同学们大家好,今天我们来学习曲率。
通俗地讲,曲率被定义为曲线的弯曲程度。比如下面这几条曲线,可以看到它们的弯曲程度是不一样的。最上面的最平,曲率最小,最下面的最弯,曲率最大。
上面用的是自然语言,那么用数学语言定义,曲率又该如何定义呢?假设用
在定义一般曲线的曲率之前,我们首先定义的是圆的曲率。圆越小,曲率越大,圆越大,曲率越小。
这是符合观察的,可以看到,随着圆越大,曲线越来越平,曲率越小,圆越小,曲线越弯,曲率越大
也就是说,对于圆而言,曲率与半径成反比,此时
根据这个公式,我们可以很容易的计算出,半径为1的圆,曲率为1/1;半径为2的圆,曲率为1/2;半径为3的圆,曲率为1/3。
现在,我们手上有了圆的曲率定义公式,下面,我们要根据它,定义出一般曲线的曲率。
3.1 密切圆
可以看到,对于一般曲线而言,各个位置上的弯曲程度是不一样的。有些位置比较弯,有些位置比较平。
那么,我们要计算某一处的曲率,就在它的左右各取一个点。并用这三点确定一个圆。
然后将左右两个点不断向中间靠拢,最终得到的圆,称为密切圆。密切圆就是对这个点附近的曲线的最佳圆近似。
可以观察到,在曲线较为平坦的地方,密切圆半径较大,较为弯曲的地方,密切圆半径较小。
这个事实告诉我们,可以用密切圆的曲率来定义曲线的曲率
现在只要计算出密切圆的半径,就能计算出曲线的曲率。下面开始计算
3.2 计算
首先假设中间的点为
这个
其中
下面将三条边分别用向量
那么三条边的边长,就是这三个向量取模长。
根据行列式的几何意义可知,由
那么取绝对值后,得到的是平行四边形的面积,三角形的面积就是这个平行四边形面积的一半。
因此
设曲线函数为
那么三个向量分别为
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