《数列》在高考中常见题型分析

2014-01-04 14:03:11

归档在 我的博文 | 浏览 904 次 | 评论 0 条

  在数学高考中，数列主要考查：已知数列的通项公式或递推关系，求数列的某项；由数列的递推关系求数列的通项公式．利用等差数列的概念、性质、通项公式与前n项和公式解决等差数列的问题；在具体的问题情境中能识别具有等差关系的数列，并能用有关知识解决相应的问题；考查等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、等比中项的性质与证明；以数列为载体，考查数列求和的各种方法和技巧结合函数、不等式、方程、几何等知识，综合考查数列和式的相关性质，如和式的最值、单调性、不等关系式的证明等．根据我多年组织学生高考复习经验，现归纳其常见题型如下：

一、已知a_n与S_n的关系式求通项公式是高考中的常见题型。

例：设数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{S_n}的前n项和为T_n，满足T_n＝2S_n－n²，n∈N^*.

(1)求a₁的值；

(2)求数列{a_n}的通项公式．

解： (1)令n＝1时，T₁＝2S₁－1，

∵T₁＝S₁＝a₁，∴a₁＝2a₁－1，∴a₁＝1.

(2)n≥2时，T_n－1＝2S_n－1－(n－1)²，

则S_n＝T_n－T_n－1＝2S_n－n²－[2S_n－1－(n－1)²]

＝2(S_n－S_n－1)－2n＋1＝2a_n－2n＋1.

因为当n＝1时，a₁＝S₁＝1也满足上式，

所以S_n＝2a_n－2n＋1(n≥1)

当n≥2时，S_n－1＝2a_n－1－2(n－1)＋1，

两式相减得a_n＝2a_n－2a_n－1－2，

所以a_n＝2a_n－1＋2(n≥2)，所以a_n＋2＝2(a_n－1＋2)，

因为a₁＋2＝3≠0，

所以数列{a_n＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列．

所以a_n＋2＝3×2^n－1，∴a_n＝3×2^n－1－2，

当n＝1时也成立；

所以a_n＝3×2^n－1－2.

二、将等差（比）数列求和公式与等差（比）数列的性质“若m＋n＝p＋q，则a_m＋a_n＝a_p＋a_q”结合命题．

例：在等差数列{a_n}中，已知S_n＝m，S_m＝n(m≠n)，则S_m＋n.

解:　设{a_n}的公差为d，则由S_n＝m，S_m＝n，

得

②－①得(m－n)a₁＋·d＝n－m，

∵m≠n，∴a₁＋d＝－1.

∴S_m＋n＝(m＋n)a₁＋d

＝(m＋n)＝－(m＋n)．

三、运用公式法法、分组求和法、倒序相加法、并项求和法、裂项相消法、错位相减法等常见方法求和的题型在高考中频频出现。

例：设数列{a_n}满足a₁＋3a₂＋3²a₃＋…＋3^n－1a_n＝，n∈N^*.

(1)求数列{a_n}的通项；

(2)设b_n＝，求数列{b_n}的前n项和S_n.

解　(1)∵a₁＋3a₂＋3²a₃＋…＋3^n－1a_n＝，①

∴当n≥2时，

a₁＋3a₂＋3²a₃＋…＋3^n－2a_n－1＝，②

①－②得3^n－1a_n＝，∴a_n＝.

在①中，令n＝1，得a₁＝，适合a_n＝，∴a_n＝.

(2)∵b_n＝，∴b_n＝n·3ⁿ.

∴S_n＝3＋2×3²＋3×3³＋…＋n·3ⁿ，③

∴3S_n＝3²＋2×3³＋3×3⁴＋…＋n·3^n＋1.④

④－③得2S_n＝n·3^n＋1－(3＋3²＋3³＋…＋3ⁿ)，

即2S_n＝n·3^n＋1－，∴S_n＝＋.

四、数列求和的考查是高考命题的重点，也常与求数列的通项一起考查。

例：已知等差数列{a_n}前三项的和为－3，前三项的积为8.

(1)求等差数列{a_n}的通项公式；

(2)若a₂，a₃，a₁成等比数列，求数列{|a_n|}的前n项和．

解：(1)设等差数列{a_n}的公差为d，

则a₂＝a₁＋d，a₃＝a₁＋2d，

由题意，得

解得或

所以由等差数列的通项公式，可得

a_n＝2－3(n－1)＝－3n＋5或a_n＝－4＋3(n－1)＝3n－7.

故a_n＝－3n＋5或a_n＝3n－7.

(2)由(1)，知当a_n＝－3n＋5时，a₂，a₃，a₁分别为－1，－4,2，不成等比数列；

当a_n＝3n－7时，a₂，a₃，a₁分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．

故|a_n|＝|3n－7|＝

记数列{|a_n|}的前n项和为S_n.

当n＝1时，S₁＝|a₁|＝4；(9分)

当n＝2时，S₂＝|a₁|＋|a₂|＝5

当n≥3时，S_n＝S₂＋|a₃|＋|a₄|＋…＋|a_n|

＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7)

＝5＋

＝n²－n＋10.

当n＝2时，满足此式．

综上，S_n＝

五、以现实生活中的“增长率”、“贷款”等问题为背景命题，考查数列的通项、前n项和等知识．

例：某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为a_n万元．

(1)用d表示a₁，a₂，并写出a_n＋1与a_n的关系式；

(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．

解： (1)由题意，

得a₁＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d

a₂＝a₁(1＋50%)－d＝a₁－d＝4 500－d

a_n＋1＝a_n(1＋50%)－d＝a_n－d.

(2)由(1)，得a_n＝a_n－1－d

＝－d

＝²a_n－2－d－d

…

＝^n－1a₁－d.

整理，得a_n＝^n－1(3 000－d)－2d

＝^n－1(3 000－3d)＋2d.(10分)

由题意，得a_m＝4 000，

即^m－1(3 000－3d)＋2d＝4 000.

解得d＝＝.

故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．

0

上一篇 << 曲径迎合      下一篇 >> 数列解题常见易错点分析