4.2. (正)多面体部分特性
关于凸多面体，1635年法国笛卡儿第一次明确叙述，1752年瑞士人欧拉独立宣布了以下公式：
V+F-E=2 ——4.1
式中：V——（凸多面体的）顶点数
F——（凸多面体的）面数
E——（凸多面体的）棱边数
此式不仅对于正多面体成立，而且适用于所有凸多面体，通常称为（笛卡儿-）欧拉公式。有一种说法是，至此，对（正）多面体的了解已较为全面。
另一简单关系未引起重视，其实或许应平行运用。如下：
至少在凸多面体中，设各顶点上的棱数为Ei，i=3，4，5，……，V，各面的边数为Ej，j=3, 4，5，……，F，则总棱数为
E=∑Ei／2（每个顶点两次被计入，故除以2，以下类同）=∑Ej／2 ——4.2
基于此，对于正多面体，由于各Ei相同，各Ej也相同，则总棱数为
（E=）VEi==FEj ——4.3
欲验证此式，可参见表7。
由此表可见，正六与正八面体之间、正十二与正二十面体之间，以及其他比较中，存在非常和谐的对偶关系。和谐、对偶不仅表现在面、棱、顶点数的关系上，也表现在棱长及三种半径（内接球、中切球、外切球的，本表未列）、单面的面积和总表面积、局部与整体的体积比、面的内角及二面角、体心和顶点所张的平面角与立体角等多方面，还隐藏着不少简洁优美的关系。
表7：正多面体几何参数(棱长为a)
正多面体名称 | 正四面体 | 正六面体 | 正八面体 | 正十二面体 | 正二十面体 |
各面边数Ej | 3 | 4 | 3 | 5 | 3 |
各顶点棱数Ei | 3 | 3 | 4 | 3 | 5 |
顶点数V | 4 | 8 | 6 | 20 | 12 |
面数F | 4 | 6 | 8 | 12 | 20 |
棱数E | 6 | 12 | 12 | 30 | 30 |
各面的面积/ a2 | 31/2/4 | 1 | 31/2/4 | (25+10x51/2)1/2 /4 | 31/2/4 |
总表面积/a2 | 31/2 | 6 | 2x31/2 | 15ctg(π/5) | 5x31/2 |
体积/ a3 | 21/2/12 | 1 | 21/2/3 | (15+7x51/2)/4 | 5/(3(3-51/2)) |
各面的内角 | π/3 | π/2 | π/3 | 3π/5 | π/3 |
各棱的二面角 | acos(1/3) | π/2 | acos(-1/3) | acos(-51/2/5) | acos(-51/2/3) |
各棱的体心角 | 2acos3-1/2 | acos(1/3) | π/2 | acos(-51/2/3) | acos(-51/2/5) |
各顶点立体角 | 3acos(1/3) -π | π/2 | 4acos(-1/3) -2π | 3acos(-51/2/5) -π | 5acos(-51/2/3) -3π |
各面的体心角 | π | 2π/3 | π/2 | π/3 | π/5 |
4.3．未完成的观察
同好者不难判断，前一小节、本节以下内容及下节内容，以往是否已见于文献记载，是否有一定的新意。如果以往未见于文献记载，且此处结论正确、有一定新意，那么似乎就说明，看似“简单”的正多面体和立体角，还有一些奥秘， 2000多年来都未曾完成观察和探索。
比如，正二十面体中，其实可以“挑”出8个面来，而这8个面正好对应于一个正八面体的8个面。何以见得？请您：
①用较厚纸板剪出20个全等正三角形，拼成一个正二十面体模型，或从美术用品商店买来一个石膏制的正二十面体模型；
②先选定两条相对的棱作为基准，将这两条棱两侧各两个面涂成同一种颜色；
③再在其余棱中找到与这两条棱垂直的另外4条棱，在其两侧各两个面同样涂色；
④然后观察剩余的8个面的相互位置关系，就不难作出结论了。
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