《数列求和》是高考中常见题型,其主要方法为直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和、分组求和法、倒序相加法、并项求和法、裂项相消法、错位相减法等.一般数列求和,应从通项入手,若无通项,先求通项,然后通过对通项变形,转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式,从而选择合适的方法求和,现将其常见题型解法分析如下:.
一、分组求和:
例:求数列1,1+a,1+a+a2,…,1+a+a2+…+an-1的前n项和Sn.
解 若a=1,则an=1+1+…+1=n,
于是Sn=1+2+…+n=;
若a≠1,则an=1+a+…+an-1==(1-an),
于是Sn=++…+=[n-(a+a2+…+an)]=.
二:裂项相消法求和
例:已知数列{an}的前n项和是Sn,且Sn+an=1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log3(1-Sn+1),求适合方程++…+=的n的值.
解 (1)当n=1时,a1=S1,由S1+a1=1,得a1=.
当n≥2时,∵Sn=1-an,Sn-1=1-an-1,
∴Sn-Sn-1=(an-1-an),即an=(an-1-an),
∴an=an-1,∴=.
∴{an}是以为首项,为公比的等比数列,
故an=·n-1=2·n.
(2)∵1-Sn=an=n,
bn=log3(1-Sn+1)=log3n+1=-n-1,
∴==-,
∴++…+=++…+=-.
解方程-=,得n=100
三、 错位相减法求和
例:已知数列{an}的前n项和Sn=kcn-k(其中c,k为常数),且a2=4,a6=
(1)求an;
(2)求数列{nan}的前n项和Tn.
解 (1)当n>1时,an=Sn-Sn-1=k(cn-cn-1),
a6=k(c6-c5),a3=k(c3-c2),==c3=8,∴c=2.
∵a2=4,即k(c2-c1)=4,
解得k=2,∴an=2n(n>1).
当n=1时,a1=S1=2,
综上所述an=2n(n∈N*).
(2)∵nan=n·2n,∴Tn=2+2·22+3·23+…+n·2n,①
2Tn=1·22+2·23+3·24+…+(n-1)2n+n·2n+1,②
由面两个式子相减得,-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1,
∴Tn=2+(n-1)2n+1.
四、|分清{|an|}的前n项和与{an}的前n项和的关系
例:在等比数列{an}中,an>0(n∈N*),公比q∈(0,1),且a
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log2an,求数列{|bn|}的前n项和Sn.
解 (1)∵a
∴a+
又an>0,∴a4+a6=10,∵4是a4与a6的等比中项,
∴a
∴q=,a1=64,∴an=64·n-1=27-n.
(2)bn=log2an=7-n,则数列{bn}的前n项和为Tn=,∴当1≤n≤7时,bn≥0,∴Sn=.
当n≥8时,bn<0,
∴Sn=b1+b2+…+b7-(b8+b9+…+bn)
=-(b1+b2+…+bn)+2(b1+b2+…+b7)
=-+2×=,
∴Sn=
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