剩下的广义积分证明题

     这两天比较忙，文章可能晚点发（虽然公众号只有60几号人，还是要尽力做到日更！）

设函数在区间上可微，当趋于无穷大，且存在常数使得。

证明：

(1):瑕积分当时绝对收敛,当条件收敛,当时发散；

(2):瑕积分当时绝对收敛,当条件收敛,当时发散；

(3):瑕积分当时绝对收敛,当条件收敛,当时发散；

解答：

根据题目极限的说法，我们可以得到这样一个事实

即


接下来只需将第一问证明，2，3问不证自明,右上边所述我们可以得到该积分的敛散性等价于

首先$0

注意到划线部分可以凑微分，所以他在区间上有界，时，单调递减趋于0，根据狄利克雷判别法可知收敛(当然可以换元法来说明，更可以说明他是条件收敛而非绝对收敛，这里从略)时，直接凑微分，是发散

再证除此之外是发散的，因为如果收敛，就有

这是收敛的，显然与我们之前判断违背，故发散

所以时绝对收敛,当条件收敛,当时发散；

至于2，3因为这是个瑕积分，所以只需讨论在0点处情况

对于(2),有，无影响

对于(3),有，相应阶数改变

设都是常数，是非零常数，证明广义积分

当 时收敛，当其他情况发散

解答：

此题是上一道题目结论的应用 首先将区间分为，我们只对其中一个进行讨论

我们将其分部讨论，利用上一题结论可得

对于左边在收敛，对右边在 收敛,故在上,  收敛

对于右边 收敛

综上当 时收敛，当其他情况发散

表示有限或无限开区间

设在广义黎曼可积。令.证明：

(1):在区间上连续

(2):如果对某点，连续，则在点可导且

解答：

(1):利用连续的定义

如果在有界区间上显然极限为0，在瑕点处根据柯西收敛准则可知极限认为0，在仍然是极限为0，故得证

(2):与正常的没有不同(注意到连续)

表示有限或无限开区间

设是上的有界非负连续函数，又设在广义黎曼可积，且证明： 

解答：

我们先证明他是正常定积分的情况，然后说明广义积分的不同点在哪里

设是上的有界非负连续函数，又设在黎曼可积，且证明：

记在区间上取得最大值，则有

所以

由夹逼准则可知

得证

再来看看它和广义积分的区别，只在看是不是有界量

如果是在区间上上有界量则无影响，如果是无界量则有柯西收敛准则可知，积分值仍然不会是无界量，故可由定积分推广到广义积分

高代习题册也开始整理了！（主要是课本上和课件上题及一些考研题）

别看就短短的一篇推文，其实已经有接近1000字了！

体谅下小周，点个赞，在看，关注呗！

（终于该级数了！小周学的很差的一部分，尤其是函数项级数，和小周一起复习吧，可获得答案完整pdf（虽然没啥质量保证！））