统计，以信仰之名：(二)统计学

作者，浪荡游侠，哆嗒数学网群友。

 

 

 

E.T.Jaynes所著的《概率论沉思录》自出版以来广受好评。然而这本厚达700余页的书所讲述的确并非概率论，而是统计。它的英文名字实际是”Probability Theory, The Logic of Science”，翻译过来就是“概率论——科学的逻辑”。严格来讲，统计的是不严谨的，很多东西我们无法根据公理推出，但是它符合我们的常识，就像物理基本定律一样。从某种角度讲，统计更类似于一种信仰。下面我们看看这种“信仰”是如何产生的。

 

假设我约你赌钱，规则是投均匀硬币，正面你赢100块钱，反面我赢100块钱。投了100次，100次全是反面，那么此时你已经倾家荡产了。比起接下来几年泡面度日，你更可能质疑我是否在“出老千”。这时要做的就是假设检验：再投100次，如果还是全是反面，那么就说明我在“出老千”。然而，均匀硬币出现这种情况可不可能呢？是可能的，只不过概率很小。你可能就是个喝水都塞牙的倒霉蛋。但是在现实中，我们所能想出的最好的方法也不过如此了。所以古典统计的逻辑简单来说就是“相信自己不是一个倒霉蛋”。

 

曾经哆嗒数学网上有这样一个问题，大意如下：

已知随机变量X_i , i=1,2,...,10服从形式为N(μ,10)的正态分布，要对是否有μ=0进行假设检验。

 

通常的步骤是，我们算出X_i均值X，它服从N(μ,1)。该均值只有5%的概率落在[-2,2]外。所以，如果这个均值落在了[-2,2]，那么我们接受μ=0，如果它落在[-2,2]外面，我们坚信自己不会这么倒霉，所以我们认为μ≠0。

 

那个问题是，均值落在[-0.01,0.01]之内的概率也很小，为什么不选则落在[-0.01,0.01]时拒绝μ=0呢？其实他这么说在逻辑上没有错误，然而并没有什么卵用，因为我们不关心它是否在[-0.01,0.01]。假如我们还是在赌博，当然我们希望进行的是一场公平的赌博。我们扔一个同分布的Χ₀出来，然后我付给你Χ₀万元。如果均值是[-0.01,0.01]并没有什么问题，但是如果均值落在[-2,2]外，我们就得好好谈谈了。

 

这里注明一下，选什么区间也不是绝对的，要根据问题而定。有时候还就得选[-0.01,0.01]作为拒绝域。

 

总结：与概率论不同，统计强烈依赖于你相信什么 与 关心什么。从这一点上讲，统计与信仰没什么不同。