超越函数不等式证明是近年考察的热点问题

什么是超越函数：

     超越函数(Transcendental Functions)，指的是变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数。

大学阶段一般使用泰勒公式展开进行放缩，对于选择填空题，如果接触到这一部分，可以使用。但大题部分必须使用高中阶段学过的基本的方法进行求解。

例如下题：

证明：x+sinx≥2ln(x+1) 

         注意不是x+sinx≥-2ln(x+1)，有的同学一看之前做过下笔如有神，实际上没有那么简单！

自己动动手试一试。

在一些网站上给出了如下答案：

这个答案正确吗？错在哪里？

错在：f’(x)=0，为什么会错，这也是很多同学容易犯的错误！

f’(x)=0 è(1-x)/(1+x)=cosx，那么有无限个解。

那么如何对本题进行求解？

  数形结合

我们来看一下要证明的不等式两边情况：

令f(x)=x+sinx,我们观察一下，y1=x单调增，y2=sinx是一个周期函数，且在一个周期内取得最小值-1一次。f(x)随着sinx的变化周期而变化！

令g(x)=2ln(x+1),这个函数是单调增函数（求导）

当x>=5时，sinx缩放取最小值-1，将5带入到原式5-1-2ln6>0。

当x>=5令m(x)=x-1-2ln(x+1) 对其求导可知x-1>2ln(x+1)单调递增函数。

现在我们来分别证明（-1,0），[0，a]，[a,5]区间内x+sinx-2ln(x+1),即可得证。

详细步骤自己再动手做一下。

数学讲求的就是逻辑严谨，不能有遗漏。本题需要经过几次放缩。也是由繁到简的极致了。大家仔细体会相关思路。遇到难题只要分步将其拿下就行。