第一讲 一般复合应用题
1、王伯伯家买了4筐苹果，李叔叔家买了5筐苹果，和小芳家三家平均分。小芳的爸爸拿出54元钱给王伯伯和李叔叔。他们两人各应收回多少钱？
（4＋5）÷3=3筐 54÷3=18元 王：18×（4－1）=54元 李：54－18=36元
2、山泉农场要完成1500公亩的播种任务，原计划用4部播种机，每天每部播种25公亩。为了加快速度，增加了2部同样的播种机，这样，能够比原计划提前几天完成任务？
1500÷（4×25）=15天 1500÷[（4＋2）×25]=10天 15－10=5天
3、某厂要加工一批机器零件，原打算30人每天工作9小时，40天完成。后来因为工作需要，抽走了5人，还要提前4天完成任务。他们每天要工作几小时？
30×9×40÷[（30－5）×（40－4）]=12时
4、金山小学乘7辆同样的汽车外出参观，前5辆车每辆都有14人没有座位，后2辆车一共空一个座位。如果再增加2辆汽车，却要空出31个座位。这次外出参观的师生共有多少人？
（5×14－1＋31）÷2=50人 50×（7＋2）－31=419人
5、张老师买了2千克苹果和3千克梨共用2.5元。王老师买苹果的千克数是张老师的2倍，买梨的千克数是张老师的3倍，比张老师多用3.4元。1千克苹果和1千克梨的价钱各是多少元？
梨：（3.4－2.5）÷3=0.3元 苹果：（2.5－0.3×3）÷2=0.8元
6、有甲、乙、丙、丁四个数，这四个数的和是162。如果甲数加上2，乙数减去2，丙数乘以2，丁数除以2，则四个数相等。求甲、乙、丙、丁四个数原来各是多少？
162÷（1＋1＋0.5＋2）=36 甲：36－2=34 乙：36＋2=38 丙：36÷2=18 丁：36×2=72
7、100名少先队员选大队长，候选人是甲、乙、丙三人，选举时每人只能投票选举一人，得票最多的人当选（得票数并列第一选举无效）。唱票过程中累计，前61张选票中，甲得35票，乙得10票，丙得16票。问：在尚未统计的选票中，甲至少再得多少票才能保证一定当选？
35－16=19票 100－61=39票 （39－19）÷2＋1=11票
8、有一筐苹果和一筐梨，如果每天吃掉一个苹果两个梨，梨吃完时还剩三个苹果；如果每天吃掉两个苹果三个梨，苹果吃完时还剩五个梨。你知道苹果有多少个？梨有多少个？
苹果：（5＋2×3）÷（2－3/2）=22个 梨：22÷2×3＋5=38个
9、甲、乙两个杯子里各有512克水，小明第一次将甲杯中的水的一半倒入乙杯中，第二次将乙杯中水的三分之一倒入甲杯中，第三次将甲杯中水的四分之一倒入乙杯中……如此进行下去，当他倒完第15次后，这时甲杯中有多少克水？
512×（1－1/16）=480克
10、小花狗非常顽皮，看见楼梯就上。当它上到楼梯的正中一级台阶时打一个滚，滚下2级台阶；它又上5级台阶，高兴地一跳又跳下2级台阶；它又往上爬4级台阶，这时离最高一层还有3级台阶。你算一算，这楼梯一共有几级台阶？
（3＋4－2＋5－2）×2＋1=17级
11、有一堆棋子，把它4等分，每堆有棋子A枚，还剩1枚；把A枚棋子再4等分，每堆有棋子B枚，还剩1枚；把B枚棋子再4等分，每堆有棋子C枚，还剩1枚。原来这堆棋子最少有多少枚？
[（1×4＋1）×4＋1]×4＋1=85枚
12、自行车的前轮轮胎行驶5000千米后报废，后轮轮胎行驶3000千米后报废。现有一对轮胎，可在适当的时候交换前后位置。问一辆自行车同时安装上这对轮胎，最多可以行驶多少千米？
2÷（1/5000＋1/3000）=3750千米
13、足球是用黑、白两种颜色的皮缝制而成的。黑皮是正五边形，白皮是正六边形，其中黑皮有12块，白皮有几块？
12×5÷3=20块
14、莎莎的储蓄罐里有26枚硬币，壹分、贰分和伍分硬币都有。她先把其中的贰分硬币全部等值地换成伍分硬币，然后又把壹分硬币也全部等值地换成伍分硬币，这样硬币总数变为11枚。问：莎莎的储蓄罐里原有伍分、贰分和壹分硬币各多少枚？
26－11=15枚 2分换5分少5－2=3枚 1分换5分少5－1=4枚 15=3×1＋4×3
2分：5枚 1分：3×5=15枚 5分：26－5－15=6枚
15、李阿姨到邻居家当钟点工，星期一到星期五每天工作2小时，每天工资10元；星期六工作1小时，工资5元；星期天休息，没有工资。她从7月下旬的某一天开始工作，24天后就辞去了这份工作（辞职这天她没有为邻居家干活），邻居家按事先的约定付给她工资190元。已知7月1日是星期天，那么李阿姨辞去工作的那天是8月几号？
5×10＋5=55元 190÷55=3周……25元 10＋10＋5=25元。所以李阿姨周四开始工作
1＋3×7＋4=26日 7月26周四 3×7＋4－（31－25）=19日 辞去工作的那天是8月19号
16、玛丽、麦克、海伦结伴乘飞机去旅行，三人各自带了若干行李，这些行李一共重100千克，需要随飞机托运。按照规定，每位旅客托运的行李在规定重量以下，享受免费搬运;超过规定重量以外的部分，按所超出的重量另收搬运费。玛丽、麦克、海伦三人所带的行李都超过了规定免费的重量，这样，他们分别应付托运费22元、14元、12元。如果玛丽的全部行李分给麦克和海伦携带，那么麦克、海伦分别应付托运费38元、34元。问：（1）按规定每位旅客可享受免费托运的行李重多少千克？（2）超重的行李每千克应付托运费多少元？
22＋14＋12=48元 38＋34=72元 72－48=24元 24＋24×3=120元 120÷100=1.2元 24÷1.2=20千克
17、某城市收取电费的标准是：若每月用电量不超过50千瓦时，则每千瓦时收电费5角；若每月用电量超过50千瓦时，则超出部分按每千瓦时8角收费。6月份，张家比李家多交电费3元3角，这个月张家、李家各用了多少千瓦时电？（用电量以整数为单位）
33角=5角×5＋8角×1 李家:50－5=45千瓦时 张家:50＋1=51千瓦时
第二讲 和差、和倍问题
1、某校六年级一班有学生49人，其中男生比女生多5人，这个班男、女生各多少人？
（49－5）÷2=22人 22＋5=27人
2、把325分成两个数，使两数的和是两数差的5倍，两数各是多少？
325÷5=65 （65＋5）÷2=195 325－195=130
3、少先队员种柳树和杨树共148棵，柳树的棵数比杨树棵数的2倍多4棵。求两种树各种了多少棵？
（148－4）÷（1＋2）=48 148－48=100
4、甲、乙两数的和是32，甲数的3倍与乙数的5倍的和是122。求甲乙两数各是多少？
（122－32×3）÷（5－3）=13 32－13=19
5、甲、乙两打字员合打一份稿件，按分工，平均每人每小时打14页，3小时即可打完。当两人打完稿件时，乙发现甲比自己多打了12页。甲、乙两打字员打这份稿件时各打字多少页？
（14×2×3－12）÷2=36 36＋12=48
6、甲站有汽车192辆，乙站有汽车48辆。每天从甲站开往乙站的汽车是21辆，从乙站开往甲站的是24辆。经过几天后，甲站的汽车辆数是乙站的7倍？
（192＋48）÷（1＋7）=30 （48－30）÷（24－21）=6
7、有甲、乙、丙三袋化肥。甲、乙两袋共重32千克，乙、丙两袋共重30千克，甲、丙两袋共重22千克。甲、乙、丙三袋各重多少千克？
（32＋30＋22）÷2=42 42－30=12 42－22=20 42－32=10
8、六年级有四个班，不算甲班，其余三个班的总人数是131人，不算丁班，其余三个班的总人数是134人，乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，四个班的总人数是多少人？
（131＋134－1）÷3×2＋1=177
9、甲、乙两数的和是15.2，如果甲数减少3.1，乙数增加2.1，那么这时甲数还比乙数的2倍多1。甲、乙两数原来各是多少？
（15.2－3.1＋2.1－1）÷（1＋2）=4.4 4.4－2.1=2.3 15.2－2.3=12.9
10、两个数相除，商3余10，被除数、除数、商及余数的和是143，求被除数是多少？
（143―3―10―10）÷（3＋1）=30 30×3＋10=100
11、甲、乙、丙三数的和是100，甲数除以乙数，或丙、乙两数的和除以甲数，结果都是商5余1，问：乙数是多少？
（100－1）÷（1＋5）=16.5 （16.5－1）÷5=3.1
12、四年级有学生76人，其中13名女生与男生的一半参加数学竞赛。剩下的男女生人数相等。这个年级的男生比女生多多少人？
（76－13）÷（1＋2）－13=8
13、师徒两人合做一批零件，徒弟做了6小时，师傅做了8小时，一共做了312个零件。徒弟5小时的工作量等于师傅2小时的工作量，师徒每小时各做多少个零件？
312÷（8÷2×5＋6）=12 12×5÷2=30
14、有两根绳子，长的是短的2倍，现在把每根绳子都剪掉6分米，那么长的一根就是短的一根3倍。问：这两根绳子原来的长各是多少分米？
6÷（3－2）＋6=12 12×2=24
15、果园里苹果树的棵数是桃树棵数的3倍，管理人员每天能给25棵苹果树和15棵桃树喷撒农药。几天后，当给桃树喷完农药时，苹果树还有140棵没有喷农药。果园里两种树共有多少棵？
140÷（15×3－25）=7 15×7×（1＋3）=420
16、某商店库存花布是白布的2倍，如果每天卖30米白布和40米花布，几天后，白布完全卖完，而花布还剩120米。原来库存花布多少米？
120÷（30×2－40）=6 6×40＋120=360
17、甲、乙两同学绕一周长400米的跑道行走，他们同时从同一起点反向行走，经过2.5分钟相遇；如果他们同时从同一起点同向行走，经过12.5分钟甲能追上乙。甲、乙两人每分钟各走几米？
400÷2.5=160 400÷12.5=32 （160－32）÷2=64 64＋32=96
18、如下图，有两个一样大小的长方形，拼合成两种大长方形。大长方形（A）的周长是240厘米，大长方形（B）的周长是258厘米，求原长方形的长与宽各为多少厘米？
（240＋258）÷6=83 （240－83×2）÷2=37 83－37=46
19、李叔叔要在下午3点钟上班，他估计快到上班时间了，到屋里看钟，可是钟早在12点10分就停了。他开足发条却忘了拨指针，匆匆离家，到工厂一看钟，离上班时间还有10分钟。夜里11点下班，李叔叔马上离厂回到家里，一看钟才9点整。假定李叔叔上班和下班在路上用的时间相同，那么他家的钟停了多少时间（上发条所用时间忽略不计）？
21：00－12：10=8时50分 8时50分－（11－3）时－10分=40分 40÷2=20分
14：50－20分－12：10=2时20分
20、一笔奖金分一、二、三等奖，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的2倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的2倍。如果评一、二、三等奖各两人，那么每个一等奖奖金是308元。如果评一个一等奖、2个二等奖和3个三等奖，那么一等奖的奖金多少元？
308×2×（1＋1/2＋1/2×1/2）=1078 1078÷（1＋1/2×2＋1/2×1/2×3）=392
21、甲在南北的路上，由南向北行进，乙在东西的路上，由西向东行进。甲出发的地点在两条路交叉南1120米，乙在交叉点出发。两人同时开始行进，4分后，甲、乙两人所在位置与交叉点等远（这时甲仍在交叉点南）；再经过52分后，两人所在位置又距交叉点等远（这时甲已在交叉点北）。甲、乙二人每分各行多少米？
1120÷4=280 1120÷（4＋52）=20 （280－20）÷2=130 130＋20=150
第三讲 差倍、年龄问题
1、一个数的小数点向左移动一位，比原数小0.72，原数是多少？
0.72÷(10－1)×10=0.8
2、甲数减去878，就等于乙数，如果甲数加上1142，就等于乙数的5倍。甲、乙两数各是多少？
(878＋1142)÷(5－1)=505 505＋878=1383
3、把数字5写到一个三位数的左边，再把得到的四位数加上400，它们的和是这个三位数的55倍，这个三位数是多少？
(5000＋400)÷(55－1)=100
4、甲、乙两筐苹果，甲筐比乙筐多19千克，从甲筐取出多少千克放入乙筐，就可以使乙筐中苹果数反而比甲筐多3千克？
(19+3)÷2=11
5、有大、中、小三筐苹果，小筐装的是中筐的一半，中筐比大筐少装16千克，大筐装的是小筐的4倍。大、中、小三筐共有苹果多少千克？
16÷(4－2)=8 8×2=16 8×4=32
6、有两袋大米，第二袋比第一袋多40千克，如果从第二袋中取出5千克倒入第一袋，这时第二袋大米的重量正好是第一袋的3倍。原来两袋大米的重量各是多少千克？
(40－5×2)÷(3－1)=15 15－5=10 10＋40=50
7、有甲、乙两桶油，若从甲桶倒入乙桶15千克，则两桶油重量相等；若从乙桶倒入甲桶48千克，则甲桶油是乙桶油的4倍。甲桶原有油多少千克？
(15×2＋48×2)÷(4－1)=42 42×4－48=120
8、甲在银行存款4000元，乙在银行存款2000元。两人从银行中取出同样多的钱后，甲的存款是乙存款的5倍。两人各取出多少元？
2000―(4000―2000)÷(5－1)=1500
9、两筐重量相等的苹果，甲筐卖出了7千克，乙筐卖出19千克后，甲筐余下的千克数是乙筐的3倍。两筐原来各有苹果多少千克？
(19－7)÷(3－1)＋19=25
我的学生又告诉我一个方法：（19×3－7）÷2=25
10、甲数是乙数的4倍，如果甲数增加20，乙数增加70，则甲数是乙数的2倍。甲、乙两数各是多少？
（20＋50×2）÷（4－2）=60 60×4=240
11、有甲、乙两个仓库，甲仓储存的大米等于乙仓的4倍。如果从甲仓运600袋到乙仓，则乙仓的大米等于甲仓的4倍。甲、乙两个仓库原来各有大米多少袋？
600÷3=200 200×4=800
12、甲、乙、丙三只筐，筐内装球数不等，三只甲筐装的球与四只乙筐装的球相等，两只乙筐装的球刚好等于一个丙，甲筐比丙筐少装60个，乙筐装球多少个？
60÷（2－4/3）=90
13、A、B、C三条公路，B公路的长度是A公路的2倍，C公路比B公路的3倍还多15千米，A公路比C公路短230千米，三条公路各长多少千米？
（230－15）÷（2×3－1）=43 43×2=86 43＋230=273
14、父亲的年龄是儿子的5倍，15年后，父亲的年龄是儿子的2倍。父子年龄各是多少？
15÷（5－2）=5 5×5=25 怎么这么年轻就当爸爸了？
15、姐姐年龄比妹妹年龄的3倍多1岁，但妹妹5年后的年龄比姐姐3年前的年龄大1岁。求姐妹年龄各是多少岁？
（5＋3―1―1）÷（3－1）=3 3×3＋1=10
16、父亲的年龄是50岁，女儿的年龄是16岁，几年后父亲的年龄正好是女儿的3倍？
（50－16）÷（3―1）―16=1
17、学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚3岁；当你像我这么大时，我已经39岁。”那么，这位老师今年多少岁？
39－（39－3）÷3=27
18、小红全家人的年龄加在一起，刚好是90岁。小红的爸爸比妈妈大3岁，小红比妹妹大5岁。但是，8年前，他们全家人的年龄和刚好是60岁。想一想，小红家四人今年各是几岁？
90－60－3×8=6 6＋5=11 （90―6―11―3）÷2=35 35＋3=38
19、有老师和甲、乙、丙三个学生，现在老师年龄恰为三个学生年龄之和，9年后老师年龄为甲、乙两学生年龄之和；又3年后，老师年龄为甲、丙两学生年龄之和；再3年后，则为乙、丙两学生年龄之和。求现在各人的年龄？
20、梁老师问陈老师有多少个子女。陈老师说：“现在我和妻子的年龄和是子女年龄和的6倍；两年前，我们的年龄和是子女年龄和的10倍；6年后，我们的年龄和是子女年龄和的3倍。”陈老师有多少个子女？
分析与解答：
假设陈老师有x个子女，我们用文字等式来表达题目中的等量关系由“我和我爱人的年龄之和是我们子女年龄和的6倍”可得：陈老师和他爱人年龄之和=子女年龄和的6倍……(1)
由“2年前，我们的年龄和是子女年龄和的10倍”可得：陈老师和他爱人年龄之和-4岁=10′（子女年龄和-2′x）……(2)
由“6年后，我们的年龄和是子女年龄和的3倍”可得 陈老师和他爱人年龄之和+12岁=3′（子女年龄和+6′x）……(3)
把(1) 分别代入到(2)和(3)中去，得
6′子女年龄和-4岁=10′（子女年龄和-2′x）…….(4) 6′子女年龄和+12岁=3′（子女年龄和+6′x）…….(5)
把(4)和(5)整理一下，把一样的项都挪到一边去 20′x-4岁=4′子女年龄和……(6) 18′x=3′子女年龄和+12岁…….(7)
把(6) 两边都都除以4，(7)两边都除以3，得
5′x-1岁=子女年龄和……(8) 6′x=子女年龄和+4岁………(9)
用(9)减去(8)，得x=3 所以陈老师有3个子女。
现在是6的倍数，-4是10的倍数，+12是3的倍数
84 80 96
14 8 32
6年后，子女增加了18岁，所以是3个
补充内容:
1. 今年父亲的年龄是儿子的5倍，15年后，父亲的年龄是儿子年龄的2倍，问：现在父子的年龄各是多少岁？
解答：今年父子的年龄差是儿子的5-1=4倍，15年后父子的年龄差是儿子的2-1=1倍，这说明在过了15年后，儿子的年龄是现在的四倍，根据差倍问题的公式可以计算出儿子今年的年龄是15÷（4-1）=5岁，父亲今年是5×5=25岁.
2. 有老师和甲乙丙三个学生，现在老师的年龄刚好是三个学生的年龄和；9年后，老师年龄为甲、乙两个学生的年龄和；又3年后，老师年龄为甲、丙两个学生的年龄和；再3年后，老师年龄为乙、丙两个学生的年龄和。求现在各人的年龄。
解答：老师=甲+乙+丙，老师+9=甲+9+乙+9，比较一下这两个条件，很快得到丙的年龄是9岁；同理可以得到乙是9+3=12岁，甲是9+3+3=15岁，老师是9+12+15=36岁.
3. 全家4口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁。四年前他们全家的年龄和为58岁，而现在是73岁。问：现在各人的年龄是多少？
解答：73-58=15≠4×4，我们知道四个人四年应该增长了4×4=16岁，但实际上只增长了15岁，为什么呢？是因为在4年前，弟弟还没有出生，那么弟弟今年应该是几岁呢？我们可以这样想：父亲、母亲、姐姐三个人4年增长了12岁，15-12=3，3就是弟弟的年龄！那么很快能得到姐姐是3+2=5岁，父母今年的年龄和是73-3-5=65岁，根据和差问题，就可以得到父亲是（65+3）÷2=34岁，母亲是65-34=31岁.
4. 哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在的年龄和为30岁。问：哥哥现在多少岁？
解答：假设弟弟当年年龄是1份，那么哥哥现在的年龄就是3份，因为哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，因为弟弟当年年龄，弟弟现在年龄（=哥哥当年年龄），哥哥现在年龄这三个数是等差的，所以弟弟现在年龄（=哥哥当年年龄）就刚好是2份，那么兄弟现在的年龄和是3+2=5份，一份就是30÷5=6，哥哥现在是6×3=18岁.
5. 今年是1996年。父母的年龄和是78岁，兄弟的年龄和是17岁。四年后，父的年龄是弟的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍。那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时是公元哪一年？
解答：四年后，父母的年龄和是78+8=86岁，兄弟的年龄和是17+8=25岁，父=弟×4，母=兄×3，那么父+母=弟×4+兄×3=3×（弟+兄）+弟，即86=3×25+弟，所以弟是11岁，兄是25-11=14岁，父是11×4=44岁，母是14×3=42岁（以上都是4年后的年龄，即公元2000年），很显然再过1年后父亲45岁，兄是15岁，父亲是哥哥年龄的3倍，所以答案就是公元2001年.
6. 甲、乙、丙三人现在岁数的和是113岁，当甲的岁数是乙的岁数的一半时，丙是38岁，当乙的岁数是丙的岁数的一半时，甲是17岁，那么乙现在是多少岁？
解答：假设当甲的岁数是乙的岁数的一半时，甲是a岁，乙就是2×a岁，丙38岁；当甲17岁的时候，注意到甲乙的年龄差不变，都是a，所以乙是17+a岁，那么丙是乙的2倍，就是2×（17+a），再根据甲丙的年龄差可以得到：38-a=2×（17+a）-17，由此可以得到a是等于7的，所以在某一年，甲7岁，乙14岁，丙38岁，和是7+14+38=59岁，（113-59）÷3=18，再过18年后，三人年龄和是113岁，所以乙今年的年龄是14+18=32岁.
7. 今年，祖父的年龄是小明的年龄的6倍。几年后，祖父的年龄将是小明年龄的5倍。又过几年以后，祖父的年龄将是小明年龄的4倍。求：祖父今年是多少岁？
解答：观察年龄差：今年的年龄差是小明年龄的5倍；几年后的年龄差是小明当时年龄的4倍；又过几年以后的年龄差是小明年龄的3倍，所以年龄差是5，4，3的倍数，很快就能得到年龄差应该是60（当然不可能是120，180等等），今年小明的年龄是：60÷（6-1）=12岁，那么祖父就是12+60=72岁.
第四讲 盈亏问题
1、幼儿园把一箱苹果分给一批小朋友，如果每人2个，则多18个，如果每人3个，则少12个。问幼儿园有多少个小朋友？一共有多少个苹果？
（18＋12）÷（3－2）=30 2×30＋18=78
2、一堆桃子分给一群猴子，如果每只猴子分10个桃子，则有两只猴子没有分到；如果每只猴子分8个桃子，则刚好分完。求有多少只猴子？多少个桃子？
10×2÷（10－8）=10 10×8=80
3、实验小学学生乘车春游，如果每车坐60人，则有15人上不了车；如果每车坐65人，恰好多出一辆车。问一共有几辆车？有多少个学生？
（15＋65）÷（65－60）=16 60×16＋15=975
4、学生分练习本，如果每人分4本，则多8本；如果有1人分10本，其余每人分6本，则缺18本。学生有多少人？练习本有多少本？
[18―（10―6）＋8] ÷（6－4）=11 11×4＋8=52
5、小强从家到学校，如果每分走50米，上课就要迟到3分；如果每分走60米，就可以比上课时间提前2分到校。小强家到学校的路程是多少千米？
（3×50＋2×60）÷（60－50）=27 （27＋3）×50=1500米=1.5千米
6、张华离家到县城去上学，他以每分50米的速度走了2分后，发现按这个速度走下去就要迟到8分。于是他加快了速度，每分多走10米，结果到校时，离上课还有5分。张华家到学校的路程是多少？
[8×50＋5×（50＋10）]÷10=70 （70＋2＋8）×50=4000米
7、一组学生植树，每人栽6棵还剩4棵；如果其中3人各栽5棵，其余每人各栽7棵，正好栽完。这一组学生有多少人？一共栽多少棵？
[4＋（7－5）×3]÷（7－6）=10 10×6＋4=64
8、小红的爷爷买回一筐梨，分给全家人。如果小红和小妹两人每人分4个，其余每人分两个，还多出4个；如果小红一人分6个，其余每人分4个，又差12个。小红家有多少人？这筐梨有多少个？
（4＋2×2＋12－2）÷（4－2）=9 4×2＋2×（9－2）＋4=26
9、学校有一批树苗，交给若干少先队员去栽，一次一次往下分，每次分一棵，最后剩下12棵不够分了；如果再拿来8棵树苗，那么每个少先队员正好栽10棵。参加栽树的少先队员有多少人？原有树苗多少棵？
12＋8=20 10×20－8=192
10、有一批正方形的砖，排成一个大正方形，余下32块；如果将它们改排成每边比原来多一块砖的正方形，就要差49块。这批砖原有多少块？
（32＋49－1）÷2=40 40×40＋32=1632
11、某年级同学春游时租船游湖，若每只船乘10人，还多2个座位；若每只船多坐2人，可少租一条船，这时每人可节省5角钱。租一只船需要多少钱？
（10＋2－2）÷2=5 5×10－2=48 48×0.5=24
12、小李到市场去买肉，如果买牛肉18千克，则差4元；如果买猪肉20千克，则多2元。已知牛肉比猪肉每千克贵8角。牛肉、猪肉各多少钱一千克？
（0.8×18―4―2）÷（20－18）=4.2 4.2＋0.8=5
13、学校买来一批篮球与排球分给各班，排球是篮球的2倍，若篮球每班分2个，多4个；若排球每班分5个，少2个。学校有几个班？篮球与排球各买了几个？
（4×2＋2）÷（5－2×2）=10 5×10－2=48 48÷2=24
14、用绳子量井深，把绳三折来量，井外余4米，把绳折四折量，井外余1米。求绳长和井深。
整数解法：
把绳三折来量,井外每折余4米,所以井外共余4×３＝１２（米）；把绳四折来量，井外每折余１米，所以井外共余１×４＝４（米）．为什么把绳三折来量井外余１２米，而四折来量余４米呢？这是因为在井内多了４－３＝１（折）的缘故，故井外余绳的差（１２－４）８米就是井内１折的长，也就是井深８米．
列式为：（4×３－１×４）÷（４－３）＝８（米）．．．．．．井深
（８＋４）×３＝３６（米）．．．．．．绳长
分数解法：
把绳三折来量,井外余4米,就是指绳长的1/3比井深多4米；把绳四折来量，井外余１米，就是指绳长的1/4比井深多1米；综合上面两句话，说明绳长的1/3比绳长的1/4多（4-1）3米。
列式为：（4－1）÷（1/3－1/4）＝36（米）......绳长
36×（1/3）－4＝8（米）......井深
答：井深８米，绳长３６米．
方程解法:
解:设井深x米.
3(4+x)=4(1+x)
x=8
绳长: (8+4)*3=36(米)
答: 井深8米,绳长36米.
15、用一根绳绕树五周还余1/6米，若用绳的1/3绕树一周还余5/6米．求绳长和树的周长．
（5/6×3－1/6）÷（5－3）=7/6 7/6×5＋1/6=6
（5/6－1/6÷5）÷（1/3－1/5）=6 6×1/3－5/6=7/6
第五讲 鸡兔同笼问题
1、鸡兔同笼，共有头100个，足316只，求鸡兔各有多少只？
兔:316÷2－100=58 鸡:100－58=42
2、小明花4元钱买贺年卡和明信片，共14张，贺年卡每张3角5分，明信片每张2角5分。问：买了几张贺年卡，几张明信片？
3角5分:（4－0.25×14）÷(0.35－0.25)=5 2角5分:14－5=9
3、鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚92只。鸡兔各几只？
(100－92÷2)=4 鸡:(100－4×4)÷(2＋4)=14 兔:14＋4=18
4、100个馒头100个和尚吃，大和尚每人吃3个，小和尚每3人吃一个。大、小和尚各有多少人？
大和尚:100÷(3＋1)=25 小和尚:25×3=75
5、30枚硬币，由2分和5分组成，共值9角9分。两种硬币各多少枚？
5分:（99－2×30）÷(5－2)=13 2分:30－13=17
6、有2角、5角和1元的人民币20张，共计12元，三种票子各多少张？
2角的是5的倍数。
2角5张。20－5=15张 12－0.2×5=11元
5角:(1×15－11)÷(1－0.5)=8 1元:15－8=7
7、班主任老师带五年级二班50名学生去栽树，张老师一人栽5棵，男生一人栽3棵，女生一人栽两棵，总共栽树120棵。有几名男生？几名女生？
120－5=115 女生:(50×3－115)÷(3－2)=35 男生:50－35=15
8、100名师生绿化校园，老师每人栽3棵树，学生每两人栽1棵树，总共栽树100棵，求老师和学生各栽树多少棵？
(2×100－100)÷(3－1/2)=80名 学生:80÷2=40棵 老师: 100－40=60棵
9、80本语文书和100本数学书总价相等。已知每本语文书比每本数学书贵5分，语文书和数学书的单价各是多少？
数学书:0.05×80÷(100－80)=0.2 语文书:0.2＋0.05=0.25
反比例方法: 语文书和数学书的单价比是: 100:80=5:4 5÷(5－4)×5=25分 25－5=20分
10、搬运100只玻璃瓶，规定搬一只得搬运费3分，但打破一只要赔5分。运完后共得运费2.60元，搬运中打破了几只玻璃瓶？
(3×100－260)÷(3＋5)=5
11、一个运输队包运10000只瓶子，每100只可得运费1元5角，如损坏一只不但不给运费，还要赔偿2角。这个队共得运费146元5角6分，损坏了几只瓶子？
1.5÷100=0.015 (10000×0.015－146.56)÷(0.015＋0.2)=16
12、某小学举行一次数学竞赛，共15道题，每做对一题得8分，每做错一题倒扣4分，小明共得72分，他做对了多少道题？
15－(8×15－72)÷(8＋4)=11
13、清风小学三名同学去参加数学竞赛，共10道题，答对一题得10分，答错一题扣3分。这3名同学都回答了所有的题。成绩分别是87分、74分和9分。他们一共答对了多少题？
10×3－[10×10×3－(87＋74＋9)]÷(10＋3)=20
14、鸡、兔同笼，兔比鸡少15只，脚数共有282只，问：鸡、兔 各几只？
兔:(282－15×2)÷(2＋4)=42 鸡:42＋15=57
15、鸡、兔同笼，兔比鸡多15只，脚数共有228只，问：鸡、兔各几只？
鸡:(228－15×4)÷(2＋4)=28 兔:28＋15=43
16、一只螃蟹有10只脚；一只蜻蜓有6只脚，两对翅膀；一只螳螂有6只脚，一对翅膀。现有螃蟹、晴蜓、螳螂共37只，合计有脚250只，翅膀52对。求螃蟹、晴蜓、螳螂各有多少只？
螃蟹:(250－37×6)÷(10－6)=7 37－7=30
蜻蜓:(52－30×1)÷(2－1)=22 螳螂:30－22=8
17、由甲、乙两个工程队修一段长2136米的公路，先由甲队以每天30米的速度修了若干天，然后再由乙队接着修，每天修42米，两队共用60天修完这段路。问：两队各修了多少天？
甲:(42×60－2136)÷(42－30)=32 乙:60－32=28
18、买单价为2元、3元、5元的图片65张，共花去240元，已知单价5元的图片张数是2元张数的2倍，三种图片各买了多少张？
(2＋5×2)÷(1＋2)=4元 3元: (65×4－240)÷(4－3)=20
2元:(65－20) ÷(1＋2)=15 5元:15×2=30
19、公猴、母猴和小猴共38只，每天共摘桃子266个，已知一只公猴每天摘桃10个，一只母猴每天摘桃8个，一只小猴每天摘桃5个，又知公猴比母猴少4只，问：小猴有几只？
(10＋8)÷2=9个 38＋4=42只 266＋4×10=306只
小猴:(9×42－306)÷(9－5)=18 公猴:(38－18－4)÷2=8 母猴:8＋4=12
20、传说九头鸟有九头一尾，九尾鸟有九尾一头．现有头580个，有尾900条，问两种鸟各有多少只？
本题答案请看这里:假设法之"九头鸟与九尾鸟"
第六讲 容斥原理
1、某艺术团的小演奏家们每人都至少会演奏小提琴和钢琴中的一种。他们中有32人会拉小提琴，27人会弹钢琴，小提琴和钢琴都能演奏的有11人。这个团共有多少个小演奏家？
32＋27－11=48
2、一个班有学生42人，参加体育队的有30人，参加文艺队的有25人，并且全班每人至少参加一个队。问：这个班两队都参加的有多少人？
30＋25－42=13
3、京华小学五年级学生采集标本。采集昆虫标本的有25人，采集植物标本的有19人，两种标本都采集的有8人。全班学生共有40人，没有采集标本的有多少人？
19＋25－8=36 40－36=4
4、有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂日语，有75人懂英语，83人懂日语。既懂英语又懂日语的有多少人？
100－10=90 75＋83－90=68
5、一个工厂有一批工人，每人至少会一门技术。其中会开车床的有235人，会开铣床的有218人，会开刨床的有207人。既会开车床又会开铣床的有112人，既会开车床又会开刨床的有71人，既会开铣床又会开刨床的有63人，三种都会的有19人。这个工厂一共有多少人？
235＋218＋207－112－71－63＋19=433
6、外语学校有英语、法语和日语教师共27人。其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英语和日语的有5人，能教法语和日语的有3人，能教英语和法语的有4人，能教英语、法语和日语的只有2人。只能教法语的教师有多少人？
8＋6＋（5－2）＋（4－2）＋（3－2）＋2=22 27－22=5
7、某校五年级有学生54人，每人至少爱好一种球。其中爱好乒乓球的有40人，爱好足球的有20人，爱好排球的有30人，既爱好乒乓球又爱好排球的有18人，既爱好足球又爱好乒乓球的有14人，既爱好足球又爱好排球的有12人。这三种球都爱好的有多少人？
54－（40＋20＋30－18－14－12）=8
8、如图，在一个边长为90厘米的正方形桌面上，放上两张边长分别为20厘米和45厘米的正方形纸。问：桌面上没有被纸片盖住的面积是多少？
90×90=8100 20×20＋45×45=2425
（20－5）×（20－10）=150 2425－150=2275
8100－2275=5825
9、如图，边长是2厘米、4厘米、5厘米的三个正方形叠放在桌面上，它们所覆盖的面积是多少？
5×5＋4×4＋2×2=45
2×2＋1×2＋1×2=8
1×1=1
45－8＋1=38
10、如图，在桌面上放置三个两两重叠，形状相同的圆形纸片，它们的面积都是24平方厘米。三张纸片共同重叠的面积是9平方厘米，三张纸片盖住的总面积是37平方厘米。求三个阴影部分面积的和是多少？
24×3＋9－37-9×3=17
第七讲 植树问题
1、（1）小新把贝壳放在桌上，每5厘米放一颗，到20厘米处，可以放几颗？
20÷5＋1=5
（2）小新把7颗贝壳放在桌上，每两颗之间距离是5厘米，从第一颗到第七颗的距离是多少厘米？
（7－1）×5=30
（3）小新在桌上等距离地摆了8颗贝壳，已知第1颗到第8颗的距离为56厘米，求每两颗之间的距离是多少？
56÷（8－1）=8
2、一个鱼塘周围长1800米，沿塘边每隔6米栽一棵杨树，需种几棵杨树？
1800÷6=300
3、一条走廊长21米，从走廊的一端每隔3米放一盆花。走廊的两边一共需要几盆花？
（21÷3＋1）×2=16
4、学校两座教学楼之间的距离是40米，如果每隔5米种1棵树，共可以种多少棵树？
40÷5－1=7
5、在一条长为48米的马路一旁栽树，如果每4米栽一棵，一共可以栽几棵？如果一共要栽9棵，那么每两棵之间应相隔多少米？
48÷4＋1=13 48÷（9－1）=6
6、一根木料长20米，把它锯成5米长的一段，如果每锯一次需要3分钟，一共需多少分钟？
（20÷5－1）×3=9
7、一幢六层楼房，每层楼有14级楼梯，小明从底楼走到六楼，共走了多少级楼梯？
（6－1）×14=70
8、从1楼走到4楼共要走36级台阶，如果每上一层楼的台阶数都相同，那么从1楼到6楼共要走多少级台阶？
36÷（4－1）=12 （6－1）×12=60
9、时钟6点钟敲6下，10秒钟敲完，敲8下需要多少秒？
10÷（6－1）=2 （8－1）×2=14
10、科学家进行一项实验，每隔5小时做一次记录，做第12次记录时，挂钟时针指向9。问：第一次记录时，时针指向几？
（12－1）×5=55 55÷12=4……7 9－7=2
11、一个木工锯一个长13米的木条。他先把一头损坏部分锯下1米，然后锯了5次，锯成许多一样长的短木条。求每根短木条长多少米？
（13－1）÷（5＋1）=2
12、校门口摆一排菊花，一共9盆。再在每两盆菊花中间摆3盆桂花。共摆了几盆桂花？
（9－1）×3=24
13、一个老人在公路上散步，从第一根电线杆走到第12根用了11分，这个老人走了24分，走到第几根电线杆？
11÷（12－1）=1 1×24＋1=25
14、一个圆形花圃周围长30米，沿周围每隔3米插一面红旗，每两面红旗中间插一面黄旗，花圃周围各插了多少面红旗和黄旗？
30÷3=10
15、A、B两人比赛爬楼梯，A跑到4层楼时，B恰好跑到3层楼，照这样计算，A跑到16层楼时，B跑到几层楼？
（4－1）÷（3－1）=1.5 （16－1）÷1.5＋1=11
16、大人上楼的速度比小孩快1倍，小孩从1楼到3楼需要3分钟，那么，大人从1楼到5楼要多少分钟？
3÷（3－1）÷2×（5－1）=3
17、某工地从一条直道的一端到另一端，每隔4米打了一个木桩，一共打了37个木桩。 现在要改成6米打一个木桩，那么，可以不拔出来的木桩共有多少个？
（37－1）×4÷12＋1=13
18、有一根长180厘米的绳子，从一端开始每3厘米作一记号，每4厘米也作一记号，然后将有记号的地方剪断，绳子共被剪成了几段？
180÷3－1=59 180÷4－1=44 180÷12－1=14 59＋44－14＋1=90
19、在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时，自右至左每隔5厘米染上一个红点，然后，沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是4厘米的木棍有几根？
100÷30=3……10 3×2＋1=7
第八讲 方阵问题
1、要在一个正方形池塘边栽树，每边栽5棵树，请问四边最少要栽多少棵树？（四个角上各种了1棵）
（５－１）×４＝16
2、在一块正方形地四周种树，每边都种了15棵，并且四个顶点都种有一棵树。问这个场地四周共种树多少棵？
（１５－１）×４＝５６
3、某校五年级学生排成一个实心方阵，最外一层的人数为60人，问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有学生多少人？
６０÷４＋１＝１６ １６×１６＝２５６
4、小明用围棋子摆一个方阵，这个方阵的横、竖各一列的棋子之和为21枚。他摆这个方阵共用了多少枚棋子？
（２１＋１）÷２＝１１ １１×１１＝１２１
5、小军用棋子排成一个四层空心方阵。最外面一层每边有棋子12枚，小军摆这个方阵共用了多少枚棋子？
（１２－４）×４×４＝１２８
6、国庆前夕在街中心一塑像的周围，用204盆鲜花围成了一个每边三层的方阵。最外层每边有鲜花多少盆？
２０４÷４÷３＋３＝２０
7、一个内外有四层而中间空的方阵队列，最里面一层队列有24人。那么这个队列共有多少人？
２４＋（２４＋８）＋（２４＋１６）＋（２４＋２４）＝１４４
8、有一队学生，排列成一个中空方阵，最外层人数共48人，最内层人数共24人，这队学生共有多少人？
２４＋（２４＋８）＋（２４＋１６）＋（２４＋２４）＝１４４
9、劳山林场原计划每边种24棵树，形成一个空心的树方阵。现在要留出中间地方打一口井，如果增加24棵树，栽成一个5层中空方阵，那么最外层和最内层各需栽树多少棵？
答案看这里:一道奥数题引发的争论
10、用棋子摆成方阵，恰好每边是16枚的实心方阵，若改为4层的空心方阵，它的最外层每边应放多少枚？
１６×１６÷４÷４＋４＝２０
11、有风景树若干棵，若排成三层的中空方阵，尚余9棵，在中空部分增列一层，则缺7棵。这种树有多少棵？
（９＋７）÷４＋１＝５ （５－１＋３）×４×４－７＝１０５
12、有若干人，排成一个空心的四层方阵。现在调整阵形，把最外一层每边人数减少16人，层数可由原来的四层变成8层。共有多少人？
解决中...
13、同学们排成团体操，排成一个方阵，中间的实心方阵是女同学，外面三层是男同学，最外圈两层又是女同学，已知方阵中男同学是108人，女同学是多少人？
１０８÷４÷３＋３＝１２ １２＋２＋２＝１６ １６×１６－１０８＝１４８
14、在第五届运动会上，红星小学组成了一个大型方块队，方块队最外边每边30人，共有10层，中间5层的位置由20个同学抬着这次运动会的会徽，这个方块队共由多少个同学组成？
（３０－５）×５×４＋２０＝５２０
15、一队士兵排成一个空心长方形，每边4层，最外层的长边站28人，宽边站20人，这队士兵共多少人？
２８×４×２＋（２０－８）×２＝２４８
16、在边长25米的正方形水池边铺正方形水泥块，这种水泥块边长为50厘米。如果紧靠水池边铺三层水泥块（水泥块紧靠在一起），组成一个空心的大正方形，共要用多少块水泥块？
（２５００÷５０－３）×３×４＝５６４
第九讲 平均数问题
1、在一次登山比赛中，小刚上山时每分走40米，18分到达山顶。然后按原路下山，每分走60米。小刚上、下山平均每分走多少米？
40×18÷60=12分 40×18×2÷（18＋12）=48米
2、某班有40名学生，期中数学考试，有两名同学因故缺考，这时班级平均分为89分，缺考的同学补考各得99分，这个班期中考试平均分是多少分？
（99―89）×2÷40＋89=89.5
3、有八个数字排成一列，它们的平均数是9.3。已知前五个数的平均数是10.5，后四个数的平均数是11.3。问：第五个数是多少？
10.5×5＋11.3×4－9.3×8=23.3
4、王新同学期末考试成绩如下：语文和数学平均成绩是94分；数学和外语平均成绩是88分；语文和外语平均成绩是86分。王新语文、数学、外语各得多少分？
94＋88＋86=268 268－88×2=92 268－86×2=96 268－94×2=80
5、芳芳上学期期末考试成绩：语文87分，数学96分，地理93分，思想品德94分，外语考试成绩比五科平均成绩低2分，求外语成绩及五科平均成绩。
(87＋96＋93＋94)÷4=92.5 92.5－2÷4－2=90
6、某班统计数学考试成绩，得平均成绩85.13分。事后复查，发现将张小云的成绩87分误作78分计算。经重新计算后，该班的平均成绩是85.31分。这个班有多少学生？
(87－78)÷(85.31－85.13)=50
7、数学考试的满分是100分，六位同学的平均分数是91分，这六个人的分数各不相同，其中有一位同学仅得65分。那么，居第三位的同学至少得了多少分？
91×6―65―100―99=282 282÷3＋1=94
8、小华爬山，上山的速度是每小时2千米，到达山顶后立即下山，下山的速度是每小时6千米。小华上、下山的平均速度是多少千米？
1×2÷(1÷2＋1÷6)=3
9、六（1）班42名同学进行毕业合影留念。拍6寸合影照片可附送两张照片，费用为5.2元。如果需加印，每张加收0.71元。现在每人各得一张照片，平均每人需付多少元？
[5.2＋0.71×(42－2)]÷42=0.8 (5.2－0.71×2)]÷42＋0.71=0.8
10、甲、乙、丙三个乡各出相等的钱购买若干辆相同的汽车，买好后，由于丙乡需要量少，结果丙乡比甲、乙两乡各少要15辆。因此，甲、乙两乡各偿还给丙乡9万元。问：每辆汽车的价格是多少元？
9÷(15―15×2÷3)=1.8
11、用1、8、8、4四张数字卡片可以组成若干个不同的四位数，所有这些四位数的平均值是多少？
(3×1111＋3×4444＋6×8888)÷12=5832.75
有更好的方法吗？
12、有几位同学一起计算他们语文考试的平均分。赵峰的得分如果再提高13分，他们的平均分就达到90分；如果赵峰的得分降低5分，他们的平均分只有87分。那么这些同学共有多少人？
(13＋5)÷(90－87)=6
13、用6元1千克的甲级糖，3.5元1千克的乙级糖，3元1千克的丙级糖，混合成为每千克4元的什锦糖。如果甲级糖1千克，丙级糖1千克，应放入乙级糖多少千克？
[6―4―(4―3)]÷(4―3.5)=2
14、老师在黑板上写了13个自然数，让小明计算平均数（保留两位小数），小明计算出的答案是12.43。老师说最后一位数字错了，其他的数字都对。正确的答案应是多少？
12.4×13=161.2 12.5×13=162.5 162÷13≈12.46
15、有两组数，第一组数的平均数是12.8，第二组数的平均数是10.2，而这两组数总的平均数是12.02，那么第一组数的个数和第二组数个数的比值是多少？
(12.02－10.2)÷(12.8－12.02)=7/3
16、某班在一次数学考试中，平均成绩是78分，男、女生各自的平均成绩是75.5分和81分。这个班男生人数是女生人数的几倍？
(81－78)÷(78－75.5)=1.2
17、会场里有两个座位和四个座位的长椅若干把。某年级学生（不足70人）来开会，一部分学生一人坐一把两座长椅，其余的人三人坐一把四座长椅。结果平均每个学生坐1.35个座位。问：有多少个学生来开会？
(2－1.35)÷(1.35－4/3)=39 39＋1=40
18、五位裁判员给一名体操运动员评分后，去掉一个最高分和一个最低分，平均得9.58分；只去掉一个最高分，平均得9.46分；只去掉一个最低分，平均得9.66分。这个运动员的最高分与最低分相差多少分？
（9.58－9.46）×3=0.36 （9.66－9.58）×3=0.24 9.66－9.46＋0.36＋0.24=0.8
19、六个人围成一圈，每人心里想一个数，并把这个数告诉左右两个相邻的两个人。然后每个人把左右两个相邻人告诉自己的数的平均数亮出来。问亮出来数11的人原来心中想的数是多少？
2×9－2×4=10 10×2=20 （20＋10）÷2=15
20、一次象棋比赛共有10名选手参加，他们分别来自甲、乙、丙三个队。每个人都与其余九名选手各赛一盘，每盘棋的胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分。结果，甲队选手平均得4.5分，乙队选手平均得3.6分，丙队选手平均得9分。那么，甲、乙、丙三队参赛选手的人数各是多少人？
总分：45分 平均分：45÷10=4.5分 丙1人
乙：（9－4.5）÷(4.5－3.6)=5人 甲： 10―1―5=4人
21、某次数学竞赛原定一等奖10人，二等奖20人，现将一等奖中最后4人调整为二等奖，这样得二等奖的学生的平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了3分。那么，原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分？
22、奥林匹克业余体校篮球班的同学进行一次投篮测试，每人投10次，按每人的进球数统计，得到下表（中间部分数据已被擦去）。已知至少投进3个球的人平均每人投进6个球，进球少于8个的人平均每人投进3个球。篮球班参加测试的同学有多少人？
进球数 | 0 | 1 | 2 | … | 8 | 9 | 10 |
人数 | 7 | 5 | 4 | … | 3 | 4 | 1 |
6（x―7―5―4）＋1×5＋2×4=3(x―3―4―1)＋8×3＋9×4＋10×1
X=43
第十讲 行程问题（一）
1、东西两地长217.5千米，甲车以每小时25千米的速度从东地到西地；1.5小时后，乙车从西地出发到东地，再过3小时两车还相距15千米。乙车每小时行多少千米？
（217.5－25×1.5－15）÷3－25=30
2、甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向开出，甲车每小时行6千米，乙车每小时行8千米，两车在离中点32千米处相遇。求A、B两地间的距离是多少千米？
32÷[8/（6+8）－1/2]
3、甲、乙两辆旅游车同时从A、B两地出发，相向而行，4小时相遇。相遇后甲车继续行驶了3小时到达B地，乙车每小时行24千米。问：A、B两地相距多少千米？
24×（1＋4/3）×4=224
4、两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑，甲每分跑250米，乙每分跑200米，两人同时同地同向出发，经过45分甲追上乙，如果两人同时同地反向出发，经过多少分两人相遇？
（250－200）×45÷（250＋200）=5
5、两名运动员在湖的周围环形跑道上练习长跑。甲每分比乙多跑50米。如果两人同时同地同向出发，则经过45分甲追上乙。如果两人同时同地反向出发，则经过5分可以相遇。求甲乙两人的速度。
50×45÷5=450 （450＋50）÷2=250 250―50=200
6、甲、乙两人以每分60米的速度同时、同地、同向步行出发，走15分后，甲返回原地取东西，而乙继续前进。甲取东西用去5分时间，然后改骑自行车以每分360米的速度去追乙，骑车多少分才能追上乙？
（15＋15＋5）×60÷（360－60）=7
7、一艘轮船在河流的两个码头间航行，顺流需要6小时，逆流需要8小时，水流速度每小时为2.5千米。求轮船在静水中的速度是多少？
V顺：V逆=8：6=4：3 2.5×2÷（1－3/4）－2.5=17.5
8、某人步行的速度为每秒2米，一列火车从后面开来，超过他用了10秒。已知火车长90米。求火车的速度？
90÷10＋2=11
9、一列火车通过440米的桥需要40秒，以同样的速度穿过310米的隧道需要30秒。这列火车的速度和车身长各是多少？
（440－310）÷（40－30）=13 13×40－440=80
10、一列货车共50节，每节车身长30米，两节车间隔长1.5米，这列货车平均每分钟前进1000米，要穿过1426.5米山洞，需要多少分钟？
[（30＋1.5）×50－1.5＋1426.5]÷1000=3
11、一列火车长640米，从路旁的一棵大树旁通过，需40秒。如果以同样的速度通过一座长800米的大桥，需要多少秒？
（640＋800）÷（640÷40）=90
12、有两列火车，一列长102米，每秒行20米，一列长120米，每秒行17米。两列火车同向而行，从第一列车追上第二列车到两车离开需要几秒？
（102＋120）÷（20－17）=74
13、甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为每小时60千米和48千米。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。
48×7=336 卡速：60×6－336=24 （336－24）÷8=39
14、快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人。这三辆车分别用6分、10分、12分追上骑车人。现知道快车每小时行24千米，中车每小时行20千米。慢车每小时行多少千米？
（20×10/60－24×6/60）÷（10/60－6/60）=14 （24－14）×6/60=1 1÷12/60＋14=19
15、A、B两地相距21千米，上午8时甲、乙分别从A、B两地出发，相向而行。甲到达B地后立即返回，乙到达A地后立即返回，上午11时他们第二次相遇。此时，甲走的路程比乙走的路程多9千米。甲每小时走多少千米？
（21×3＋9）÷2=36 36÷（11－8）=12
16、上午8时8分，小明骑自行车从家里出发。8分后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立即回家。到家后又立刻回头去追小明。再追上他的时候，离家恰是8千米。这时是几时几分？
速度比 12：4=3：1 8÷（3－1）×3×2=24 8＋24=32 8时32分
17、两辆汽车同时从A、B两城相向而行，在离A城52千米处相遇，到达对方城市后立即以原速返回，又在离A城44千米处相遇。两城相距多少千米？
（52×3＋44）÷2=100
18、甲、乙两地相距１００千米，一辆汽车和一台拖拉机都从甲地开往乙地，汽车出发时，拖拉机已开出１５千米；当汽车到达乙地时，拖拉机距乙地还有１０千米。那么，汽车是在距乙地多少千米处追上拖拉机的？
V汽：V拖 =100：（100―15―10）=4：3 15÷（4－3）×4=60
19、当甲在60米赛跑中冲过终点线时，比乙领先10米，比丙领先20米。如果乙和丙按原来的速度继续冲向终点，那么当乙到达终点时将比丙领先多少米？
V甲：V乙：V丙 =60：（60―10）：（60―20）=6：5：4 60×（1－4/5）=12
20、两辆汽车同时从A、B两站相对开出，在B侧距中点20千米处两车相遇。继续以原速前进，到达对方出发站后又立即返回。两车再在距A站160千米处第二次相遇。求A、B两站距离？
（160＋20×2＋20）×2=440
21、兄弟骑车旅游，弟弟先出发，速度是每分200米，5分后，哥哥带一只狗出发，以每分250米的速度去追弟弟。而狗则以每分300米的速度向弟弟跑去，追上弟弟后立即返回，遇到哥哥后又立即向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟后为止。这时狗跑了多少千米？
200×5÷（250－200）×300=6000米=6千米
第十一讲 行程问题（二）
1、如右图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向而行，他们在C点第一次相遇，C离A有80米；在D点第二次相遇， D点离B点有60米，求这个圆的周长。
（80×3－60）×2=360
2、在一圆形跑道上，小明从A点，小强从B点同时出发反向行走6分，小明与小强相遇，再过4分，小明到达B点，又再过8分，又与小强再次相遇。小明环形一周要多少分？
速度比 小张:小明=4:6=2:3 速度和:1/(4＋8)=1/12
小明环形一周时间: 1÷[1/12×3/(2＋3)]=20分
3、A、B、C三人在一个圆形池塘的周围散步。三人从同一地点同时出发，A与B按顺时针方向行走，而C是按逆时针方向行走。A每分钟走80米，B每分钟走65米。C在出发后20分钟先遇到A，再过2分钟时C又遇到了B。求这个圆形池塘的周长是多少米？
[20×80－(20＋2)×65]÷2=85米 (80＋85)×20=3300米
4、如图，AC两地相距2千米，CB两地相距5千米。甲、乙两人同时从C地出发，甲向B地走，到达B地后立即返回；乙向A地走，到达A地后立即返回。如果甲速是乙速的1.5倍，那么在乙到达D地时，还未能与甲相遇，他们还相距0.5千米，这时甲距C地多少千米？
[(2＋5)×2―0.5]÷(1＋1.5)=5.4
5.4―2×2＋0.5=1.9
5、自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼，已知男孩每分走20级，女孩每分走15级，结果男孩用了5分到达楼上，女孩用了6分到达楼上。问：该扶梯露在外面的部分共有多少级？
(20×5－15×6)÷(6－5)=10 (20＋10)×5=150
6、亮亮沿公共汽车路线行走，他注意到，每隔10分钟就有一辆公共汽车迎面向他开来，每隔15分钟就有一辆公共汽车由后面追上他。如果公共汽车和亮亮的速度都不变，车站发车间隔时间相同，那么车站每隔几分钟发出一辆公共汽车？
1÷[(1/10＋1/15)÷2]=12
7、一条大河上有A、B两个码头，A在B的上游50千米处，客船、货船分别从A、B两码头同时出发向上游行驶，两船的静水速度相同且始终保持不变。客船出发时有一物品从船上落入水中漂浮，10分钟后，此物品距离客船5千米，客船在行驶20千米后折回向下游追赶此物，追上时恰好与货船相遇，求水流的速度？
V船: 5÷10=0.5
两船相遇时间: 50÷(0.5＋0.5)=50 在这个时间里,物品与货船走的路程和:50×0.5=25
开始时物品漂的路程:50―20―25=5
就是客船行驶20千米, 物品漂5千米,时间是(20＋5)÷0.5=50
水流的速度:5÷50=0.1
寻求更好的解法
8、如右图，两只小爬虫甲和乙从A点出发，沿长方形ABCD的边，按箭头方向爬行，在离C点32厘米的E点，它们第一次相遇；在离D点16厘米的F点第二次相遇；在离A点16厘米的G点第三次相遇。求长方形的边AB长多少厘米？AD边长多少厘米？
甲走的路程分别是
AB＋AD－32 AB＋16 AD＋32
三次走的路程应该是相等的,求出AB=64 AD=48
9、一个圆周长70厘米，甲、乙两只爬虫从同一点同时出发同向爬行，甲以每秒4厘米的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在离开出发点30厘米处与甲相遇。问：爬虫乙原来的速度是多少？
总时间： （70－30）÷4=10秒
乙按乙原来的速度爬行的总路程： （15＋30）÷2＋15=37.5米
乙原来的速度是： 37.5÷10=3.75米
10、一个圆的周长为1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行。这两只蚂蚁每秒分别爬行5.5厘米和3.5厘米。它们每爬行1秒，3秒，5秒……（连续的奇数），就调头爬行。那么，它们相遇时已经爬行的时间是多少秒？
126÷2÷（5.5＋3.5）=7秒
1－3＋5－7＋9－11＋13=7 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13=49秒
11、一支摩托车小分队奉命把一份重要的文件送到距小分队驻地300千米以外的指挥部。每辆摩托车装满油最多能行驶300千米，途中无加油站。为保证顺利完成任务，队长想出一个巧妙的方法：用三辆摩托车执行此项任务，恰好有辆摩托车可以把文件送到指挥部，另外两辆安全返回驻地（三辆摩托车所带的油全部用完）。指挥部距小分队驻地多少千米？
我的学生做出来的！
驻地A----60km-------A 给B和C加满油后等待
驻地B----60km-------满----100km-------B
给C加满油后，回去与A会合，A再次给B加满后一起回驻地
驻地C----60km-------满----100km-------满------300 km ------C
驻地到指挥部距离=60＋100＋300=460 km
讨论：对于此类问题有没有规律性的解法？
12、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，6小时后在C地相遇；如果甲速不变，乙车每小时多行5千米，则相遇点距C地12千米；如果乙速不变，甲车每小时多行5千米，则相遇点距C地16千米，甲车原来每小时行多少千米？
（12＋16）÷5=5.6时 12÷（6－5.6）=30千米
13、唐老鸭与米老鼠进行10000米赛跑，米老鼠的速度是每分钟125米，唐老鸭的速度是每分钟行100米。唐老鸭手中掌握着一种迫使米老鼠倒退的电子遥控器，通过这种遥控器发出第n次指令，米老鼠就以原速度的n×10%倒退1分钟，然后再按原来的速度继续前进，如果唐老鸭想在比赛中获胜，那么它通过遥控器发出指令的次数至少是多少次？
解：唐老鸭跑完1万米需要100分钟。设唐老鸭在100分钟内共发出n次迫使米老鼠倒退的指令，则在100分钟内米老鼠有n分钟的时间在倒退，有（100-n）分钟的时间在前进，依题意有
125×（100-n）-125×（0.1＋0.1×2＋0.1×3＋…＋0.1×n）＜10000，整理得
n（n＋21）＞400。
当 n=12时， n＋21=33，12×33=396＜400。
当 n=13时，n＋21=34，12×34=442＞400。
所以n至少等于13，即遥控器发出指令的次数至少是13次。
14、三个人从A地到B，两地相距36千米，三个人只有一辆自行车，这辆车只能坐两人，自行车的速度比步行速度快两倍。他们三人决定：第一个人和第二个人同乘自行车，第三个人步行。这三个人同时出发，当骑车的二人到达某点C时，骑车人放下第二个人，立即沿原路返回去接第三个人，到某处D与第三个人相遇，两人同乘自行车前往B；第二个人在C处下车后继续步行前往B地。结果三个人同时到达B地。那么C距A处多少千米？D距A多少千米？
36÷4=9 36－9=27
不知道对不对
15、一辆奥迪轿车和一辆桑塔纳轿车分别从A、B两地出发，相向而行，奥迪车每分行1400米。如果两车同时出发，则恰好在途中的加油站相遇；如果桑塔纳轿车先出发了1分钟，则两车在距加油站600米处相遇；如果奥迪轿车先出发1分钟，则两车在距加油站多少米的地方相遇？
600
这里有本题目的参考答案:并非巧合(转)
第十二讲 数的整除
1、下面各数中哪些能被4整除，哪些能被9整除，哪些能被11整除？说说理由。
4392 76438 445203 9064 64296 938124
被4整除：4392 9064 64296 938124
被9整除：4392 445203 64296 938124
被11整除：445203 9064 938124
2、四位数57A1能被9整除，求A。
A=5
3、五位数54□7□中的方框内填上哪些数字后能被15整除？
54270 54570 54870 54075 54375 54675 54975
4、有72名学生，共交杂志费□52.7□元，平均每人交了多少元？
252.72÷72=3.51
5、从0、3、5、7四个数字中任选三个，排成能同时被2、3、5整除的三位数。这样的三位数共有哪几个？
570 750
6、从2、3、7、5四个数中任选三个数，组成能同时被3和25整除的三位数，这样的三位数是多少？
375
7、在□处填入适当的数字，使四位数23□□能被12整除，并且没有重复数字。问□□处有多少种不同的填法？
2304 2316 2340 2364 2376
8、42□28□是99的倍数，这个数除以99的商是多少？
427284÷99=4316
9、100以内有哪些数是3个不同的质数的积？
2×3×5=30 2×3×7=42 2×3×11=66 2×3×13=78 2×5×7=70
10、如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？
90
11、在298后面填上一个三位数，使这个六位数能被476整除。
298000÷476=626……24 476－24=452 452＋476=928
12、一个六位数的各位数字都不相同，最左边一个数字是3，且此六位数能被11整除，这样的六位数中的最小的数是多少？
解 依题意，设所求的六位数为30124a，
因为六位数30124a能被11整除，
所以（a＋2）-（4+1+3）=a-6应是11的倍数.
故a=6.因此，所求的最小六位数是301246
13、仓库里存有10批货物，重量分别为：150，160，180，190，200，210，210，240，300，310（单位：吨）。两次共运走9批货物，并且第一次运走的总重量是第二次的一半。剩下的那一批货重多少吨？
第一批运走的货物看成1份,第二批运走的就是2份,则两次共运走3份.
货物的总重量是2150.
2150÷3=716…..2,
200÷3=66….2,
去掉200,剩下数的和正好是3的倍数.
14、商店有三种油漆，牌子和颜色都不同。红色的每桶1.5千克，黄色的每桶2千克，白色的每桶2.5千克。为了方便顾客，商店把这三种油漆改装成每桶0.5千克油漆的小桶。结果“天祥牌”装了280桶，“江海牌”装了255桶，“前进牌”装了292桶。请你算一算每种牌子的油漆各是什么颜色？
1.5÷0.5=3 “江海牌”装了255桶能被3整除
2÷0.5=4 “前进牌”装了292桶能被4整除
2.5÷0.5=5 “天祥牌”装了280桶能被5整除
15、一个两位质数，将它的十位数字与个位数字对调后仍是一个两位质数，我们称它为“无暇质数”，则所有“无暇质数”之和等于多少？
“无暇质数”分别是11，13，17，31，37，71，73，79，97，共计九个。
它们的和是11+13+17+31+37+71+73+79+97=429。
16、A、B、C、D都是不同的质数，A+B+C=D，那么A×B×C×D的最小值是多少？
3×5×11×19=3135
17、A、B、C为三个不同的质数，已知3A+2B+C=20，求A、B、C。
A=3 B=2 C=7
18、已知A、B、C、D是各不相同的数字，A+B+C=18，B+C+D=23，四位数BADC被5除余3，求四位数ABCD是多少？
四位数BADC被5除余3，C=3或8，因为B+C+D=23，所以C≠3。C=8，A＋B=10，B＋D=15，B（D）=6（9）
当B=6，D=9时，A=4，ABCD=4689；当B=9，D=6时，A=1，ABCD=1986
19、如果自然数p、2p＋１、４p＋1都是质数，那么8p＋1的值是多少？
P=3，8×3＋1=25
20、如果某自然数同时具有性质：⑴这个数与1的差是质数；⑵这个数除以2所得的商也是质数；⑶这个数除以9所得的余数是5。我们就称它为幸运数。在两位数中，最大的幸运数是多少？
根据条件3：两位数有95,86,77,68,59,50,41,32,23,14
根据条件1：必须是偶数86,68,50,32,14, （减去1后是85,67,49,31,7），排除86，50
根据条件2 ：一半须是质数，68÷2=34
32÷2=16 14÷2=7
所以只有14满足条件。
21、A是一个自然数，已知A与A＋1的各位数字之和都能被7整除。求A的最小值。
a与a+1的各位数字之和都是7的倍数。则a的个位数字一定是9。因为如果个位上不是9时，若a的各位数字之和是7的倍数，则a+1的各位数字之和除以7以后，肯定余1。
只有当a的个位上是9时，a+1之后，个位上满十后向前一位进一，a+1的个位数字和才有可能是7的倍数。
联想到69，69+1=70，经适当调整可得，符合条件的最小数a是69999。
第十三讲 分解质因数
1、有四个不同质因数的最小自然数是多少？
2×3×5×7=210
2、把232323的全部质因数的和表示为AB，那么A×B×AB的积是多少？
232323=3×7×13×23×37 3＋7＋13＋23＋37=83 8×3×83=1992
3、31÷（ ）=（ ）…… 7，要在算式的括号内填入适当的数，使等式成立，共有几种不同的填法？
31－7=24 24=2×2×2×3 2×2×2=8 2×2×3=12 3种
4、六（1）班同学买了310本本子，如果分给每个同学相同数量的本子后还余下37本，问：六（1）班有多少个同学？
310－37=273 273=3×7×13 39人
5、有四个小朋友，年龄逐个增加1岁，四人年龄的乘积是360，问：其中年龄最大的一个是几岁？
360=2×2×2×3×3×5=3×4×5×6
6、某个院子里共有5个小朋友，每个小朋友的年龄都小于13岁，他们年龄的乘积是18480，这5个小朋友中年龄最小的最少是几岁？
18480=2×2×2×2×3×5×7×11=4×6×10×7×11=8×6×5×7×11=2×12×10×7×11
这5个小朋友中年龄最小的最少是2岁
7、有三个学生，他们的年龄一个比一个大3岁，他们三人年龄数的乘积是1620，问这三个学生年龄各是多少岁？
1620=2×2×3×3×3 ×3×5=9×12×15
8、在右面的算式里，四个小纸片各盖住一个 数字，被盖住的四个数字之和是多少？
1992=2×2×2×3×83=24×83 2＋4＋8＋3=17
9、将14、33、35、30、75、39、143、169八个数平均分成两组，使这两组的乘积相等。
14=2×7 33=3×11 35=5×7 30=2×3×5 75=3×5×5 39=3×13 143=11×13 169=13×13
（14，75，33，169）（30，35，39，143）或者（14，75，39，143）（30，35，33，169）
10、把26、33、34、35、63、85、91和143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公因数是1，那么至少要分成几组？
26=2×13 33=3×11 34=2×17 35=5×7 63=3×3×7 85=5×17 91=7×13 143=11×13
（35，33，26 ） （63，143，85） （91，34） 至少要分成3组
11、一个数是五个2，三个3，两个5，一个7的连乘积，这个数当然有许多因数是两位数。这些两位数的因数中，最大的是几？
96
12、班主任老师带领一班同学去种树，学生恰好平均分成三组，如果老师与学生每人种树一样多，则共种了572棵。那么，这个班有学生多少人？平均每人种树多少棵？
572=2×2×11×13=4×143=（老师+3学生）×143棵 不可能
572=（老师+12学生）×44棵
572=（老师+21学生）×26棵
572=（老师+285学生）×2棵
572=（老师+51学生）×11棵 比较合理
13、已知3个连续偶数的连乘积是19□□□□8，求这三个偶数。
122×124×126=1906128
14、刘华是个老运动员，她曾荣获过一次全国女子跳高冠军，当年运动员号码她一直铭记在心。说来也巧，这个号码的百位数字比十位数字大1，十位数字比个位数字大1，号码数又正是当年年号各位数字的连乘积。你知道她的号码是多少？
432 1968年
15、“24”能写成三个连续自然数的乘积：24=2×3×4。但是18却不行。请找一个自然数，使得用它乘以18后，所得的积能写成三个连续自然数的乘积。
18=2×3×3 7×8×9=7×2×2×2×3×3 18×28=7×8×9
16、能否找到自然数a和b，使a2 =2002＋b2？
a2 －b2=（a ＋b ）×（a －b ）=2002=2×7×11×13 a和b要同时是奇数或者同时是偶数，所以找不到自然数a和b
17、设长方形的长和宽均为自然数，且面积的数量等于其周长的数量的2倍。满足这些条件的长方形有多少个？
a×b=4(a＋b) b－4=b×4÷a (b=5 a=20) (b=6 a=12) (b=8 a=8)
18、1×2×3×4×5×……×99×100的积的末尾有多少个连续的零？
100÷5=20 20÷5=4 20＋4=24
19、在乘积1000×999×998×……×3×2×1中，末尾连续有多少个零？
1000÷5=200 200÷5=40 40÷5=8 8÷5=1……3 200＋40＋8＋1=249
20、不计算，求48×925×38×435的积的末尾有几位是连续的零？
925=5×5×37 435=5×87 积的末尾有3位是连续的零
21、要使乘积195×86×72×380×□的末五位都是零，□中应填入的自然数最小值应是多少？
195=5×49 380=2×2×5×19 86=2×43 72=2×2×2×9 □=5×5×5=125
22、把若干个自然数1、2、3、……，乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？
估算50÷5=10 10÷5=2 10＋2=12 最后出现的自然数最小应该是55
23、已知A、B、C、D是四个互不相同的自然数，且A·B·C·D＝1988，求A＋B＋C＋D的最大值。
1988=2×2×7×71=1×2×7×142 1＋2＋7＋142=152
24、已知在乘积1×2×3……×N的尾部恰好有100个连续的“0”。其中N是最后一个乘数。N最小是多少？
估算400÷5=80 80÷5=16 16÷5=3……1 最后出现的自然数最小应该是405
第十四讲 求因数个数
1、72的全部因数有多少个？4500共有多少个因数？
72=23×32 72的全部因数有：（3＋1）×（2＋1）=12个
4500=22×32×53 4500的全部因数有：（2＋1）×（2＋1）×（3＋1）=36个
2、筐里共有96个苹果，如果不一次拿出，也不一个个地拿，要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少。共有多少种不同的拿法？
96=25×3 （5＋1）×（1＋1）－2=10
3、自然数9的因数有1、3、9三个，自然数16的因数有1、2、4、8、16五个，那么， 9×16的因数共有多少个？
3×5=15
4、已知自然数A只有两个因数，那么5A有多少个因数？
2×2=4
5、有八个不同因数的自然数中，最小的一个数是多少？
24
6、自然数A的所有因数两两求和，又得到若干个自然数，在这些自然数中，最小的是4，最大的是900，那么数A是多少？
最小的是：1＋3=4，最大的是：A＋A÷3=900 A=675
7、求不大于200的只有15个因数的所有自然数？
15=3×5 22×34 =324 （舍去） 32×24=144
8、在所有含九个因数的自然数中，最小的一个是多少？
9=3×3 22×32 =36
9、在100至300之间，只有三个因数的数是多少？
质数的平方数有三个因数：121，169，289
10、恰好有6个因数的两位数共有多少个？
6=6 25=32
6=2×3 2×32=18 2×52=50 2×72 =98
3×22=12 3×52 =75
5×22=20 5×32 =45
7×22=28 7×32 =63
11×22=44 11×32 =99
13×22 =52
17×22 =68
19×22 =76
23×22 =92
11、有一个小于2000的四位数，它恰有14个因数，其中有一个质数的末位数是1，求此四位数？
14=2×7 26×31=1984
12、求不大于100的只有八个因数的一切自然数的和是多少？
8=2×4 2×33=54 3×23=24 5×23=40 7×23=56 11×23=88
8=2×2×2 2×3×5=30 2×3×7=42 2×3×11=66 2×3×13=78 2×5×7=70
54＋24＋40＋56＋88＋30＋42＋66＋78＋70=548
13、144的全部因数之和是多少？360的全部因数之和是多少？
144=24×32 144的全部因数之和=（1＋2＋22＋23＋24）×（1＋3＋32）=403
360=23×32×5 360的全部因数之和是=（1＋2＋22＋23）×（1＋3＋32）×（1＋5）=1170
14、在12345678987654321的所有因数中，除去它本身外，因数最大是多少？
12345678987654321÷3=4115226329218107
15、右图中一共有多少个长方形（含正方形）？所有长方形（含正方形）的面积和是多少？（单位：厘米）
一共有（1＋2＋3）×（1＋2＋3）=36个长方形
所有长方形（含正方形）的面积和是：（1＋2＋3＋3＋5＋6）×（4＋5＋6＋9＋11＋15）=1000
16、写出三个小于20的自然数，它们的最大公因数是1，但两两均不互质，一共可以写出几组？
最小的质数是2，3，5 2×3=6，2×5=10，3×5=15 则6，10，15符合
若有质因数7，则最小是2，3，7，3×7>20，不合题意
17、A、B两数都只含有质因数3和5，它们的最大公因数是75，已知A数有12个因数，B数有10个因数，那么，A、B两数的和等于多少？
10=2×5 B只能是：3×54=1875
12=4×3 A=33×52=675 A＋B=2550
18、写出从360到630的自然数中有奇数个因数的数。
192=361 202=400 212=441 222=484 232=529 242=576 252=625
第十五讲 最大公因数和最小公倍数
1、甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公因数是4，求乙数。
168×4÷24=28
2、已知甲、乙两数的最大公因数是6，最小公倍数是36，求甲、乙两数。
36÷6=6 6=1×6 （1×6=6 6×6=36） 6=2×3 （2×6=12 3×6=18）
3、两个数最大公因数是12，最小公倍数是180，且大数不是小数的倍数，求这两个数。
180÷12=15 15=3×5 （3×12=36 5×12=60）
4、两个数的最大公因数是42，最小公倍数是2940，且两个数的和是714，这两个数各是多少？
2940÷42=70 714÷42=17 70=7×10 （7×42=294 10×42=420）
5、已知两个自然数的和为72，它们的最大公因数是12，求这两个数。
72÷12=6 6=1＋5 （1×12=12 5×12=60）
6、已知甲、乙两数的比为5∶3，并且它们的最大公因数与最小公倍数的和是1040。求甲、乙两数。
1040÷（5×3＋1）=65 （65×5=325 65×3=195）
7、把长20厘米，宽42厘米的长方形铁片剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形铁片，并且没有剩余，至少可剪多少块？
（20，42）=2 （20÷2）×（42÷2）=210
8、用长5厘米，宽3厘米的长方形铁片，摆成一个正方形（中间没有空隙），至少要有多少块这种长方形铁片？
[5，3]=15 （15÷5）×（15÷3）=15
9、排练团体操时，要求队伍变成10行、15行、18行、24行时，队形都能成为长方形，最少需要多少人参加团体操的排练？
[10，15，18，24]=360
10、用96朵红花和72朵白花做成花束，如果每束花里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，每束花里最少有多少朵花？
（96，72）=24 96÷24＋72÷24=7
14、某幼儿园借阅图书，如借35本，平均分给每个小朋友差1本；如借56本，平均分给每个小朋友后还剩2本；如借69本，平均分给每个小朋友则差3本。这个班的小朋友最多有多少人？
35＋1=36 56－2=54 69＋3=72 （36，54，72）=18
15、一些三位数能同时被2、5、7整除，这样的三位数按由小到大的顺序排成一行，中间的一个数是多少？
[2，5，7]=70 140，210，280，350，420，490，560，630，700，770，840，910，980
中间的一个数是560
16、在一条长96米的路两侧，计划每隔4米栽一棵树，画好“记号”后发现距离过近，改为每隔6米栽一棵树，还要重新做多少个“记号”？
[4，6]=12 （96÷12－1）×2=14
17、有一根180厘米长的绳子，从一端开始每隔3厘米做一个记号，每隔4厘米也做一个记号，然后沿有记号的地方剪断。绳子共被剪成了多少段？
180÷3－1=59 180÷4－1=44 180÷12－1=14 59＋44－14＋1=90
18、在一根长80厘米的绳子上，从左到右每隔5厘米染上一个红点，同时从右到左每隔4厘米染上一个红点，然后沿红点处将绳子逐段剪开。那么，长度是1厘米的短绳子有多少根？
[4，5]=20 80÷20=4 4×2=8
19、大雪后的一天，大亮和爸爸共同步测一个圆形花坛的周长，他俩的起点和走的方向完全相同。大亮每步长54厘米，爸爸每步 长72厘米。由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后雪地上只留下了60个脚印，求花坛的周长。
[54，72]=216 216÷54＋216÷72－1=6 60÷6×216=2160厘米
20、一台拖拉机，前轮小，后轮大，前轮的直径是44厘米，后轮的直径是82厘米。拖拉机开动的一刹那，前后轮的气门嘴都在轮子的正下方。这台拖拉机至少开出多远的路，前后轮的气门嘴又同时在轮子的正下方？
3.14×[44，82]=5664.56厘米
21、把一个时钟改装成一个玩具钟，使得时针每转一圈，分针转16圈，秒针转36圈。开始时3个针重合。问：在时针旋转一周的过程中，3个针重合了几次？（不计起始和终止的位置）
第十六讲 余数问题
1、已知整数N除以42余12，求N除以21的余数。
12
2、已知整数N除以42余12，求N除以7的余数。
12÷7=1……5
3、已知整数N除以42余12，求N+230的和除以42的余数。
242÷42=5……32
4、已知整数N除以42余12，求23N除以42的余数。
12×23=276 276÷42=6……24
5、已知整数N除以3余2，求N除以12的余数。
2，5，8，11
6、同时被3、5、7除余1的最小三位数是多少？
[3，5，7]+1=106
7、有一堆苹果，按10个装一袋，装到最后少一个；按8个装一袋，或按5个装一袋，总是少1个。这堆苹果至少有多少个？
[10，8，5]－1=39
8、把一些糖果平均分成若干包，如果每包10粒则余9粒，如果每包12粒则余11粒，如果每包15粒则余14粒。这些糖果最少有多少粒？
[10，12，15]－1=59
9、求被4除余1，被5除余2，被6除余3的最小自然数？
[4，5，6]－3=57
10、某数被3除余2，被5除余4，被7除余5，这个数最小是多少？
[3，5]－1=14 [3，5]×6-1=89
11、除以3余1，除以5余2，除以7余4的最小三位数是多少？
[5，7]－3=32 [5，7]×2－3=67
最小三位数是：67＋[3，5，7]=172
12一个整数除300、262、205都得到相同的余数，且余数不为0，问：这个整数是几？
300－262=38 262－205=57 （38，57）=19
13、若2836、4582、5164、6522四个整数都被同一个两位数相除，所得的余数相同。除数是多少？
6522－5164=1358 4582－2836=1746 （1358，1746）=2×97 除数是97
14、一个数去除50余1，去除60余4，去除80余3，这个数最大是多少？
（49，56，77）=7
15、有一个整数，除1200、1314、1048所得的余数都相同且大于5，问：这个相同的余数是多少？
1200－1048=152 1314－1200=114 1314－1048=266 （152，114，266）=38
1200÷38=31……22 1314÷38=34……22 1048÷38=34……22
1200÷19=63……3 1314÷19=69……3 1048÷38=55……3
16、号码分别为101、126、173和193的四个运动员进行乒乓球比赛，规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数。那么，打球盘数最多的运动员打了多少盘？
他们号码被3除分别余2、0、2、1 ，所以号码为126的打得最多，因为他的号码被3整除，无论跟谁打都能达到最多，他共打了2+2+1=5场。
101号与126、173和193共打了：2＋1=3
126号与101、173和193共打了：2＋2＋=5
173号与101、126和193共打了：1＋2=3
193号与101、126和173共打了：1
球盘数最多的运动员126号打了5盘
17、有9个袋子分别装有9、12、14、16、18、21、24、25、28只球，若甲取走若干袋，乙取走若干袋，最后剩下一袋，已知甲取走的球数总和是乙的两倍，剩下的一袋内装有多少只球？
乙1倍，甲2倍，甲乙和是3倍
9个袋子球÷3的余数分别是：0，0，2，1，0，0，0，1，1
剩下的一袋内装的球应该是余数是2的，剩下的一袋内装有14只球
18、一个数除以5余3，除以7余4，除以9余5，这个数最少是多少？
5×3＋3=18 满足前2个条件 35×4＋18=158
19、一个数被5除余3，被7除少4，被11除余3，这个数最小是多少？
[5，7，11]＋3=388
20、一个三位数除以9余6，除以4余2，除以5余1，这个三位数最大是多少？
最小的6满足条件，这个三位数最大是：[4，5，9]×5＋6=906
21、一个数A为质数，并且A+20，A+40也都是质数，A是多少？
解 因为20，40都是合数，而a+20,a+40又都是质数，所以a≠2.
又因为20÷3=6（余2），所以a不是被3除余1的数，否则a+20能被3整除，即为合数，与题意不符。
同理，a不能是被3除余2的数，否则a+40为合数，与题意不符。
因此 ，a必是能被3整除的数，又且a是质数，所以a=3。
22、元旦到了，老师给幼儿班的小朋友买来了300粒糖果，210块饼干，163个苹果，将它们平均分给每位小朋友，余下的糖果、饼干、苹果的数量之比是1∶3∶2，那么该班的小朋友有多少人?
300-1=299（粒），210-3=207（块），163-2=161（个）．
因为，（299，207，161）=23 所以，该班有23名同学．
23、有四个不同的自然数，它们当中任意两个数的和是2的倍数；任意三个数的和是3的倍数。如果使得这四个数的和尽可能小，这四个数分别是多少？
由其中任意两个数的和都能被2 整除可知要么全是奇数，要么全是偶数，由任意3 个数的和都是3 的倍数可知，全是3的倍数，如果全是偶数，四数全是6的倍数即可；（0，6，12，18）
如果全是奇数，必须满足任意两数的差是6的倍数。综而言之，只要任意两数的差是6的倍数，即可满足题目要求如：（1，7，13，19 ）（2，8，14，20 ）（3，9，15，21）等.使这4个数的和尽可能少,则取 1,7,13,19
(0一般不考虑)
第十七讲 周期问题
1、小朋把节省下来的硬币先按四个一分，再按三个2分，后按两个5分这样的顺序往下排，（1）他排的第111个硬币是几分硬币？（2）这111个硬币共多少元？
111÷（4＋3＋2）=12……3 第111个硬币是2分硬币
（4×1＋3×2＋2×5）×12＋1×3=243分=2.43元
2、把自然数中的偶数：2、4、6、8、…、依次按照右图规律排成5列，最左边的一列叫第一列，则2006出现在第几列？
2006÷16=125……6 2006出现在第4列
3、2007年元旦是星期一，那么，2008年元旦是星期几？2009年元旦是星期几？
365÷7=52……1 2008年元旦是星期二
366÷7=52……2 2008年元旦是星期四
2006÷6=334……2 11÷13=0……13
5、有一个77位数，它的各位数字都是1，这个数除以7，余数是多少？
77÷6=12……5 11111÷7=1587……2
（222……22333……33555……500＋55）÷4的余数是55÷4的余数，是3
7、如图，将每列上、下两个字组成一组，例如第一组为（奥，数）第二组为（林，学），那么第340组是什么？
340÷4=85 340组是（克，赛）
8、如下图，每列上面的汉字和下面的字母组成一组，如第一组是（我，A），第二组是（们，B），……，那么，第100组是什么？
100÷5=20 100÷7=14……2 100组是（学，B）
9、将分母为15的所有最简假分数由小到大依次排列，问第99假分数的分子是几？
16/15，17/15，19/15，22/15，23/15，26/15，28/15，29/15
31/15，32/15，……
99÷8=12……3
第99假分数的分子是：12×15＋19=199
10、有一排算式：1+1，2+3，3+5，4+7，1+9，2+11，3+13，4+15，1+17，2+19，…，那么，________+_________=2005。
2＋2003=2005 2003是第（2003＋1）÷2=1002组的第二个数，1002÷4=250……2，所以第1002组的第一个数应该是2，成立
4＋2001=2005 2001是第（2001＋1）÷2=1001组的第二个数，1001÷4=250……1，所以第1001组的第一个数应该是1，不成立
11、A＝2006.1234567891011121314……，A的小数点后第2006位是几？
1——9 9位
10——99 180位
2006－9－180=1817 1817÷3=605……2
100——704 605×3=1815位 A的小数点后第2006位是0。
12、自然数的平方按从小到大排列成：1 4 9 1 6 2 5 3 6 4 9 6 4 8 1 1 0 0 1 2 1 ……，从左至右第100个数字是几？
从1的平方到3的平方，结果为1位数，则共有3 × 1=3个数字
从4的平方到9的平方，结果为2位数，则共有6 × 2=12个数字
从10的平方到31的平方，结果为3位数，则共有22 × 3=66个数字
总计：3＋12＋66=81个数字，差100－81=19个数字
从32的平方到99的平方，结果为4位数，19÷4=4……3
36×36=1296 第3个数字是9
13、把1至2006这2006个自然数依次写下来，得一多位数： 123456789101112……20052006，试求这一多位数除以9的余数。
1000×1＋2×7＋1＋2＋3＋4＋5＋6=3021除以9的余数是0
14、一列数，第一个是1940，第二个是2006，从第三个开始，每个数是它前两个数的平均值的整数部分，这列数的第100个数是多少？
1940，2006，1973，1989，1981，1985，1983，1984，1983，1983，………
15、有一串数字9286……，从第3个数字起，每一个数字都是它前面2个数字的积的个位数字。问：第100个数字是几？前100个数字之和是多少？
9（286884）（286884）……
（100－1）÷6=16……3 第100个数字是6
前100个数字之和是：（2＋6＋4＋8×3）×16＋9＋2＋8＋6=601
16、1，1，2，3，5，8，13，……，90个数排成一列，从第三个数起，每个数都等于它前面两个数的和。那么，这90个数的和除以5的余数是多少？
这就是著名的:斐波那契数列(从第三项开始,每一项等于前面两项之和),它除以5的余数是:1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,4,4,3,2,0,2,2,4,1,0；1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,4,4,3,2,0,2,2,4,1,0；......
每20个余数为一个周期,这20个余数的和是40,40除以5的余数为0.
所以每20个数的和除以5的余数是0.
90个数的和除以5的余数:90÷20=4......10,就相当于前面10个余数之和除以5的余数,即为18÷5=3.....3。
答：90个数的和除以5的余数是3。
17、一串数1、2、4、7、11、16、……，其中第二个数比第一个数多1，第三个数比第二个数多2，第四个数比第三个数多3，依此类推，那么这串数左起第2003个数除以5的余数是几？
第2003个数是：1＋1＋2＋3＋……＋2002=1＋（1＋2002）×2002÷2=2005004除以5的余数是4
18、70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍都恰好等于它两边两个数的和。这一行最左边的几个数是这样的：0、1、3、8、21、55、144、……，最右边一个数（第70个数）被6除余几？
思路分析：如果将这70个数一一列出，得到第70个数后，再用它去除以6得余数，总是可以的，但计算量太大。
即然这70个数中：中间的一个数的3倍是它两边的数的和，那么它们被6除以后的余数是否有类似的规律呢？
0，1，3，8，21，55，144，……被6除的余数依次是
0，1，3，2，3，1，0，……
结果余数有类似的规律，继续观察，可以得到：
0，1，3，2，3，1，0，5，3，4，3，5，0，1，3，2，3，……
可以看出余数前12个数一段，将重复出现。
70÷2=5……10，第六段的第十个数为4，这便是原来数中第70个数被6除的余数。
19、将既能被5整除又能被7整除的自然数自35起从小到大排成一行，共有1991个数。这1991个数的和被11除的余数是多少？
35×（1＋2＋3＋……＋1991）=35×（1＋1991）×1991÷2=35×996×1991≡2×6×0≡0（mod11）
20、观察数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……，这列数中第2006个数的个位上数字是几？
1
21、在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米染一个红点，然后沿红点将木棍逐段锯开，那么，长度是1厘米的短木棍有多少根？
[5,6]=30 100÷30=3……10 3×2＋1=7
22、有一个人在草坪上散步，从A点出发，面向正东向前走3米，然后向左转120°，再向前走3米，接着再向左转120°，仍向前走3米，不断重复进行，当这个人走过2000米后，他距出发点A的距离是多少米？
2000÷9=222……2
第十八讲 尾数与平方数
1、230的尾数是几？
30÷4=7……2 尾数是4
2、20062006的末位数字是几？
尾数是6
3、7887与8778的和的尾数是几？
87÷4=21……3 7887尾数是2，78÷4=19……2 8778尾数是9，2＋9=11，尾数是1
4、人们用电子计算机找到的最大质数是2216091－1，它的尾数是几？
216091÷4=50022……3 尾数是8，8－1=7
5、46305乘一个自然数A，积是一个完全平方数，则最小的A是多少？
46305=33×5×73 最小的A=3×5×7=105
6、祖孙三人，孙子与爷爷的年龄之积是1512，而爷爷，父亲，孙子三人年龄之积是完全平方数，父亲的年龄是多少？
1512=23×33×7 父亲的年龄是：2×3×7=42岁
7、若（1×2×3×…×N）＋3是一个完全平方数，则N是多少？
N=3
8、777777×888888×999999的尾数是几？
777÷4=194……1 777777尾数是7，888÷4=222 888888尾数是6，999÷2=499……1 999999尾数是9，7×6×9=378，777777×888888×999999的尾数是8
9、乘积71×72×73×…×710的个位数字是几？
71×72×73×…×710=755，55÷4=13……3 755个位数字是3
10、110＋210＋310＋410＋510＋610＋710＋810＋910＋1010的个位数字是几？
1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4＋1＋0=45，个位数字是5
11、把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数加起来恰好是某个自然数的平方，这个和数是多少？
11×11=121
12、已知一个自然数的平方的十位数字是8，这个完全平方数的个位数字是几？
1，4，9
分析与解答：
一个整数的完全平方数的末两位数字只能由这个整数的末两位数字所决定。
我们设这个自然数N的末两位数字为10a+b，那么
（10a+b)^2=100a^2+20a+b^2=100a^2+2ab×10+b^2
因为2ab是偶数，8也是偶数，那么b^2要么不进位，要么进位为偶数。
如果不进位，那么只能是b^2=0，1，4，9，
如果进位那么只能是b^2=25，49，64，81。
我们又知道如果一个完全平方数的末尾是0，那么必须是成对出现（偶数个），所以0可以排除；如果末尾是5，那么十位必须是2，所以5也可以排除。
所以一个自然数的平方的十位数是8，这个完全平方数的个位数字是：1，4，9。
比如：9^2=81；22^2=484；33^2=1089。
13、如果一个自然数能表示成两个自然数的平方差，则把这个自然数称之为“智慧数”。如16=52－32，16称为“智慧数”。请确认：在自然数列中，从1数起，第2006个智慧数是哪个数？
分析：要确定第2006个智慧数，应该先找到智慧数的分布规律。
自然数列中最小的智慧数是3，第2个智慧数是5，从5起，依次是（5，7，8）;（ 9, 11, 12）; （13, 15,
16）; （17, 19, 20）…… 即按2个奇数，一个4的倍数，三个一组地依次排列下去。根据这个结论，我们容易知道：因为 2006
= 1+3*668 +1，所以第2006个智慧数是 4*668+5=2677。
14、两位数AB减去两位数BA的差为某自然数的平方，这样的两位数共有多少个？
21，32，43，54，65，76，87，98共有8个
2006个2006 |
15、如果把2006连写2006次，就得到 N = 20062006……2006，那么，N被11除所得商的个位数字是几？
奇数位和－偶数位和=（6－2）×2006=8024 8024÷11=729……5 商的个位数字是1
16、由非零的偶数码组成一个四位数，它又恰是由偶数码组成的完全平方数，那么这个四位数是多少？
68×68=4624
17、设ABCD是四位数，已知A、BCD、ABCD都是完全平方数，符合条件的所有四位数有哪些？
1225，4225
18、从1986，1989，1992，1995，1998这五个数中挑出不能写成两个自然数的平方差的数是多少？
1986=2×993 1989=9×991 1992=2×996 1995=5×399 1998=2×999
1986和1998不能写成两个自然数的平方差
19、一个两位数的立方是一个五位数，组成这个五位数的数字与原两位数的数字都不相同，求原来的两位数。
22×22×22=10648 27×27×27=19683
20、一个小于400的三位数，它是一个完全平方数。它的前两位数字组成的两位数是一个完全平方数，它的个位数也是完全平方数。这样的三位数有哪些？
361，169
21、如果一个两位数与它的反序数的和是一个完全平方数，则称它为“灵巧数”。试找出所有的“灵巧数”。
29,92、38,83、47,74、56,65.
22、甲、乙、丙、丁均买了奖券，他们中只有一个人中奖，而中奖号码的最后四位数字组成的四位数（不变顺序）恰是完全平方数，已知甲的奖券从右数第一个数字是8，第四个数字是1；乙的奖券从右数第一个数字是5，第二个数字是4；丙的奖券从右数第一个数字是1，第三个数字是4，第四个数字是3；丁的奖券从右数第一个数字是0，第二个数字是4，则中奖号码的后四位数字组成的四位数（不变顺序）是多少？
3481
23、两人共买N只皮球，每只皮球N元。付款时，甲先付10元，乙再付10元，照此轮流下去，当最后余下的所要付的钱不足十元时，轮到乙付。当所有的款全部付完时，乙再付多少钱给甲，才能使两人所付的钱同样多？
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