余数小于除数。
②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。
③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。
④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。
ù真题训练ù
1、两个自然数，它们的和是667，它们的最小公倍数除以最大公因数所得商是120，则这两个数分别（ ）。
2、一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有___个．
3、有一个数，除以3的余数是2，除以4的余数是1，则这个数除以12的余数是______．
4、（121+122+…+170）-（41+42+…+98）的结果是______（填奇数或偶数）．
5、一个六位数的各位数字都不相同，最左一位数字是3，且它能被11整除，这样的六位数中最小的是______．
6、在九个连续的自然数中，至多有 个质数。
7、在下边乘法算式中，被乘数是______．
8、甲、乙两数的最大公约数是75，最小公倍数是450．若它们的差最小，则两个数为______和______．
9、一本书的页码是连续的自然数，1，2，3，…，当将这些页码加起来的时候，某个页码被加了两次，得到不正确的结果1997，则这个被加了两次的页码是______．
10、四个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有两个是奇数，两个是偶数，而且两个分母是奇数的分数之和等于两个分母是偶数的分数之和．这样的两个偶数之和至少为______．
11、两个两位自然数，它们的最大公约数是8，最小公倍数是96，这两个自然数的和是______．
12、把33，51，65，77，85，91六个数分为两组，每组三个数，使两组的积相等，则这两组数之差为______．
13、三个分数的和是3.6,他们分母相同,分子的比是2:2:4,则最大的分数为______．
14、有一个数，除以3的余数是2，除以4的余数是1，则这个数除以12的余数是______．
15、一个六位数的各位数字都不相同，最左一位数字是3，且它能被11整除，这样的六位数中最小的是______
16、一个四位数，它的第一个数字等于这个数中数字0的个数，第二个数字表示这个数中数字1的个数，第三个数字表示这个数中数字2的个数，第四个数字等于这个数中数字3的个数，求出这个四位数．
17、一个两位数，它与1的差是质数，它除以2所得的商也是质数，它除以9所得的余数是5，这个数是 。
图形求面积
一、平面图形
1、周长
长方形 =(长+宽) ×2
正方形=边长×4
圆=2πr(r为半径)= πd(d为直径)
2、面积
三角形=底×高÷2
长方形=长×宽
平行四边形=底×高
正方形=边长的平方
菱形=对角线乘积的一半
圆=πr2(r是半径)
梯形=(上底+下底) ×高÷2
二、立体图形
1、表面积
圆柱＝2×底面积（2×πr2）+侧面积（底边周长×h）
长方体=（长×宽＋宽×高＋长×高）×2
正方体=棱长×棱长×6
2、体积
长方体=长X宽X高
正方体＝棱长×棱长×棱长．
圆柱＝S底×h
圆锥=1/3×底面积×高
ù真题训练ù
比例问题
一、单位一x量对应的分数=量
先找单位一。再找量，最后看量对应的分数
1、 甲是A，甲是乙的1/3，求乙？
这个题的单位一是乙，为什么很简单。
是后面明摆着的“甲是乙的1/3”是甲和乙做比较。那么乙就是单位一，就是3/3。量就是A
解：设乙为X
X x 1/3=A
2、甲是A，乙是甲的1/3，求乙？
这道题的单位一是甲哟，为什么，我们说过单位一就是“是”或“比”后面的那一个数
解：设乙为X
Ax1/3=X
3、 甲是A，甲比乙少1/3，求乙？
解：设乙为X
X x（1-1/3）=A
4、 甲是A，甲比乙多1/3，求乙？
解：设乙为X
X x（1+1/3）=A
5、 甲是A，乙比甲少1/3，求乙？
解：设乙为X
A x（1-1/3）=X
6、 甲是A，乙比甲多1/3，求乙？
解：设乙为X
X x（1+1/3）=A
二、 量比单位一多就是+ 量比单位一少就是—
1、甲是A，乙是甲的1/3还多1/5，求乙？
这道题，后面的1/5可以看成0.2。跟占他的几分之几没有关系。
解：设乙为X
A x 1/3 =X—1/5
2、甲是A，乙是甲的1/3还少1/5，求乙？
解：设乙为X
A x 1/3 =X +1/5
3、甲是A，甲是乙的1/3还多1/5，求乙？
解：设乙为X
X x1/3=A—1/5
4、甲是A，甲是乙的1/3还少1/5，求乙？
解：设乙为X
X x1/3=A+1/5
看的出来以上的4道题和之前的“甲是A，乙是甲的1/3，求乙？”等，没有太大差别。唯一不同的是
量比单位一少用 量+少的部分
量比单位一多用 量—多的部分
三、比和比例
比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。
比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。
比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。
比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或
比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。
正比例：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），则A与B成正比。
反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），则A与B成反比。
比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。
按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。
ù真题训练ù
1、有100千克物品，增加它的1/10后，再减少1/10，现在它的重量是 千克。
2、甲、乙、丙三人，平均体重60千克，甲与乙的平均体重比丙的体重多3千克，甲比丙重3千克，则乙的体重为______千克。
3、某工厂，三月比二月产量高20％，二月比一月产量高20％，则三月比一月高______％．
4、一个长方形的宽：长=2：5，长比宽长12厘米，这个长方形的面积是 平方厘米。
5、Apple读一本书，已经读了60页，比余下的页数多3/20，还剩 页。
6、一个三角形三个内角度数比是2；3；7，这个三角形是一个 角三角形。
7、100克盐水中含有10克盐，那么盐和盐水的重量比是 。
8、甲数比乙数少20%，则甲数是乙数的 %。
9、一天甲、乙、丙三个同学做数学题．已知甲比乙多做了6道，丙做的是甲的2倍，比乙多22道，则他们一共做了______道数学题．
10、有a、b两条绳，第一次剪去a的2/5，b的2/3；第二次剪去a绳剩下的2/3，b绳剩下的2/5；第三次剪去a绳剩下的2/5，b绳的剩下部分的2/3，最后a剩下的长度与b剩下的长度之比为2∶1，则原来两绳长度的比为______．
11、修一条长30千米的路，已经修的占剩下的 ，已经修了多少千米？
12、艾西教育参加数学竞赛，男生比女生多28人，女生全部90分以上，男生只有75%是90分以上。已知男，女生共有45人是90分以上。求男生的参加人数？
小学奥数
一、年龄问题
年龄问题：已知两人的年龄，求若干年前或若干年后两人年龄之间倍数关系的应用题，叫做年龄问题。
年龄问题的三个基本特征：
①两个人的年龄差是不变的；
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；
③两个人的年龄的倍数是发生变化的；
二、植树问题
不封闭型（直线）植树问题
两端都植树
一端植树
两端都不植树
棵数
段数＋1=全长 株距＋1
全长 株距
段数－1=全长 株距－1
全长
株距×（棵数－1）
株距×棵数
株距×（棵数＋1）
株距
全长 （棵数－1）
全长 棵数
全长 （棵数＋1）
封闭型图形：点=面
三、锯木问题
段数＝次数＋1；
次数＝段数－1
总时间＝每次时间×次数
四、方阵问题
横的排叫做行，竖的排叫做列，如果行数和列数都相等，则正好排成一个正方形， 就是所谓的“方阵”。
方阵的基本特点是：
① 方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同．每向里一层，每边上的人数就少2，
每层总数就少8．
② 每边人（或物）数和每层总数的关系：
每层总数每边人（或物）数×4； 每边人（或物）数=每层总数÷4－1．
③ 实心方阵：总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数．
五、鸡兔同笼
基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；
基本思路：
①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：
②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；
③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；
④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：
①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）
②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）
六、抽屉原理
抽屉原则；如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
例：把10个物体放在4个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：
①4=4+0+0 ②4=3+1+0
③4=2+2+0 ④4=2+1+1
ù真题训练ù
1、小惠今年6岁，爸爸今年年龄是她的5倍，______年后，爸爸年龄是小惠的3倍．
2、鸡与兔共有60只，鸡的脚数比兔的脚数多30只，则鸡有______只，兔有______只．
3、兄弟三人分24个苹果，每人所得个数等于其三年前的年龄数．如果老三把所得苹果数的一半平分给老大和老二，然后老二再把现有苹果数的一半平分给老大和老三，最后老大再把现有苹果数的一半平分给老二和老三，这时每人苹果数恰好相等，求现在兄弟三人的年龄各是多少岁？
4、小明和爸爸现在年龄的和是34岁，3年后爸爸比小明大24岁。今年小明和爸爸各多少岁？
5、小刚4年前的年龄与小明7年后的年龄之和是39岁,小刚5年后的年龄等于小明3前的年龄,求小刚、小明今年的年龄是多少?
6、哥哥5年前的年龄等于7年后弟弟的年龄,哥哥4年后的年龄与弟弟3年前的年龄和是35岁,求兄弟二人今年的年龄?
7、10年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍,15年后父亲的年龄是他儿子的2倍,问今年父子二人各多少岁?
8、今年小刚的年龄是明明年龄的5倍,25年后, 小刚的年龄比明明的年龄的2倍少16岁,今年小刚、明明各多少岁?
综合问题
一、综合行程
相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程
追及问题：追及时间＝路程差÷速度差
流水问题：顺水行程=（船速+水速）×顺水时间
逆水行程=（船速-水速）×逆水时间
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2
水 速=（顺水速度-逆水速度）÷2
二、浓度与配比 经验总结：在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。
溶质：溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质。
溶剂：溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂。
溶液：溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液。
基本公式：溶液重量=溶质重量+溶剂重量；
溶质重量=溶液重量×浓度；
浓度= ×100%= ×100%
理论部分小练习：试推出溶质、溶液、溶剂三者的其它公式。
经验总结：在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。
三、经济问题
利润的百分数=（卖价-成本）÷成本×100%；
卖价=成本×（1+利润的百分数）；
成本=卖价÷（1+利润的百分数）；
商品的定价按照期望的利润来确定；
定价=成本×（1+期望利润的百分数）；
本金：储蓄的金额；
利率：利息和本金的比；
利息=本金×利率×期数；
ù真题训练ù
1、河水是流动的，在Q点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从P到Q，然后穿过湖到R，共用3小时．若他由R到Q再到P，共需６小时．如果湖水也是流动的，速度等于河水的速度，那么从P到Q再到R需5/2小时．问在这样的条件下，从R到Q再到P需几小时?
2、一个容器里装有10升纯酒精,倒出1升后,用水加满,再倒出1升,用水加满,再倒出1升,用水加满,这时容器内的酒精溶液的浓度是?
3、有若干千克4%的盐水,蒸发了一些水分后变成了10%的盐水,在加300克4%的盐水,混合后变成6.4%的盐水,问最初的盐水是多少千克?
4、浓度为70％的酒精溶液500克与浓度为50％的酒精溶液300克，混合后所得到的酒精溶液的浓度是多少？
用方程解应用题
用方程运算：
方程的两要素：
1、 未知数
2、 等式
以下哪个不是方程：
A、x=0 B、x-x=0
答案是B不是方程，因为 x-x=0 等于0=0其实是没有未知数的。
ù真题训练ù
1、商场出售一批运动鞋，每双售价60元。卖出3/8时，商场收回全部成本后，还赢利160元，剩下的运动鞋以每双降价1/10全部售出，又赢利4860元。这批运动鞋的成本是多少元？
2、有3堆围棋子，每堆60枚。第一堆的黑子和第二堆的白子同样多，第三堆有1/3白子。这三堆棋子一共有白子多少枚？
3、艾西教育两个班同学开展植树活动。当1班种了总数的1/4的时候，发现2班已多种了4棵，这时剩下的棵数与已种的棵数的比是7:8。这批树苗共多少棵？
4、某文具店买进一批钢笔，然后按希望获得的利润每根加价40%定价出售。按这种定价卖出这批钢笔的90%时，为加快资金周转，商店以定价的七折出售，把剩下钢笔全部卖出，这样所得利润比原希望获得的利润少15%。按规定，不论按什么价格出售，卖完这批钢笔必须上缴营业税300元，商店买进这批钢笔用了多少元？
5、生产一批农具，开始按计划完成全部任务的2/3，后来每天工作时间比计划时间减少1/4。而效率提高1/9，结果前后共用了32天，若按计划完成任务需要多少天？
6、甲乙2人完成零件加工任务，两人合作20天可以完成，现在先由甲单独做18天，再由乙单独做15天，这时剩下任务地20%，并且甲比乙少做200个。这批零件有多少个？
7、某次大会安排代表住宿，若每间2人，则有12人没有床位；若每间3人，则多出2个空床位．问宿舍共有几间？代表共有几人？
计算与简算
0.16＋4÷（ － ） 1.7＋3.98＋5 4.8×3.9＋6.1×4
2X＋3×0.9=24.7 0.3 ：x=17 ：51
逻辑思维与规律
一、单独的数位变化
1、加数相同
起始数－递增数＋递增数×位数
实验一下 已知第四的位数是14了。
我们用刚才的法则的运算下
起始数5—递增数3 +递增数3 X位数4
5-3+3x4=14
所以第N的位数就是5-3+3xN= 2+3N
如果是递减呢？
看下下面这组数8，6，4，2， 0，-2…..
起始数—递减数 + 递减数 × 位数
递减数要用负数表示
实验一下 已知第6的位数是—2了。
我们用刚才的法则的运算下
起始数8—递减数（—2）+递.减数（—2） X位数6
8—（—2）+（—2）x6=—2
例：第一行：3 = 4—1
第二行：5 = 9—4
第三行：7= 16—9
第四行：9= 25—16
……………………………..
求第N行的表示数
找规律。看下等号前面的数，根据上面提到的方法，第N位数就是
起始数3—递增数2 +递增数2X位数N
1+2N，那等号后面呢
我们把他们分解
3=4—1=（3+1）—1
5=9—4=（5+4）—4
7=16—9=（7+9）—9
9= 25—16=（9+16）—16
括号里面的3，5，7，9等的数我们可以表示为1+2N，那其他剩下的数呢？
其实他们更加有规律了。看下1=1x1，4=2x2，
9=3x3，16=4x4，后面不用算就知道是5x5了。因为第一位数是1。那么N的位当然就是NxN了。
所以第N的位数的表示就是：1+2N=（1+2N）+NxN—NxN（应该有个大括号，打不起）
2、加数不同
偶数=2n 奇数=2n-1
（尾数＋起始数）×（尾数－起始数）＋递增数
2×递增数
①1＋2＋3＋4＋5=（1＋5）÷（5÷2）=1.5
②4＋6＋8＋10…＋20=（20＋4）× （20＋4）＋（6－4）
2×（6－4）
=108
例：① 1、2、4、7、11、16求第8位及N
第一位：1
第二位：1+1=2
第三位：1+1+2=4
第四位：1+1+2+3=11
…………………………………
第八位：1+1+2+3+…＋7=29
二、简单组合
1、排序
例：有5个人排队，有几种不同排发
5×4×3×2×1=120（种）
2、对数
例：APPLE从A到C，经过B，如果从A到B有6条路，B到C有4条路，问一共有几种不同走法
6×4=24（种）
3、组合——位置不变
4+3+2+1=10
ù真题训练ù
4、一个四位数，它的第一个数字等于这个数中数字0的个数，第二个数字表示这个数中数字1的个数，第三个数字表示这个数中数字2的个数，第四个数字等于这个数中数字3的个数，求出这个四位数．
初中衔接——三视图
1、找出立体图形完全图形时需要的个数。先看主视图如果是一个完全图形是几个，再看俯视图的横排数。
主食图完全图形个数×俯视图的横排数=立体图形完全图形时需要的个数
2、在主视图上（完全图形）上填上俯视图的横排数，缺少几个就减去相应的数字。
3、看附视图的全视图。主视图纵列剩余的数量依次对应的俯视图纵列，缺少几个就减去相应的数字。
4、看左视图的全视图。主视图横排剩余的数量依次对应左视图的横排。附视图纵列剩余的数量对应左视图的纵列。
填两遍，数值大的舍去。减去缺少个体上相应的数字。
5、立体图形完全图形时需要的个数—主视图、俯视图、左视图缺少的数字即可
6、验算：最后左视图剩余格子里的数字和=立体图形完全图形时需要的个数—主视图、俯视图、左视图缺少的数字
（备注：看图顺序为 ——主视图——俯视图——左视图）
例：观察下图，看组成此图形需要的小正方体的数量。
答案：
