豪斯多夫
方嘉琳
(辽宁师范大学)
　　豪斯多夫，F．(Hausdorff，Felix)1868年11月8日生于德国布雷斯劳[Breslau，今波兰弗拉茨瓦夫(Wroclaw)]；1942年1月 26日卒于波恩．数学．
　　豪斯多夫是犹太人，他的父亲是一位富裕的商人．在豪斯多夫年幼的时候，随着父母迁往莱比锡．在莱比锡读完中学后，又在当地和弗来堡、柏林等地学习数学和天文学．1891年在莱比锡大学毕业并取得博士学位．
　　豪斯多夫的兴趣极为广泛，不仅对数学、天文学和光学有兴趣，而且也酷爱文学、哲学和艺术．他的朋友主要是艺术家和作家．豪斯多夫曾用Dr．Paul Mongre的笔名出版了两本诗集和一本哲学著作(Das Chaos in Kosmischer Auslese， 1898)；还有大量的富有哲理的散文和文章．在1904年曾发表一部滑稽戏的剧本(Der Arst Seiner Ehre)，这部戏在 1912年上演，获得相当大的成功．他在1891—1896期间，曾发表过4篇天文学和光学的文章以及数学中许多分支的文章．1896年成为莱比锡大学讲师，1902年成为副教授．以后主要致力于数学，逐渐减少了非科学的写作，特别是1904年以后，主要研究集论．1910年，他作为副教授去波恩大学，在那里写出了著名的专题著作《集论基础》(Grundzügeder Mengenlehre)，发表于1914年．这本专著影响极大，使豪斯多夫成为公认的一般拓扑的奠基人．1913年，豪斯多夫在格赖夫斯瓦尔德(Greifswald)大学任教授．1921年回到波恩大学任教授，在波恩一直非常活跃，直到1935年，因为他是犹太人而被迫隐退．但他仍继续从事集论和拓扑学的研究工作．他的成果只能在国外发表．1941年，他作为犹太人将被送到拘留营去．当拘留变得紧迫时，豪斯多夫和他的妻子、妻妹一起于1942年1月26日自杀于波恩．
　　豪斯多夫在数学的集合论、拓扑学、连续群理论、泛函分析、数论、概率论、几何学等许多分支中都有建树、最主要的贡献是在集合论和点集拓扑学方面．
　　豪斯多夫将他的前辈导入的一些概念给予适当的概括，导入了许多新的观念、方法和定理，发展为有系统的完美的理论，并为进一步发展提供了强大的动力．他是点集拓扑和度量空间的一般理论的他建者．
　　豪斯多夫的《集论基础》(1914)一书在数学文献中是很珍贵的，他概括了前人广泛的工作，使之成为新理论的支柱，创建并完成了拓扑和度量空间的理论．由于它的阐述清晰、准确而优美，所以很容易读，直到今天仍有价值．他发展了D．希尔伯特(Hilbert)(1902)和H．外尔(Weyl)(1913)分别用公理化方法研究还将有面几何及黎曼曲面时所提出的概念，用邻域的语言给予公理的描述，定义了拓扑空间．在豪斯多夫之前，M．R．弗雷歇(Frechet)F．里斯(Riesz)等虽然都企图建立拓扑空间，给出过各种定义及相关概念，但第一个令人满意的拓扑空间定义是豪斯多夫在《集论基础》中提出的．他定义的拓扑空间建立在抽象集X上，使每个x∈X对应一个子集族 (x),{ (x)}x∈X称为邻域系统，满足
　　(1)对 x∈X， (x)≠ ，且对 U∈ (x)，有x∈U；
　　(2)若x∈U∈ (y)，则 V∈ (x)使V U
　　(3)对 U1，U2∈ (x)， U∈ (x)，使U U1∩U2；
　　(4)对 x，y∈X，x≠y，  开集U∈ (x)，V∈ (y)， 
　　由{ (x)}x∈X生成的拓扑空间称为豪斯多夫空间．它是最重要的拓扑空间之一．形成拓扑的各种方法，首先由豪斯多夫在1927年给予系统的描述．
　　在欧氏空间的子集类中，G．康托尔(Cantor)曾导入并研究过开集、闭集、闭包、内部等概念，豪斯多夫的《集论基础》将它们推广于抽象空间，并建立了两个可数性公理：
　　(1)对 x∈X，子集族{ (x)}是可数集．
　　(2)所有的{ (x)}x∈X的集是可数集．
　　关于同胚的概念，H．庞加莱(Poincare)曾在狭窄的意义下导入并研究过．弗雷歇于1910年首先讨论了抽象空间上的同胚概念，但在内容上详尽无遗的论述和系统讲解是豪斯多夫在《集论基础》中给出的．1935年，他还首先注意到正规性是闭映射的不变量．
　　关于欧氏空间的子空间，E．L．林德勒夫(Lindel f)曾讨论过集的凝聚点的概念，豪斯多夫在《集论基础》中，在拓扑空间上详尽地讨论了集合的凝聚点及其简单性质，并由此推出任一第二可数空间可表现为两个不相交集的并，其中之一是完全集，另一集是可数集．
　　关于子空间的系统研究也是从豪斯多夫《集论基础》开始的．
　　设{As:s∈S｝是X的子集族，如果对S的任意不同元素组成的有限序列s1，s2，…，sk，以及由0和1组成的序列i1，…，ik，有
 
　
　　其中A0=A，A1=X＼A，则称{As:s∈S}为独立集组成的．1936年，豪斯多夫得出：基数m≥ 0的集X的所有子集族含
　　有由独立集组成的基数为2m的子族．早在1934年，G．费契田厚茨(Fichlenholz)和Л．B．坎托罗维奇(KaHTopoBИЧ)也曾得出过类似结果．
　　关于实直线的波莱尔集的定义由E．波莱尔(Borel)给予概括叙述，H．L．勒贝格(Lebesgue)于1905年给出了欧氏空间的波莱尔集的理论．在此基础上，豪斯多夫创立了关于度量空间的波莱尔集理论(1914)．
　　1906年，弗雷歇导入可数紧空间的概念，豪斯多夫于1914年给出了在豪斯多夫空间X中，X的任一无限子集有聚点为可数紧空间的特征之一，并在度量空间中建立了序列紧性和可数紧性的等价性．他证明了任一可度量化空间X是第二可数的当且仅当X是可分的，以及紧可度量化空间是可分的．
　　关于连续扩张问题，豪斯多夫在1919年建立了：设A为可度量化空间X的闭子空间，则对X上的任一度量ρ，任一连续函数f：A→I确定X上f的连续扩张F为
 
　
　　豪斯多夫《集论基础》指出紧可度量化空间X到可度量化空间Y的任一连续映射f：X→Y关于空间X和Y上分别为ρ和σ的距离是一致连续的．
　　全有界空间的概念也是豪斯多夫《集论基础》导入的，并在1927年证明了全有界度量空间是可分的[6]．
　　1914年，豪斯多夫证明了任一度量空间等距于某完备度量空间的子空间，刻画了度量空间的完备化空间，证明了每个自稠密的完备度量空间含有子空间同胚于康托尔集，还证明了在所有完备可度量化空间中贝尔(Baire)纲定理成立．1927年又证明了完备化空间的唯一性[6]．
　　Л．C．亚历山德罗夫(AлeKcaHДpoЬ)对可分空间证明了完备度量化性关于Gδ集是可继承的，豪斯多夫将此结果推广于任意可度量化空间(1924)．
　　豪斯多夫和亚历山德罗夫分别于1927和1925年独立地证明了每个非空紧可度量化空间是康托尔集的连续象，即二进空间．这个结果对点集拓扑学的发展富有启发意义．
　　设M是可度量化空间X的闭子空间，豪斯多夫于1930年证明了子空间M上的任一距离可扩张为空间X上的距离．
　　设f：M→L为可度量化空间X的闭子空间M到度量空间L上的连续映射，豪斯多夫证明了如果空间L可作为度量空间Y的闭子空间等距嵌入Y中[14]，则f可扩张为连续映射F：X→Y，使限制F|X＼M是X＼M到Y＼L上的同胚．
　　设2X为度量空间(X，ρ)的所有有界非空闭子集族，令
 
　
　　为A和B的距离，则(2X，ρh)为度量空间．称ρh(A，B)为豪斯多夫距离(1914)．(X，ρ)等距于(2X，ρh)的闭子空间．但空间X上两个等价的全有界距离ρ和σ，由ρh和σh在2X上导入的拓扑未必相同．豪斯多夫距离在度量空间的超空间理论中起着重要作用．
　　W．谢尔品斯基(Sierpinski)于1930年证明了若度量空间Y是可分完备可度量化空间X在开映射下的连续象，则Y是完备可度量化的．1934年，豪斯多夫证明了若可度量化空间Y是完备可度量化空间X在开映射下的连续象，则Y是完备可度量化的．以后E．麦克(Michael)又推广于仿紧空间Y．
　　连通性的概念是M．E．C．若尔当(Jordan)于1893年研究平面的紧子集类时导入的．豪斯多夫推广于抽象空间并开始了系统研究．在《集论基础》中包含连通集的一些简单性质，连通分支、拟分支的定义，以及关于紧度量空间的拟连通分支的性质等．该书还导入继承不连通空间．
　　极不连通空间是M．H．斯通(Stone)在1937年定义的，但βN＼N不是极不连通的事实本身却是由豪斯多夫证明的(1936)．
　　集X上的距离ρ称为非阿基米德的，如果对所有x，y，z∈X，有
ρ(x，z)≤max[ρ(x，y)，ρ(y，z)]．
　　豪斯多夫证明了非空可度量化空间X，IndX=0当且仅当在空间X上存在非阿基米德距离(1934)．
　　在描述集合论方面，豪斯多夫《集论基础》中研究了有序集的理论，如将序型分类，序型的有序积，有序集的表示等问题．他引入的极大原理可用来代替超限归纳法，是和选择公理、良序原理、图基(Tukey)引理、库拉托夫斯基(Kuratowski)引理等命题等价的．
　　豪斯多夫提出的Rn中单位球分解(1914)，在空间转动理论及变换群的分剖结果的基础上，用选择公理证明了使人感到奇怪的分球定理．以后导致S．巴拿赫(Banach)的分球悖论(1924)，即把一个球切成有限个片段，然后重新组合，可得到与原球有相同尺寸的两个球．这一悖论使人怀疑选择公理，引起数学界的极大重视，从而推进数学基础的发展．
　　豪斯多夫还彻底解决了波莱尔集的基数定理(1916)，这是和亚历山德罗夫同年独立解决的．他还提出了豪斯多夫运算(1927)，豪斯多夫递归公式(1914)等．
　　1914年，豪斯多夫提出测度问题：是否存在Rn的每个子集均可测的有限可加测度？1923年，他证明了当n=1，2时存在无限多个解，当n≥3时无解．
　　在数学分析中，豪斯多夫从事矩量问题的研究并获得重要结果，解决了有限区间的矩量问题及矩量的性质．他还得出了求和法及有关傅里叶系数的定理(1921)．
　　在连续群理论中，豪斯多夫建立了重要的代数算法，导出并研究了群论符号的指数公式(1906)．他也给出华林(Waring)问题的简化证明(1909)并提出过任意非整维数(1919)．
　　豪斯多夫的工作对现代数学的形成和发展起着重要作用，以致现代数学中的某些术语是以豪斯多夫的名字命名的．如豪斯多夫公理、豪斯多夫空间、豪斯多夫距离、豪斯多夫一致空间、豪斯多夫拓扑群、豪斯多夫极大原理、豪斯多夫运算、豪斯多夫递归公式、豪斯多夫-杨(Young)定理等．