六年级奥数：乘积最大

例1  将1992表示成若干个自然数的和，如果要使这些数的乘积最大，这些自然数是______。

讲析：若把一个整数拆分成几个自然数时，有大于4的数，则把大于4的这个数再分成一个2与另一个大于2的自然数之和，则这个2与大于2的这个数的乘积肯定比它大。又如果拆分的数中含有1，则与“乘积最大”不符。

所以，要使加数之积最大，加数只能是2和3。

但是，若加数中含有3个2，则不如将它分成2个3。因为2×2×2=8，而3×3=9。

所以，拆分出的自然数中，至多含有两个2，而其余都是3。

而1992÷3=664。故，这些自然数是664个3。

例2    把50分成4个自然数，使得第一个数乘以2等于第二个数除以2；第三个数加上2等于第四个数减去2，最多有______种分法。

解析：设50分成的4个自然数分别是a、b、c、d。

因为a×2=b÷2，则b=4a。所以a、b之和必是5的倍数。

那么，a与b的和是5、10、15、20、25、30、35、40、45。

又因为c＋2=d-2，即d=c＋4。所以c、d之和加上4之后，必是2的倍数。

则c、d可取的数组有：

（40、10），（30、20），（20、30），（10、40）。

由于40÷5=8，40-8=32；（10-4）÷2=3，10-3＝7，

得出符合条件的a、b、c、d一组为（8、32、3、7）。

同理得出另外三组为：（6、24、8、12），（4、16、13、17），（2、8、18、22）。

所以，最多有4种分法。

备   注