——以教学《角的度量》为例
华应龙
关于《角的度量》一课我的困惑是：①我们让学生量了各种各样的角，学生感受到了量角的用处吗？量角的大小是屠龙之技，还是生活中必不可少的技能？②《角的度量》一课教学的难点是什么？为什么会有这样的难点？量角器的结构很复杂。量角之前先要认识量角器，那认识量角器的什么呢？怎么认识量角器？教学中简要概括出了“二合一看”等要点，为什么学生还是不会量角？③我们的教学有三个层次：教知识，教方法，教思想。以前我们只是教了量角的知识和技能，那么这节课可以给学生什么方法和思想的提升呢？
经过查阅资料，思考消化，和老师们交流，比较选择，最后我决定这样来解决这三个主要。问题
1、创设怎样的教学情境？
刚开始，我搜寻生活中的角，发觉生活中的角都不需要量，因为大多数的角是直角。后来发现衣柜里衣领的角就是千差万别的，我很兴奋。进而发现牙刷也有非常讲究的角，椅子靠背向后倾斜一定的角……经过反复搜寻、思考和讨论，我终于找到了滑滑梯这样既有趣又能引发学习需求的情境。
2、如何认识量角器？
这节课到底要认识量角器的什么？我回忆起学生拿着量角器手足无措的样子，往往是用量角器的直角和圆弧夹的角比在要量的角上，原来学生找不到量角器的上的角！因此，我让学生讨论这是不是角，能在量角器上找到角吗？我大胆地想：能让学生先在量角器上画角再量角吗？进而，我再追问：量角的本质是什么？重合。如果学生在量角器上清晰地找到角了，量角的问题就能迎刃而解。因此，我决定让学生在量角器上画角，再交流有没有不同的角，这样顺势就可以介绍“中心点”、“0度刻度线”、“内外圈刻度”、“1度的角”、“度数的写法”等。
3、如何渗透度量意识？
角的大小是一种二维特征，和长度的一维特性有着较大的差异，但作为以数量来刻画特征它们又具有一致性。几经推敲，我决定在一个长方形上做文章，从长度、面积、角度等维度的归纳中帮助学生建立起度量意识，最后用华罗庚的话画龙点睛。
两年前，我上《角的度量》一课，组织学生经历角的度量单位的产生和统一的必要，我享受了学生用直尺成功解决两个角比大小等智慧的方法。但这次我想突破量角这一操作技能的难题，因此，确定的数学目标是：①认识量角器、角的度量单位；②会用量角器量角；③感受量角的意义，进一步形成度量意识。
一、创设情境，引入课题。
师：孩子们请看屏幕。（出示第1个倾斜度比较小的滑梯）玩过吗？
生：玩过。
师：滑梯谁没玩过！（出示第2个倾斜度稍大的滑梯）想玩哪个？
（大多数学生说：“第2个。”老师出示第3个倾斜度比较大的滑梯。“第3个。”大多数学生不禁笑着改变了主意，“第2个”。）
生：第3个太斜了。
师：这个“斜”字用得很好。
生：第3个太陡了。
师：那这3个滑梯不同在哪呀？
生：3个滑梯有高有矮。
师：对，有高有矮。还有什么不同呢？
生：有胖有瘦。
师：哈哈……是，有胖有瘦。你说呢，小伙子？
生：有宽有窄。
师：（惊讶状）还有宽有窄。说出的这些都有点像，不过有一个很重要的不同，那需要有数学的眼睛才能看得出来。
（众生：“角度！”）
师：哎呀，厉害！是不是这样啊？（抽象出3个角。）
生：是。
师：最主要的是因为他们的角度不同。（隐去两个角，留下第2个滑梯的角）那么滑梯的角多大才算合适呢？这就需要量角的大小，是不是？
生：是。
师：今天这节课我们就一起来学习——（板书：量角的大小）
二、自主探究，认识量角器
师：怎么量角的大小呢？有没有人知道？
生：用量角器。
师：（一怔，轻声问同学）用量角器，同意吗？
（学生异口同声：“同意。”）
师：（板书：量角器）都知道呵？那会量吗？
（好些学生：“会”。）
师：得天独厚来试试看好不好？
生：好。
师：华老师发的纸片上有一些角，我们先用量角器试着量量∠1。
师：（巡视中）呦，真会动脑子，虽然没学过，有的人还真量对了。有人虽然不会但在动脑子，我觉得也挺好的。小伙子，带着你的量角器，到投影这儿来，把你的方法展示一下（如下图）。
（该生投影自己的量法后，有学生小声嘲笑，老师摇头制止，示意学生解说。）
生：我先把这个尖放到这个角上，然后看这条边。
师：那这个角多大呢？
生：不知道。
师：（摸着学生的头，微笑着说）还没学，不会很正常，但敢于尝试值得表扬。我提议大家为这样敢于尝试的精神鼓掌！（鼓掌）以前我们量长度的时候，就是这样从0开始的。这一点你做得非常棒！（热烈的掌声。）要量角的大小，他已经想到了用角来比着，真不简单，这个思路是正确的！我提议大家再次鼓掌！（演示的学生在同学们起劲的鼓掌中坦然回到自己的座位。）现在的问题是我们从量角器上能找到角吗？
（有学生指着量角器的一端。）
师：这是不是角？认为是角，请举手。有几位，大部分同学不同意，为什么？
生：（指着量角器的圆弧）这条边不是直的。
师：我们已经知道了角是由一个顶点、两点边组成的（板书：角，顶点，一条边，另一条边），并且这两条边都是真的，都是射线。那现在来看看，（指量角器的一端）这是角吗？（众生：“不是”。）
师：这不是角，那量角器上有没有角？角在哪儿？
生：这是一个角。（用手比划一个直角）
师：这是一个角吗？
生：（众）是。
师：这个角多大呢？
生：（众）90度。
师：大家注意这个角的顶点在哪里？这个角的顶点就是量角器的中心点。（板书：中心点）这条边上有一个“0”，所以这条线叫做0度刻度线。（板书：0度刻度线）她刚才指的另一条边就是90度刻度线。我发的纸片背面印了4个量角器，在第1个纸量角器上面画一个90度的角好不好？（学生安静地画直角。）
师：这个90度的角的顶点在哪儿呢？
生：在中心。
师：对！量角器的中心。一条边是这个量角器的0度刻度线，另一条边呢，是90度刻度线。我们画得怎么样？互相交流一下，欣赏一下。（学生互相交流欣赏。）
师：在第二个纸量角器上画60角的角。你画的尽可能和同学画的不一样，想想怎么画？
师：（边巡视，边说）不能随手画，角的两条边是射线，必须用尺子。
师：（挑选了3位同学生画的）好，我们来看看这3位同学画的。（实物投影一个学生画的60度的角）同意吗？
生：同意。
师：（实物投影另一个学生画的60度的角）这个同意吗？
生：同意。
师：（两个60度的角同一屏展示）哎，这两个角不同在哪儿？
生：方向不一样，一个向左，一个向右。
师：说得真好！同学们其实注意到了量角器上有两条……
生：0度刻度线。
师：一个向左的，一个向右的。找到了吗？
生：找到了。
师：孩子们，我们一起来看这位同学画的60度的角。（实物投影第3个学生的画法）同意吗？
（“嗯？”学生中发出纳闷的声音。）
师：这个60度的角画得怎么样呢？
生：这是120度。
师：觉得画的是120度的同学请举手。
（绝大多数同学举起了手。）
师：不过，我觉得这个同学画得有道理。这里不是标着60吗？
生：因为从那个右面开始画，应该……
师：请上台来，我想你会说得更清楚。
生：（学生走上台）如果从右面开始画，应该看里面的。他看成外面了。所以他画的是120度了。
师：噢，0度刻度线是表示起点的。从这边开始数，0度，10度，20度，30度……到这就是60度了。如果到这里，那就是120度了。看外圈的60度，应该从哪边开始？
生：左边。
师：对，从左边开始数，0度，10度，20度，……这么转，转到这儿是60度。如果这条线不改，要画60度的角，怎么办？
生：从这边开始。
师：我想刚才举手的人和笑的人跟她想是一样的。佩服！不过，我觉得要感谢这位同学，是他画的角提醒我们：量角器上有两个60度，究竟看哪一圈？我们要想一想是从哪边开始的。
（学生主动地鼓起掌来。）
师：（课件演示分别从左右两条0度刻度线开始旋转而成内外圈刻度的角。）量角器上有两圈刻度，究竟看哪一圈，主要决定于——
生：（声音整齐而响亮）0度刻度线！
师：其实，我们还可以这样想，60度的角肯定比90度的角小，如果画成这样（指120度的角），就比90度大了。如果要画一个120度的角，你会画了吗？
（众生：“会”）
师：那就不画了，来，挑战一下，请在第3和第4个纸量角器上分别画一个1度的角和157度的角。
师：请看着我们在纸量角器上画的4个角。它们有什么相同的地方？
生1：都有一个顶点、两条边。
生2：顶点都在量角器的中心。
生3：都有一条边在0度刻度线上。（教师欣赏地点头。）
三、尝试量角，探求量角的方法。
师：现在，请大家看着量角器，你看到了什么？
生1：中心。
生2：0度刻度线。
师：（环顾全班，微笑着制止了想说“两圈刻度”的学生。）刚才画了角，你从量角器上看到了角；现在不画角，你就看不到角了？哈哈，就像一个人穿了马甲，你认识；他把马甲脱了，你就不认识了？（众生开怀大笑。）
师：从量角器上能看到角了吗？（众生：“能”！）
师：有一能数学的眼睛，我们就能在量角器上看到若干个大小不同的角。那怎么用量角器来量角呢？想一想，再试着量量∠1是多少度。
（学生再次量∠1的大小。大部分同学说“50度”，也有人说“130”度。）
师：小组内交流一下∠1是多少度，我们应该怎么量角。
（学生们兴致盎然地交流着。老师请一位学生到台前量∠1。）
师：（满意地点点头）你发现刚才她放量角器的时候注意什么了？
生1：角和量角器上的角重合了。
生2：角的顶点和量角器的中心点重合。
生3：0度刻度线和一条边重合。
生4：还有一条边和量角器上的边重合。
师：听大家这么一说，我觉得，量角其实就是把量角器上的角和要量的角重合，是不是啊？
（学生给纷点头。）
师：我们量角的时候，一条边和50度刻度线重合，0度刻度线和另一条边重合。这两个重合，应该先重合哪个？
生：0刻度线。
师：（看到众生同意，满意地点了点头）刚才有人说50度，有人说130度。到底是50度还是130度呢？
生：50度。
师：为什么是50度呢？
生：因为是从右边的0刻度线开始的。
师：这句话说得多好！这个“50度”还有一个很有数学味道的写法，有没有人会？（无人应声。）是这样的。（在∠1内板书：50?）这就是50度。
（众生：噢——）
师：知道怎么写了？数学就是追求简洁。每人在自己的∠1内也写一个“50?”。
师：有的同学写字的姿势真漂亮！写50度那个小圈圈应该怎么样？写大了就像500了。
师：现在请大家看一看∠2。先不量，估一估，与∠1比，哪个角大？
（有的说∠2大，有的说∠1大，有的说一样大。）
师：究竟你的判断对不对呢？量一下。
生：（迅速地说）一样大。
师：都量出来了？！是多少度呢？
生：50度。
师：回头再想想，刚才为什么有人说∠2大？
生：因为∠2的边长。
师：现在你有什么收获？
生：开始以为∠2大，实际上是一样的。角的大小真的与边的长短没有关系。
师：对，角的大小与所画的边的长短没有关系。当然的边画得不够长，不好量时，我们就可以把边延长后再量。最后，请大家量出∠3，∠4，∠5是多少度？把度数标在角上。
（学生安静地量角，标角。）
师：（边巡视边说）同学们心灵手巧，把这3个角的度数准确地量出来了。真佩服同学们，我看到大多数同学量的都是对的。∠3的度数是115度，有同学写的是116度，可以算对。因为量角的时候，可能稍微有一点误差，所以相差2度，我们都可以认为是对的。有人量得的是125度，怎么回事呢？（出示∠3，放上量角器。）
生：他读错度数了。
师：是的，他把量角器和∠3重合得很好，遗憾的是读错度数了，方向性错误。0度刻度线在哪儿？明白啦？再看∠4，是43度。
生：42并，41度。
师：42度，41度也是对的。∠5是67度。
生：65度，66度。
师：3个角的度数我们都知道了。∠5大于∠4。不量你知道不知道∠5大于∠4？
（有的学生说“知道”，有的说“不知道”。教在∠5的对边上画出足球球门。）
师：哈哈，足球运动员就知道，他们总是尽可能把足球带到球门前，离球门越近，角度就越大，射中的可能性就越大，德国足球博物馆里就放着一个量角器，表明他们射门角度的精准。
四、体会量角的用处。
师：同学们会量角了，那量角在生活中有什么用呢？（出示学生放风筝的图）玩过吗？
生：玩过。
师：参加过风筝比赛吗？
生：没有。
师：风筝比赛是用同样长的线比谁的风筝放得高。怎样才能量出风筝的高度呢？能不能用梯了爬上去量，那是个笑话。那怎么比呢？是把风筝线放到地上，（出示两个角度）然后量一量谁的风筝线与地面的夹角大，夹角大的风筝飞得就高。哈哈！
（出示椅子图）椅子的靠背总是向后倾的。用于学习的椅子的靠背后倾斜8度，吃饭的椅子靠背向后倾斜9度，沙发的靠背一般向后倾斜11度左右。
（出示课前的滑椅）滑梯的角度多大才合适呢？我请教了3位工程师，他们告诉我：滑梯的角度应该是——（板书40?~50?）。
五、总结全课。
师：（出示长方形）要知道它的长，怎么办？
生：用直尺量。
师：（出示直尺）1厘米、2厘米……8厘米。要知道它的面积呢？
生：量出长和宽，再用长乘宽。
师：对，也就是用面积单位来量。（出示摆方格的过程。）1平方厘米、2平方厘米……40平方厘米。要知道这个角的大小呢？
生：用量角器来量。
师：（出示量角器）以前我们说它是直角，现在我们可以说它是90度的角。看来，要表达一个数量，先要找到一个度量单位，再数有多少个这样的单位。大数学家华罗庚说过“数（sh?）起源于数（shǔ），量（liāng）起源于量（li?ng）。”
（出示开始量∠1时学生不会量时的情形。）开始我们同学这样量角，可以理解，因为以前我们只是量长度，量长度就是这么量的。而量角的大小是要量两边张开的大小。（两手合成一个角，慢慢张开。）现在我们会量角了吗？量角其实就是把量角器上的角重叠在要量的角上。要量得准，就要重合准。怎样才叫重合得准呢？（师生合作，完成板书。）
量角的大小
角 量角器
顶点 中心点
一条边 0度刻度线
另一条 ？度
（出示量角器）量有器很有用，但要用好不容易。如果你是量角器的话，你瘵对同学们说些什么呢？把你想说的话写出来，好不好？
生：好！
师：下课。
上完课，有老师问：“操作技能性的课还要让学生探究吗？”说实话，我没有特别意识到自己是在组织学生探究。在我看来，教和学是一回事，应当追问四个问题：第一，教（学）的是什么；第二，为什么要教（学）；第三，怎么做；第四，为什么这么做。这一次教“角的度量”，我只是多问了两个为什么，顺着学的路径去思考教的路径。我们的教学不仅仅是要把事件做正确，更重要的是首先要把事件做正确，更重要的是首先要把思考做正确的事。其实，学生是天生的学习者，学习就像呼吸一样自然，好为人师的我们往往会好心地做出一些费力不讨好的事。
以前，我们习惯于将问题分解为若干个可以掌握的部分，这种狭窄的视野使我们看不到解决问题的整个系统。当我们先见森林，再见树木时，我们对各个部分的重要性就有了更好的理解。诚如孟子所言：“先立乎其大者，则其小者不可夺矣！”看来，我们小学老师为了更有效地教学生学，真应该“变成小孩子，习惯于感知性思维，着眼于全局，而不仅是局部。
陶行知先生说：“先生的责任不在教，而在教学，而在教学生学。”“事怎样做就怎样学，怎样学就怎样做；教的法子要根据学的法子，学的法子要根据做的法子。”现在这样认识量角器，不就是依据了量角器的做法吗？
通过这节课，我认识到教师的教怎样才能有效地促进学；一是要把握“做”的本质，昏昏的教师是教不出昭昭的学生的；二是创设好的情境，调动“学”的兴趣，让学生愿意学；三是学生自主尝试，教师相机诱导，“好风凭借车，送生上青云”。上完这节课，我相信了人本主义心理学家罗杰斯说过的一句话——“没有人能教会任何东西。”
费雷登塔尔说：“泄漏一个可以由学生自己发现的秘密，那是‘坏的’教学法，甚至是罪恶。”以前我们教“角的度量”时，课堂上少有笑声，学生几乎成了教师教的附庸和工具，学生在课上的活动似乎是玩偶式的活动。现在的课堂上，学生有开怀大笑。有小声窃笑，还有会意的微笑。学生先试先量，先想先说，正确的地方充分肯定，存在的问题一起探讨，学习活动顺着孩子们学习的天性展开，“教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导”（叶圣陶语）。真是“上善若水”，因物赋形。
以前我们教“角的度量”时，一节课下来，教师教得累，学生学得苦，不少学生还不会量角，量角器都不知道怎么摆放；而今天，学生教会量角了，并且理解了量角的本质。也正因为理解了量角的本质，学生变得“自能”“自得”了。为什么以前我们那么费力地教，总结概括出“二合一看”等要廖，学生学的效果反而不好呢？上完这节课，我明白了，因为以前的我们“只见树木不见森林”。我们讲了“角的顶点和量角器的中心重合，一条边和0度刻度线重合，看另一条边所对应的刻度”，但没有讲量角的实质是什么，缺乏整体把握。“二合一看”等要诀，看似简洁，颇得要领，其实这是我们成人的偏好，对孩子来说却是不得要领的，要孩子们想象出这四个字背后的内涵是挺难的。因为孩子们是以形象思维为主，老师抽象概括出的词语反而增加学习的难度，老师附加的认知负荷挤占和压缩了学生生成的认知负荷，所以说我们原来的教法阻扰了学生自由地“呼吸”。而在学生已进入洞口，感觉恍惚若有光的时候，“量角其实就是把量角器上的角重叠在要量的角上”一语点破，是可以为学生的量角操作提供表象支持，促进学生更顺畅地“呼吸”的。
还是老子说得好，“少则得，多则惑”、 “不自见，故明；不自是，故彰；不自伐，故有功；不自矜，故长”。一句话：“道法自然”！
让学习像呼吸一样自然
——以教学《角的度量》为例
华应龙
关于《角的度量》一课我的困惑是：①我们让学生量了各种各样的角，学生感受到了量角的用处吗？量角的大小是屠龙之技，还是生活中必不可少的技能？②《角的度量》一课教学的难点是什么？为什么会有这样的难点？量角器的结构很复杂。量角之前先要认识量角器，那认识量角器的什么呢？怎么认识量角器？教学中简要概括出了“二合一看”等要点，为什么学生还是不会量角？③我们的教学有三个层次：教知识，教方法，教思想。以前我们只是教了量角的知识和技能，那么这节课可以给学生什么方法和思想的提升呢？
经过查阅资料，思考消化，和老师们交流，比较选择，最后我决定这样来解决这三个主要。问题
1、创设怎样的教学情境？
刚开始，我搜寻生活中的角，发觉生活中的角都不需要量，因为大多数的角是直角。后来发现衣柜里衣领的角就是千差万别的，我很兴奋。进而发现牙刷也有非常讲究的角，椅子靠背向后倾斜一定的角……经过反复搜寻、思考和讨论，我终于找到了滑滑梯这样既有趣又能引发学习需求的情境。
2、如何认识量角器？
这节课到底要认识量角器的什么？我回忆起学生拿着量角器手足无措的样子，往往是用量角器的直角和圆弧夹的角比在要量的角上，原来学生找不到量角器的上的角！因此，我让学生讨论这是不是角，能在量角器上找到角吗？我大胆地想：能让学生先在量角器上画角再量角吗？进而，我再追问：量角的本质是什么？重合。如果学生在量角器上清晰地找到角了，量角的问题就能迎刃而解。因此，我决定让学生在量角器上画角，再交流有没有不同的角，这样顺势就可以介绍“中心点”、“0度刻度线”、“内外圈刻度”、“1度的角”、“度数的写法”等。
3、如何渗透度量意识？
角的大小是一种二维特征，和长度的一维特性有着较大的差异，但作为以数量来刻画特征它们又具有一致性。几经推敲，我决定在一个长方形上做文章，从长度、面积、角度等维度的归纳中帮助学生建立起度量意识，最后用华罗庚的话画龙点睛。
两年前，我上《角的度量》一课，组织学生经历角的度量单位的产生和统一的必要，我享受了学生用直尺成功解决两个角比大小等智慧的方法。但这次我想突破量角这一操作技能的难题，因此，确定的数学目标是：①认识量角器、角的度量单位；②会用量角器量角；③感受量角的意义，进一步形成度量意识。
一、创设情境，引入课题。
师：孩子们请看屏幕。（出示第1个倾斜度比较小的滑梯）玩过吗？
生：玩过。
师：滑梯谁没玩过！（出示第2个倾斜度稍大的滑梯）想玩哪个？
（大多数学生说：“第2个。”老师出示第3个倾斜度比较大的滑梯。“第3个。”大多数学生不禁笑着改变了主意，“第2个”。）
生：第3个太斜了。
师：这个“斜”字用得很好。
生：第3个太陡了。
师：那这3个滑梯不同在哪呀？
生：3个滑梯有高有矮。
师：对，有高有矮。还有什么不同呢？
生：有胖有瘦。
师：哈哈……是，有胖有瘦。你说呢，小伙子？
生：有宽有窄。
师：（惊讶状）还有宽有窄。说出的这些都有点像，不过有一个很重要的不同，那需要有数学的眼睛才能看得出来。
（众生：“角度！”）
师：哎呀，厉害！是不是这样啊？（抽象出3个角。）
生：是。
师：最主要的是因为他们的角度不同。（隐去两个角，留下第2个滑梯的角）那么滑梯的角多大才算合适呢？这就需要量角的大小，是不是？
生：是。
师：今天这节课我们就一起来学习——（板书：量角的大小）
二、自主探究，认识量角器
师：怎么量角的大小呢？有没有人知道？
生：用量角器。
师：（一怔，轻声问同学）用量角器，同意吗？
（学生异口同声：“同意。”）
师：（板书：量角器）都知道呵？那会量吗？
（好些学生：“会”。）
师：得天独厚来试试看好不好？
生：好。
师：华老师发的纸片上有一些角，我们先用量角器试着量量∠1。
师：（巡视中）呦，真会动脑子，虽然没学过，有的人还真量对了。有人虽然不会但在动脑子，我觉得也挺好的。小伙子，带着你的量角器，到投影这儿来，把你的方法展示一下（如下图）。
（该生投影自己的量法后，有学生小声嘲笑，老师摇头制止，示意学生解说。）
生：我先把这个尖放到这个角上，然后看这条边。
师：那这个角多大呢？
生：不知道。
师：（摸着学生的头，微笑着说）还没学，不会很正常，但敢于尝试值得表扬。我提议大家为这样敢于尝试的精神鼓掌！（鼓掌）以前我们量长度的时候，就是这样从0开始的。这一点你做得非常棒！（热烈的掌声。）要量角的大小，他已经想到了用角来比着，真不简单，这个思路是正确的！我提议大家再次鼓掌！（演示的学生在同学们起劲的鼓掌中坦然回到自己的座位。）现在的问题是我们从量角器上能找到角吗？
（有学生指着量角器的一端。）
师：这是不是角？认为是角，请举手。有几位，大部分同学不同意，为什么？
生：（指着量角器的圆弧）这条边不是直的。
师：我们已经知道了角是由一个顶点、两点边组成的（板书：角，顶点，一条边，另一条边），并且这两条边都是真的，都是射线。那现在来看看，（指量角器的一端）这是角吗？（众生：“不是”。）
师：这不是角，那量角器上有没有角？角在哪儿？
生：这是一个角。（用手比划一个直角）
师：这是一个角吗？
生：（众）是。
师：这个角多大呢？
生：（众）90度。
师：大家注意这个角的顶点在哪里？这个角的顶点就是量角器的中心点。（板书：中心点）这条边上有一个“0”，所以这条线叫做0度刻度线。（板书：0度刻度线）她刚才指的另一条边就是90度刻度线。我发的纸片背面印了4个量角器，在第1个纸量角器上面画一个90度的角好不好？（学生安静地画直角。）
师：这个90度的角的顶点在哪儿呢？
生：在中心。
师：对！量角器的中心。一条边是这个量角器的0度刻度线，另一条边呢，是90度刻度线。我们画得怎么样？互相交流一下，欣赏一下。（学生互相交流欣赏。）
师：在第二个纸量角器上画60角的角。你画的尽可能和同学画的不一样，想想怎么画？
师：（边巡视，边说）不能随手画，角的两条边是射线，必须用尺子。
师：（挑选了3位同学生画的）好，我们来看看这3位同学画的。（实物投影一个学生画的60度的角）同意吗？
生：同意。
师：（实物投影另一个学生画的60度的角）这个同意吗？
生：同意。
师：（两个60度的角同一屏展示）哎，这两个角不同在哪儿？
生：方向不一样，一个向左，一个向右。
师：说得真好！同学们其实注意到了量角器上有两条……
生：0度刻度线。
师：一个向左的，一个向右的。找到了吗？
生：找到了。
师：孩子们，我们一起来看这位同学画的60度的角。（实物投影第3个学生的画法）同意吗？
（“嗯？”学生中发出纳闷的声音。）
师：这个60度的角画得怎么样呢？
生：这是120度。
师：觉得画的是120度的同学请举手。
（绝大多数同学举起了手。）
师：不过，我觉得这个同学画得有道理。这里不是标着60吗？
生：因为从那个右面开始画，应该……
师：请上台来，我想你会说得更清楚。
生：（学生走上台）如果从右面开始画，应该看里面的。他看成外面了。所以他画的是120度了。
师：噢，0度刻度线是表示起点的。从这边开始数，0度，10度，20度，30度……到这就是60度了。如果到这里，那就是120度了。看外圈的60度，应该从哪边开始？
生：左边。
师：对，从左边开始数，0度，10度，20度，……这么转，转到这儿是60度。如果这条线不改，要画60度的角，怎么办？
生：从这边开始。
师：我想刚才举手的人和笑的人跟她想是一样的。佩服！不过，我觉得要感谢这位同学，是他画的角提醒我们：量角器上有两个60度，究竟看哪一圈？我们要想一想是从哪边开始的。
（学生主动地鼓起掌来。）
师：（课件演示分别从左右两条0度刻度线开始旋转而成内外圈刻度的角。）量角器上有两圈刻度，究竟看哪一圈，主要决定于——
生：（声音整齐而响亮）0度刻度线！
师：其实，我们还可以这样想，60度的角肯定比90度的角小，如果画成这样（指120度的角），就比90度大了。如果要画一个120度的角，你会画了吗？
（众生：“会”）
师：那就不画了，来，挑战一下，请在第3和第4个纸量角器上分别画一个1度的角和157度的角。
师：请看着我们在纸量角器上画的4个角。它们有什么相同的地方？
生1：都有一个顶点、两条边。
生2：顶点都在量角器的中心。
生3：都有一条边在0度刻度线上。（教师欣赏地点头。）
三、尝试量角，探求量角的方法。
师：现在，请大家看着量角器，你看到了什么？
生1：中心。
生2：0度刻度线。
师：（环顾全班，微笑着制止了想说“两圈刻度”的学生。）刚才画了角，你从量角器上看到了角；现在不画角，你就看不到角了？哈哈，就像一个人穿了马甲，你认识；他把马甲脱了，你就不认识了？（众生开怀大笑。）
师：从量角器上能看到角了吗？（众生：“能”！）
师：有一能数学的眼睛，我们就能在量角器上看到若干个大小不同的角。那怎么用量角器来量角呢？想一想，再试着量量∠1是多少度。
（学生再次量∠1的大小。大部分同学说“50度”，也有人说“130”度。）
师：小组内交流一下∠1是多少度，我们应该怎么量角。
（学生们兴致盎然地交流着。老师请一位学生到台前量∠1。）
师：（满意地点点头）你发现刚才她放量角器的时候注意什么了？
生1：角和量角器上的角重合了。
生2：角的顶点和量角器的中心点重合。
生3：0度刻度线和一条边重合。
生4：还有一条边和量角器上的边重合。
师：听大家这么一说，我觉得，量角其实就是把量角器上的角和要量的角重合，是不是啊？
（学生给纷点头。）
师：我们量角的时候，一条边和50度刻度线重合，0度刻度线和另一条边重合。这两个重合，应该先重合哪个？
生：0刻度线。
师：（看到众生同意，满意地点了点头）刚才有人说50度，有人说130度。到底是50度还是130度呢？
生：50度。
师：为什么是50度呢？
生：因为是从右边的0刻度线开始的。
师：这句话说得多好！这个“50度”还有一个很有数学味道的写法，有没有人会？（无人应声。）是这样的。（在∠1内板书：50?）这就是50度。
（众生：噢——）
师：知道怎么写了？数学就是追求简洁。每人在自己的∠1内也写一个“50?”。
师：有的同学写字的姿势真漂亮！写50度那个小圈圈应该怎么样？写大了就像500了。
师：现在请大家看一看∠2。先不量，估一估，与∠1比，哪个角大？
（有的说∠2大，有的说∠1大，有的说一样大。）
师：究竟你的判断对不对呢？量一下。
生：（迅速地说）一样大。
师：都量出来了？！是多少度呢？
生：50度。
师：回头再想想，刚才为什么有人说∠2大？
生：因为∠2的边长。
师：现在你有什么收获？
生：开始以为∠2大，实际上是一样的。角的大小真的与边的长短没有关系。
师：对，角的大小与所画的边的长短没有关系。当然的边画得不够长，不好量时，我们就可以把边延长后再量。最后，请大家量出∠3，∠4，∠5是多少度？把度数标在角上。
（学生安静地量角，标角。）
师：（边巡视边说）同学们心灵手巧，把这3个角的度数准确地量出来了。真佩服同学们，我看到大多数同学量的都是对的。∠3的度数是115度，有同学写的是116度，可以算对。因为量角的时候，可能稍微有一点误差，所以相差2度，我们都可以认为是对的。有人量得的是125度，怎么回事呢？（出示∠3，放上量角器。）
生：他读错度数了。
师：是的，他把量角器和∠3重合得很好，遗憾的是读错度数了，方向性错误。0度刻度线在哪儿？明白啦？再看∠4，是43度。
生：42并，41度。
师：42度，41度也是对的。∠5是67度。
生：65度，66度。
师：3个角的度数我们都知道了。∠5大于∠4。不量你知道不知道∠5大于∠4？
（有的学生说“知道”，有的说“不知道”。教在∠5的对边上画出足球球门。）
师：哈哈，足球运动员就知道，他们总是尽可能把足球带到球门前，离球门越近，角度就越大，射中的可能性就越大，德国足球博物馆里就放着一个量角器，表明他们射门角度的精准。
四、体会量角的用处。
师：同学们会量角了，那量角在生活中有什么用呢？（出示学生放风筝的图）玩过吗？
生：玩过。
师：参加过风筝比赛吗？
生：没有。
师：风筝比赛是用同样长的线比谁的风筝放得高。怎样才能量出风筝的高度呢？能不能用梯了爬上去量，那是个笑话。那怎么比呢？是把风筝线放到地上，（出示两个角度）然后量一量谁的风筝线与地面的夹角大，夹角大的风筝飞得就高。哈哈！
（出示椅子图）椅子的靠背总是向后倾的。用于学习的椅子的靠背后倾斜8度，吃饭的椅子靠背向后倾斜9度，沙发的靠背一般向后倾斜11度左右。
（出示课前的滑椅）滑梯的角度多大才合适呢？我请教了3位工程师，他们告诉我：滑梯的角度应该是——（板书40?~50?）。
五、总结全课。
师：（出示长方形）要知道它的长，怎么办？
生：用直尺量。
师：（出示直尺）1厘米、2厘米……8厘米。要知道它的面积呢？
生：量出长和宽，再用长乘宽。
师：对，也就是用面积单位来量。（出示摆方格的过程。）1平方厘米、2平方厘米……40平方厘米。要知道这个角的大小呢？
生：用量角器来量。
师：（出示量角器）以前我们说它是直角，现在我们可以说它是90度的角。看来，要表达一个数量，先要找到一个度量单位，再数有多少个这样的单位。大数学家华罗庚说过“数（sh?）起源于数（shǔ），量（liāng）起源于量（li?ng）。”
（出示开始量∠1时学生不会量时的情形。）开始我们同学这样量角，可以理解，因为以前我们只是量长度，量长度就是这么量的。而量角的大小是要量两边张开的大小。（两手合成一个角，慢慢张开。）现在我们会量角了吗？量角其实就是把量角器上的角重叠在要量的角上。要量得准，就要重合准。怎样才叫重合得准呢？（师生合作，完成板书。）
量角的大小
角 量角器
顶点 中心点
一条边 0度刻度线
另一条 ？度
（出示量角器）量有器很有用，但要用好不容易。如果你是量角器的话，你瘵对同学们说些什么呢？把你想说的话写出来，好不好？
生：好！
师：下课。
上完课，有老师问：“操作技能性的课还要让学生探究吗？”说实话，我没有特别意识到自己是在组织学生探究。在我看来，教和学是一回事，应当追问四个问题：第一，教（学）的是什么；第二，为什么要教（学）；第三，怎么做；第四，为什么这么做。这一次教“角的度量”，我只是多问了两个为什么，顺着学的路径去思考教的路径。我们的教学不仅仅是要把事件做正确，更重要的是首先要把事件做正确，更重要的是首先要把思考做正确的事。其实，学生是天生的学习者，学习就像呼吸一样自然，好为人师的我们往往会好心地做出一些费力不讨好的事。
以前，我们习惯于将问题分解为若干个可以掌握的部分，这种狭窄的视野使我们看不到解决问题的整个系统。当我们先见森林，再见树木时，我们对各个部分的重要性就有了更好的理解。诚如孟子所言：“先立乎其大者，则其小者不可夺矣！”看来，我们小学老师为了更有效地教学生学，真应该“变成小孩子，习惯于感知性思维，着眼于全局，而不仅是局部。
陶行知先生说：“先生的责任不在教，而在教学，而在教学生学。”“事怎样做就怎样学，怎样学就怎样做；教的法子要根据学的法子，学的法子要根据做的法子。”现在这样认识量角器，不就是依据了量角器的做法吗？
通过这节课，我认识到教师的教怎样才能有效地促进学；一是要把握“做”的本质，昏昏的教师是教不出昭昭的学生的；二是创设好的情境，调动“学”的兴趣，让学生愿意学；三是学生自主尝试，教师相机诱导，“好风凭借车，送生上青云”。上完这节课，我相信了人本主义心理学家罗杰斯说过的一句话——“没有人能教会任何东西。”
费雷登塔尔说：“泄漏一个可以由学生自己发现的秘密，那是‘坏的’教学法，甚至是罪恶。”以前我们教“角的度量”时，课堂上少有笑声，学生几乎成了教师教的附庸和工具，学生在课上的活动似乎是玩偶式的活动。现在的课堂上，学生有开怀大笑。有小声窃笑，还有会意的微笑。学生先试先量，先想先说，正确的地方充分肯定，存在的问题一起探讨，学习活动顺着孩子们学习的天性展开，“教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导”（叶圣陶语）。真是“上善若水”，因物赋形。
以前我们教“角的度量”时，一节课下来，教师教得累，学生学得苦，不少学生还不会量角，量角器都不知道怎么摆放；而今天，学生教会量角了，并且理解了量角的本质。也正因为理解了量角的本质，学生变得“自能”“自得”了。为什么以前我们那么费力地教，总结概括出“二合一看”等要廖，学生学的效果反而不好呢？上完这节课，我明白了，因为以前的我们“只见树木不见森林”。我们讲了“角的顶点和量角器的中心重合，一条边和0度刻度线重合，看另一条边所对应的刻度”，但没有讲量角的实质是什么，缺乏整体把握。“二合一看”等要诀，看似简洁，颇得要领，其实这是我们成人的偏好，对孩子来说却是不得要领的，要孩子们想象出这四个字背后的内涵是挺难的。因为孩子们是以形象思维为主，老师抽象概括出的词语反而增加学习的难度，老师附加的认知负荷挤占和压缩了学生生成的认知负荷，所以说我们原来的教法阻扰了学生自由地“呼吸”。而在学生已进入洞口，感觉恍惚若有光的时候，“量角其实就是把量角器上的角重叠在要量的角上”一语点破，是可以为学生的量角操作提供表象支持，促进学生更顺畅地“呼吸”的。
还是老子说得好，“少则得，多则惑”、 “不自见，故明；不自是，故彰；不自伐，故有功；不自矜，故长”。一句话：“道法自然”！
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